2023-2024学年辽宁省沈阳126中教育集团八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省沈阳126中教育集团八年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
2.分式的值是零，则的值为( )
A. B. C. D.
3.下列各式：，
，，
属于正确的因式分解的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.一个多边形的内角和为，则这个多边形是( )
A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
5.小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是( )
A. B. C. D.
6.如图，直线、、表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 一处
B. 二处
C. 三处
D. 四处
7.小明用元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是元和元，他买了支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买支签字笔，则下列不等关系正确的是( )
A. B. C. D.
8.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
9.如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是( )
A. B. 且
C. D. 且
10.随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机实时查看公交车到站情况．小聪同学想乘公交车，他走到、两站之间的处，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为如图，此时他有两种选择：
与公交车相向而行，到公交站去乘车；
与公交车同向而行，到公交站去乘车．
假设公交车的速度是小聪速度的倍，小聪无论选择哪站乘坐都不会错过这辆公交车，则，两公交站之间的距离最大为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：______．
12.如图，已知函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是______．
13.在中，若，，，则的面积是______．
14.关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是______．
15.如图，已知点，点在轴正半轴上，连接，点在的右侧，且，，若点的坐标为，则 ______．
三、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
因式分解：．
17.本小题分
解不等式组：．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年“五一”期间龙岩旅游订单含酒店、景点门票同比增长超世界文化遗产福建土楼龙岩永定是热门的旅游目的地之一某土楼纪念品专卖店积极为“五一”黄金周作好宣传与备货工作已知该专卖店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多元；用元购进甲种纪念品和用元购进乙种纪念品的数量相同专卖店将每个甲种纪念品售价定为元，每个乙种纪念品售价定为元．
每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少？
根据市场调查，专卖店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种纪念品共个，假设这个纪念品能够全部卖出，求该专卖店获得销售利润最大的进货方案．
20.本小题分
如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，点在线段上，点为的中点．
求证：；
若，分别是，的中点．
求证：是等腰三角形；
当，时，直接写出线段的长______．
21.本小题分
问题提出：如何解不等式？
预备知识：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题．
图中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：
当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为______．
预备知识：函数，称为分段函数，其图象如图所示，实际上对带有绝对值
的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号比如化简时，可令和，分别求得，称，分别是和的零点值，这样可以就，，三种情况进行讨论：
当时，
当时，；
当时，
所以就可以化简为
预备知识：函数为常数称为常数函数，其图象如图所示．
知识迁移
如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______．
问题解决：
结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图在同一直角坐标系内再作出直线的图象，如图，可以发现函数与的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是______，______；
通过观察图象，便可得到不等式的解集这个不等式的解集为______．
22.本小题分
如图，在中，，，，点在轴上，以为一边，在外作等边三角形，是的中点，连接并延长交于．
求点的坐标；
如图将图中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长；
如图，连接，在线段上有一动点，连接，，直接写出的最小值为______；
若去掉题卡中这个条件，点为外一点，连接，，，若，，则当线段的长度最小时， ______，的最小值是______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，得，那么A错误，故A不符合题意．
B.由，得，推断出，那么B正确，故B符合题意．
C.由，得，那么C错误，故C不符合题意．
D.由，得，那么D错误，故D不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质解决此题．
本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．利用分式值为零的条件可得，且，再解即可．
【解答】
解：由题意得：，且，
解得：，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，故原题因式分解错误；
，不是化为几个整式积的形式，故原题不是因式分解；
，正确；
等式左边不是多项式，右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，
所以属于正确的因式分解的有个．
故选：．
根据因式分解的意义对各小题进行分析即可．
本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
4.【答案】
【解析】解：设多边形的边数为，
，
解得：．
故选：．
根据多边形的内角和公式：列出方程，解方程即可得出答案．
本题考查了多边形的内角和，体现了方程思想，掌握多边形的内角和是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：只有两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
带两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：．
确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解。
【解答】
解：如图所示，满足条件的有：
三条公路围成的三角形的两个内角平分线的交点，共处；
三条公路围成的三角形的外角两两平分线的交点，共处；
加油站的地址一共有处。
故选D。
7.【答案】
【解析】解：设小明还能买支签字笔，
依题意得：．
故选：．
设小明还能买支签字笔，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、，故A选项不符合条件；
B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理作出判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：两边同时乘得，
，
解得：，
又方程的解是正数，且，
，即，
解得：，
的取值范围为：且．
故答案为：．
先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解，利用和得出不等式组，解不等式组即可求出的范围．
本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式，正确求得分式方程的解并考虑产生增根的情形是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设看手机时小聪到站的距离为，到站的距离为．
到公交站：，
解得：；
到公交站：，
解得：．
，
即，两公交站之间的距离最大为．
故选：．
设看手机时小聪到站的距离为，到站的距离为到公交站，由小聪到站所用时间不能多于公交车到站所用时间，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可求出的取值范围；到公交站，由小聪到站所用时间不能多于公交车到站所用时间，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可求出的取值范围，进而可得出的取值范围，再取其最大值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
原式提取公因式即可．
此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
，
从图象上看，在交点的左边，相同自变量的取值，的函数值大于的函数值，
的解集是：．
把所求不等式进行整理可得与函数表达式相关的形式，找到在交点的哪一边，相同自变量的值，的函数值大于的函数值即可．
解决本题的关键是把所求的不等式整理为和所给函数相关的形式；两个函数图象进行比较，要从交点入手思考．
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理以及三角形的面积，求出，的长度是解题的关键．
过点作，垂足为，通过勾股定理可求出，，的长，进而可得出的长，再利用三角形的面积公式可求出的面积．
【解答】
解：过点作，垂足为，如图所示．
在中，，；
在中，，，
，
或，
当时，．
当时，．
故答案为或．
14.【答案】或
【解析】解：
由得；
由得；
故原不等式组的解集为．
又因为不等式组的所有整数解的和是，
所以当时，这两个负整数解一定是和，由此可以得到；
当时，则．
故的取值范围是或．
首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围．
本题主要考查了无理数的估算，是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于的不等式组，临界数和的取舍是易错的地方，要借助数轴做出正确的取舍．
15.【答案】
【解析】解：在轴上分别取点，，使得，，
，
．
又，
，
．
在和中，
，
≌，
，．
过点作轴的垂线，垂足为，
点坐标为，点的坐标为，
，，
．
令，
，
，
，
则．
又，
，
，
则，
解得，
，．
在中，
，
即．
故答案为：．
在轴上分别取点，，使得，构造出全等三角形，再结合勾股定理即可解决问题．
本题考查坐标与图形性质，通过辅助线构造出全等三角形及勾股定理的巧妙运用是解题的关键．
16.【答案】解：原式
．
【解析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
17.【答案】解：，
由移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
由去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
不等式组的解集为．
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
18.【答案】解：原式
；
把代入中，
原式．
【解析】应用分式的混合运算法则进行计算，化为最简，再把代入计算即可得出答案．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值的方法进行求解是解决本题的关键．
19.【答案】解：设每个甲种纪念品的进价是元，则每个乙种纪念品的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每个甲种纪念品的进价是元，每个乙种纪念品的进价是元；
设该专卖店购进甲种纪念品个，则购进乙种纪念品个，
由题意得：，
解得：，
设销售甲、乙两种纪念品获得的利润为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
，且为正整数，
的最大值是，
当时，取最大值，的最大值，
此时，，
答：该专卖店购进甲种纪念品个，乙种纪念品个，获得的销售利润最大．
【解析】设每个甲种纪念品的进价是元，则每个乙种纪念品的进价是元，由题意：用元购进甲种纪念品和用元购进乙种纪念品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设该专卖店购进甲种纪念品个，则购进乙种纪念品个，由题意：专卖店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种纪念品共个，列出一元一次不等式，解得，再设销售甲、乙两种纪念品获得的利润为元，由题意得出关于的一次函数，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
20.【答案】
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
．
证明：是等腰三角形，是中点，
，
，
为中点，
，
、分别是、的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰三角形．
解：由题意知，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
∽，
是等腰三角形，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，，即，
解得或不合题意，舍去，
．
故答案为：．
由平行四边形的性质可知，，，，则，，可得是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，进而结论得证；
由等腰三角形的性质可知，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由中位线的性质可知，由平行四边形的性质可知，可得，进而结论得证；证明四边形是平行四边形，则，证明∽，则是等腰三角形，，设，则，，在中，由勾股定理求出满足要求的值，进而可得．
本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21.【答案】 或
【解析】解：问题提出，如图，
当时，函数的图象在的图象上方，
不等式的解集为：，
故答案为：；
知识迁移，如图，
点在上，
，
解得：，
，
当时，直线的图象在的图象的上方，
不等式，
即的解集为：，
故答案为：；
问题解决，如图，
设，
根据题意得：
，
由函数图象得：
与有交点，
则，
解得：，
与有交点，
则，
解得：，
与的两个交点坐标分别为：；，
故答案为：；；
由函数图象可知，当时，的图象在的上方，
当时，的图象在的上方，
故不等式的解集为：或，
故答案为：或．
【问题提出】观察图象即可得出答案；
【知识迁移】由点在上，可求出的值，观察图象即可；
【问题解决】由，求出与的两个交点坐标分别为：；，画出图象即可解决问题．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，，
点的坐标为；
如图，设，
是等边三角形，
，
，
由折叠得，
在中，，
即，
解得：，
的长为；
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
则，，，，
是等边三角形，
，
，
当、、、在同一条直线上时，为最小值，
是的中点，，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
点是的中点，
，
，
、、三点在同一条直线上，
，
，
故答案为：；
如图，以为边在内部作等边三角形，连接，
则，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
当线段的长度最小时，最小，
，
的最小值为，此时点落在线段上，，
的最小值为；
故答案为：，．
利用直角三角形性质和勾股定理即可求得答案；
设，则，运用勾股定理建立方程求解即可求得答案；
将绕点顺时针旋转得到，连接，可得，当、、、在同一条直线上时，为最小值，再运用勾股定理即可求得；
以为边在内部作等边三角形，连接，可证得≌，得出，当线段的长度最小时，最小，即可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠变换和旋转变换的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，正确添加辅助线是解题关键．
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