2022-2023学年河北师大附中高二（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北师大附中高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的倾斜角为，则实数的值为
( )
A. B. C. D.
2.两圆和的位置关系是( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
3.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是
( )
A. B.
C. D.
4.已知点，分别为双曲线的右顶点和右焦点，记点到渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.等差数列的首项为，公差不为若，，成等比数列，则的通项公式为( )
A. B. C. D.
6.已知点，为椭圆的左、右焦点，过点与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，则三角形的内切圆的半径为( )
A. B. C. D.
7.如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知点是直线上一动点，与是圆：的两条切线，，为切点，则四边形的面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 若是两个空间向量，则，不一定共面
B. 直线的方向向量，为直线上一点，点为直线外一点，则点到直线的距离为
C. 若在线段上，则
D. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为
10.已知抛物线：的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点点在第一象限，与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
12.已知双曲线：，是该双曲线上任意一点，、是其左、右焦点，则下列说法正确的( )
A. 该双曲线的渐近线方程为
B. 若，则或
C. 若是直角三角形，则满足条件的点共个
D. 若点在双曲线的左支上，则以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线与直线互相平行，则 ______．
14.数列的通项公式为，则它的前项和 ______．
15.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑已知在鳖臑中，平面，，为的中点，则点到平面的距离为______．
16.已知数列的前项和，设为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知递增的等比数列满足，且是和的等差中项数列是等差数列，且，．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知圆与轴相切，圆心在轴下方并且与轴交于，两点．
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ若直线过点且被圆所截弦长为，求直线的方程．
19.本小题分
如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且， 是 的中点．
求证：平面；
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知数列、满足，若数列是等比数列且，．
求数列、的通项公式；
令，求的前项和为．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，点为棱的中点．
在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；
若，二面角的余弦值为时，求点到平面的距离．
22.本小题分
已知椭圆：的离心率，点，点、分别为椭圆的上顶点和左焦点，且．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ若过定点的直线与椭圆交于，两点在，之间设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围？如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
由直线方程求得斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．
【解答】
解：直线的斜率为，
而直线的倾斜角为，
，则．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：圆表示以点为圆心，以为半径的圆；
圆表示以点为圆心，以为半径的圆；
，
圆和圆相交
故选：．
由已知中两圆的方程：和，我们可以求出他们的圆心坐标及半径，进而求出圆心距，比较与及的大小，即可得到两个圆之间的位置关系．
本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，若圆的半径为，圆的半径为，，则当时，两圆外离，当时，两圆外切，当时，两相交，当时，两圆内切，当时，两圆内含．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．
由题意可得，化简得到结果．
【解答】
解：由题意可得
．
故答案选：．
4.【答案】
【解析】解：点双曲线的右焦点，
点到渐近线的距离为，，
可得：，，
可得，即，，
解得．
故选：．
求出双曲线的焦点坐标，利用点到渐近线的距离满足，列出方程，即可求出双曲线的离心率．
本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，考查学生的计算能力，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：因为，，成等比数列，则，
即，
因为，所以，
整理得，
解得或舍，
所以．
故选：．
根据等差中项的性质，列出方程代入计算即可求得公差，从而得到通项公式．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
由椭圆的方程可得左右焦点的坐标，再由由题意可得，的坐标，进而求出的面积，设内切圆的半径，由内切圆的圆心分三角形成个小三角形，由面积相等可得的值．
本题考查椭圆的性质及圆的半径的求法，属于中档题．
【解答】
解：由椭圆的方程可得，，
所以可得左焦点，右焦点，
因为过点且垂直于轴的直线与椭圆相交于，，
所以，，
即，，
所以，
，
设内切圆的半径为，则，
可得，所以可得，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
取的中点，连结，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【解答】
解：取的中点，连结，，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
是等腰直角三角形，，为直角三角形，
，，，
，
，，
，．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
四边形的面积是两个三角形的面积的和，因为，，显然最小时，四边形面积最小，此时最小，由此可得结论．
【解答】
解：圆：圆心坐标为，半径为；
由题意过点作圆的两条切线，切点分别为，，
可知四边形的面积是两个三角形的面积的和，因为，，
显然最小时，四边形面积最小，此时最小．
是直线上的动点，
，
，
四边形面积的最小值为：．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：因为任意空间两个向量总是共面的，所以选项A说法不正确；
因为为直线上一点，点为直线外一点，
所以有，
所以，，
所以，
所以点到直线的距离为，所以选项B说法正确；
因为若在线段上，所以，因此选项C说法正确；
因为在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为，所以选项D说法不正确．
故选：．
根据共面向量、空间向量点到线距离公式、共线向量的性质，结合点关于面对称点的特征逐一判断即可．
本题主要考查了空间向量的数量积运算，考查了利用空间向量求点到直线的距离，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：如图所示，
分别过，作抛物线的准线的垂线，垂足为，，
抛物线的准线交轴于点，则，
由于直线的斜率为，则倾斜角为，
因为轴，所以，
由抛物线的定义可知，所以是等边三角形，
所以，
则，所以，解得，A正确；
因为，又，所以为中点，
则，B正确；
所以，，
所以，C错误；
因为，D错误．
故选：．
过，作抛物线的准线的垂线，结合抛物线定义可得为正三角形，从而可求出的长度即为的值即可判断，再根据即可确定为中点即可判断，再利用抛物线的定义可判断，．
本题考查抛物线的几何性质，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，等差数列的公差，
对于，若，，所以，
所以，
所以，A错误；
对于，，B正确；
对于，若，，C错误；
对于，若，，
所以，D正确．
故选：．
根据题意，利用等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式求解．
本题考查等差数列的通项公式与求和公式，涉及等差数列的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由双曲线：，得，，．
双曲线的渐近线方程为，故A正确；
当在右支上，，可得，
当在左支上，，可得，
或，故B正确；
当或与轴垂直时，直角三角形有个，以为直径的圆与双曲线有个交点，
直角三角形有个，则若是直角三角形，则满足条件的点共个，故C错误；
设，，则，
的中点为，求得，
，可得，即以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切，故D正确．
故选：．
由双曲线方程求得，，的值，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查双曲线的几何性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：直线与直线互相平行，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
所以，，，，，，
所以
本题考查分组转化求和法，属于较易题．
根据题中的公式可得，，，，，，并且观察其特点利用分组求和的方法进行求和，进而得到答案．
15.【答案】
【解析】解：，，，
，且为的中点，
，
的面积为，
设点到平面的距离为，则，
又，
，解得．
点到平面的距离为．
故答案为：．
求出后，根据等体积法可得点面距．
本题考查了点，线，面间的距离计算，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，满足上式，
所以．
所以，
所以，
由，可得，即，
因为函数在单调递增，
所以当时，有最小值为，
所以，所以，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
利用，的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围．
本题主要考查数列的求和，数列与不等式的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：设首项为公比为的递增的等比数列，
满足，且是和的等差中项，
所以，解得或舍去；
故；
数列是等差数列，设公差为，且，，
所以，解得；
所以．
由得：，
所以．
【解析】直接利用等差数列和等比数列的性质求出数列的通项公式；
利用分组法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，分组法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
18.【答案】解：Ⅰ圆与轴相切，圆心与轴交于，两点，
所以，设圆心坐标为，
则，
，，
圆的方程；
Ⅱ直线过点且被圆所截弦长为，圆心到直线的距离等于．
当斜率不存在时，，符合题意；
当斜率存在时，设直线：，
即，
圆心到直线距离为，
，
直线的方程为
故所求直线为，或．
【解析】本题考查了求解圆的方程，直线和圆的位置关系，以及弦长问题，属于中档题．
Ⅰ由题意，，设圆心坐标为，求出，可求圆的方程；
Ⅱ分两种情况求解：当直线的斜率不存在时，只需要验证即可；当直线的斜率存在时，根据弦的一半、半径和弦心距构成直角三角形来求直线的斜率．
19.【答案】解：Ⅰ证明：因为：连接交于点，则为中点，
点为中点，，
平面，平面，
直线平面．
Ⅱ证明：，是的中点．，
平面 且平面，
，
平面，平面且，
平面，
平面，平面．
Ⅲ平面且交线为，平面，
在平面内作，
平面，
是直线与平面所成角，
在中，，，
，．
直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】Ⅰ连接交于点，则为中点，点为中点，从而，由此能证明直线平面．
Ⅱ推导出，，从而平面，由此能证明平面．
Ⅲ在平面内作，则平面，是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．
本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：设等比数列的公比为，
，，
当时，，解得，
当时，，
，
，
，解得．
，，
，，
；
由得，，则，
的前项和为，
，
，
．
【解析】设等比数列的公比为，，，时，，求出，当时，，相比可得，结合，可得，进而得出，再利用，即可得出答案．
由可得，再利用错位相减法求和即可．
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．证明如下：
取的中点，连结、，
由题意，点为棱的中点，则且，且，
故C且．
四边形为平行四边形．
，又平面，平面，
平面．
取中点，
因为底面为菱形，所以，
因为，所以，
所以为正三角形，且，
又，且，，
所以平面，又，
即．
又，即，而，，
所以平面．
又由为正三角形，得，也即，
所以，，两两互相垂直．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设，则，，，，．
所以，．
设平面的一个法向量为．
由，取，得；
取平面的一个法向量为．
由题意，，解得．
，，
设点到平面的距离为，则．
即点到平面的距离为．
【解析】本题主要考查线面平行的判定，二面角的向量求法，点到面的距离的向量求法，属于中等题．
取的中点，连结、，可以证明得四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得点；
先证明，，两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由二面角的余弦值为，求出，进而利用点到面距离的向量求法求解即可．
22.【答案】解：Ⅰ椭圆：的离心率，
，，
，
，
，，
故椭圆的方程为；
Ⅱ设的方程为，与椭圆方程联立，消去可得．
设，，则
又．
由于菱形对角线互相垂直，则，
．
故．
，所以．
，即．
．
解得，即
，当且仅当，即时取等号，
所以，
故存在满足题意的点且的取值范围是．
【解析】Ⅰ根据离心率可得，再根据且，可得，由此能求出椭圆的方程．
Ⅱ将直线：代入椭圆中，得，由此利用韦达定理能求出的中点，再由菱形的对角线互相垂直平分能求出存在满足题意的点，且能求出的值．
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题．
第1页，共1页