【试题解析】吉林省四平市2015-2016学年高一上学期入学考试数学试卷

2015-2016学年吉林省四平市高中入学考试数学试卷
　
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．下列各数中，最小的数是（　　）
　 A． ﹣2 B． ﹣0.1 C． 0 D． |﹣1|
　
2．如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是（　　）
　 A． B． C． D．
　
3．下列运算正确的是（　　）
　 A． 3x2+4x2=7x4 B． 2x3?3x3=6x3 C． x6÷x3=x2 D． （x2）4=x8
　
4．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
　 A． B． C． D．
　
5．如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（　　）
　 A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°
　
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（　　）
　 A． 30° B． 40° C． 50° D． 80°
　
　
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．太阳的半径约为696 000千米，用科学记数法表示为　　　　　　千米．
　
8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　　　　．
　
9．某校篮球班21名同学的身高如下表：
身高/cm 180 185 187 190 201
人数/名 4 6 5 4 2
则该校篮球班21名同学身高的中位数是　　　　　　cm．
　
10．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产　　　　　　台机器．
　
11．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为　　　　　　．
　
12．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为　　　　　　度．
　
13．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线解析式是　　　　　　．
　
14．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是　　　　　　．
　
　
三.解答题（每小题5分，共20分）
15．先化简，再求值：﹣，其中x=﹣．
　
16．小锦和小丽购买了价格不相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格．
　
17．现有5个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，1，2，3．先将标有数字﹣2，1，3的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里．现分别从两个盒子里各随即取出一个小球．
（1）请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上数字之和所有可能的结果；
（2）求取出的两个小球上的数字之和等于0的概率．
　
18．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．
　
　
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A，B，M，N均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；
（2）请直接写出四边形ABCD的周长．
　
20．某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：
（1）求被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？
　
21．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路AB的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
　
22． 如图，已知?ABCD水平放置在平面直角坐标系xOy中，若点A，D的坐标分别为（﹣2，5），（0，1），点B（3，5）在反比例函数y=（x＞0）图象上．
（1）求反比例函数y=的解析式；
（2）将?ABCD沿x轴正方向平移10个单位后，能否使点C落在反比例函数y=的图象上？并说明理由．
　
　
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求弦AC的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
　
24．某景区的三个景点A、B、C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C，乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离开景点A后的路程S（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．根据以上信息回答下列问题：
（1）乙出发后多长时间与甲第一次相遇？
（2）要使甲到达景点C时，乙与C的路程不超过400米，则乙从景点B步行到景点C的速度至少为多少？（结果精确到0.1米/分钟）
　
　
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）（2013?呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为　　　　　　；
（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．
①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．
　
26．（10分）（2013?河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是　　　　　　；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　　　　　　．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．
　
　
2015-2016学年吉林省四平市高中入学考试数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．下列各数中，最小的数是（　　）
　 A． ﹣2 B． ﹣0.1 C． 0 D． |﹣1|
考点： 有理数大小比较．
分析： 根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行比较．
解答： 解：因为正实数都大于0，
所以＞0，
又因为正实数大于一切负实数，
所以＞﹣2，
所以＞﹣0.1
所以最大，
故D不对；
又因为负实数都小于0，
所以0＞﹣2，0＞﹣0.1，
故C不对；
因为两个负实数绝对值大的反而小，
所以﹣2＜﹣0.1，
故B不对；
故选A．
点评： 此题主要考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法．（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
　
2．如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 俯视图是从上面看到的图形，共分三列，从左到右小正方形的个数是：1，1，1．
解答： 解：这个几何体的俯视图从左到右小正方形的个数是：1，1，1，
故选：C．
点评： 此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看所得到的图形．
　
3．下列运算正确的是（　　）
　 A． 3x2+4x2=7x4 B． 2x3?3x3=6x3 C． x6÷x3=x2 D． （x2）4=x8
考点： 单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
专题： 计算题．
分析： 根据单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方的定义解答．
解答： 解：A、∵3x2+4x2=7x2≠7x4，故本选项错误；
B、∵2x3?3x3=2×3x3+3≠6x3，故本选项错误；
C、∵x6和x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、∵（x2）4=x2×4=x8，故本选项正确．
故选D．
点评： 本题考查了单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
　
4．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
专题： 计算题．
分析： 本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出x的取值范围．
解答： 解：不等式组
由①得，x＞1，
由②得，x≥2，
故不等式组的解集为：x≥2，
在数轴上可表示为：
故选：A．
点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的．
　
5．如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（　　）
　 A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°
考点： 平行线的性质；余角和补角．
分析： 根据平角等于180°求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．
解答： 解：∵∠1=30°，
∴∠3=180°﹣90°﹣30°=60°，
∵直尺两边互相平行，
∴∠2=∠3=60°．
故选：A．
点评： 本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
　
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（　　）
　 A． 30° B． 40° C． 50° D． 80°
考点： 圆周角定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．
解答： 解：∵OA=OB，∠OBA=50°，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°×2=80°，
∴∠C=∠AOB=40°．
故选：B．
点评： 此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
　
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．太阳的半径约为696 000千米，用科学记数法表示为　6.96×105　千米．
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将696 000千米用科学记数法表示为6.96×105千米．
故答案为：6.96×105．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　
8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≤　．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
解答： 解：根据题意得：1﹣3x≥0，
解得：x≤．
故答案是：x≤．
点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
　
9．某校篮球班21名同学的身高如下表：
身高/cm 180 185 187 190 201
人数/名 4 6 5 4 2
则该校篮球班21名同学身高的中位数是　187　cm．
考点： 中位数．
分析： 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
解答： 解：按从小到大的顺序排列，第11个数是187cm，故中位数是：187cm．
故答案为：187．
点评： 本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
　
10．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产　200　台机器．
考点： 分式方程的应用．
分析： 根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．
解答： 解：设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台．
依题意得：=．
解得：x=200．
检验：当x=200时，x（x﹣50）≠0．
∴x=200是原分式方程的解．
∴现在平均每天生产200台机器．
故答案为：200．
点评： 此题主要考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘．
　
11．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为　﹣1或﹣4　．
考点： 一元二次方程的解．
分析： 把x=﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
解答： 解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，
∴（﹣2）2﹣a×（﹣2）+a2=0，即a2+5a+4=0，
整理，得（a+1）（a+4）=0，
解得 a1=﹣1，a2=﹣4．
即a的值是﹣1或﹣4．
故答案是：﹣1或﹣4．
点评： 本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
　
12．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为　60　度．
考点： 正方形的性质；等边三角形的性质．
分析： 根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC．
解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BFC=45°+15°=60°．
故答案为：60．
点评： 本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ABE=15°．
　
13．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线解析式是　y=x2﹣2　．
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
解答： 解：抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，得：y=（x+1）2﹣2；
再向右平移1个单位，得：y=（x+1﹣1）2﹣2．即：y=x2﹣2．
故答案是：y=x2﹣2．
点评： 主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
　
14．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是　﹣1　．
考点： 菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
解答： 解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=MD=，
∴FM=DM×cos30°=，
∴MC==，
∴A′C=MC﹣MA′=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评： 此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．
　
三.解答题（每小题5分，共20分）
15．先化简，再求值：﹣，其中x=﹣．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=﹣
=
=，
当x=﹣时，原式==．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
16．小锦和小丽购买了价格不相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格．
考点： 二元一次方程组的应用．
分析： 设每支中性笔的价格为x元，每盒笔芯的价格为y元，根据单价×数量=总价建立方程组，求出其解即可．
解答： 解：设每支中性笔的价格为x元，每盒笔芯的价格为y元，由题意，得
，
解得：．
答：每支中性笔的价格为2元，每盒笔芯的价格为8元．
点评： 本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程的解法的运用，总价=单价×数量的运用，解答时根据题意的等量关系建立方程组是关键．
　
17．现有5个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，1，2，3．先将标有数字﹣2，1，3的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里．现分别从两个盒子里各随即取出一个小球．
（1）请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上数字之和所有可能的结果；
（2）求取出的两个小球上的数字之和等于0的概率．
考点： 列表法与树状图法．
分析： （1）首先根据题意列出表格，由表格即可求得取出的两个小球上数字之和所有等可能的结果；
（2）首先根据（1）中的表格，求得取出的两个小球上的数字之和等于0的情况，然后利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：（1）列表得：
﹣1 2
﹣2 ﹣3 0
1 0 3
3 2 5
则共有6种结果，且它们的可能性相同；…（3分）
（2）∵取出的两个小球上的数字之和等于0的有：（1，﹣1），（﹣2，2），
∴两个小球上的数字之和等于0的概率为：=．
点评： 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
　
18．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
专题： 证明题．
分析： 根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．
解答： 证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．
　
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A，B，M，N均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；
（2）请直接写出四边形ABCD的周长．
考点： 作图-轴对称变换；勾股定理．
分析： （1）根据四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，分别得出对称点画出即可；
（2）根据勾股定理求出四边形ABCD的周长即可．
解答： 解；（1）如图所示：
（2）四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=+2++3=2+5．
点评： 此题主要考查了勾股定理以及轴对称图形的作法，根据已知得出A，B点关于MN的对称点是解题关键．
　
20．某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：
（1）求被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
专题： 图表型．
分析： （1）利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；
（2）利用（1）中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；
（3）首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数．
解答： 解：（1）被调查的学生人数为：12÷20%=60（人）；
（2）喜欢艺体类的学生数为：60﹣24﹣12﹣16=8（人），
如图所示：
；
（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有：1200×=480（人）．
点评： 此题主要考查了条形统计图的应用以及扇形统计图应用、利用样本估计总体等知识，利用图形得出正确信息求出样本容量是解题关键．
　
21．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路AB的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
考点： 解直角三角形的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根据三角函数求得CH，AH，在Rt△BCH中，根据三角函数求得BH，再根据AB=AH+BH即可求解；
（2）在Rt△BCH中，根据三角函数求得BC，再根据AC+BC﹣AB列式计算即可求解．
解答： 解：（1）作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，CH=AC?sin∠CAB=AC?sin25°≈10×0.42=4.2（千米），
AH=AC?cos∠CAB=AC?cos25°≈10×0.91=9.1（千米），
在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米），
∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）．
故改直的公路AB的长14.7千米；
（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米），
则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3（千米）．
答：公路改直后比原来缩短了2.3千米．
点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
　
22． 如图，已知?ABCD水平放置在平面直角坐标系xOy中，若点A，D的坐标分别为（﹣2，5），（0，1），点B（3，5）在反比例函数y=（x＞0）图象上．
（1）求反比例函数y=的解析式；
（2）将?ABCD沿x轴正方向平移10个单位后，能否使点C落在反比例函数y=的图象上？并说明理由．
考点： 平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化-平移．
专题： 数形结合．
分析： （1）利用待定系数法把B（3，5）代入反比例函数解析式可得k的值，进而得到函数解析式；
（2）根据A、D、B三点坐标可得AB=5，AB∥x轴，根据平行四边形的性质可得AB∥CD∥x轴，再由C点坐标可得?ABCD沿x轴正方向平移10个单位后C点坐标为（15，1），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得点C落在反比例函数y=的图象上．
解答： 解：（1）∵点B（3，5）在反比例函数y=（x＞0）图象上，
∴k=15，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）平移后的点C能落在y=的图象上；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵点A，D的坐标分别为（﹣2，5），（0，1），点B（3，5），
∴AB=5，AB∥x轴，
∴DC∥x轴，
∴点C的坐标为（5，1），
∴?ABCD沿x轴正方向平移10个单位后C点坐标为（15，1），
∴平移后的点C能落在y=的图象上．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质，以及待定系数法求反比例函数和反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意得到AB=5，AB∥x轴是解决问题的关键．
　
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求弦AC的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
考点： 切线的判定；扇形面积的计算．
专题： 压轴题．
分析： （1）如图，连接OA，欲证明AAB为⊙O的切线，只需证明AB⊥OA即可；
（2）如图，连接AD，构建直角△ADC，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理来求弦AC的长度；
（3）根据图示知，图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积．
解答： （1）证明：如图，连接OA．
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°．
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∴在△ABO中，∠BAO=180°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°，即AB⊥OA，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD．
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°．
∵由（1）知，∠ACB=30°，
∴AD=CD=4，
则根据勾股定理知AC==4，即弦AC的长是4；
（3）解：由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4，则S△ADC=AD?AC=×4×4=8．
∵点O是△ADC斜边上的中点，
∴S△AOC=S△ADC=4．
根据图示知，S阴影=S扇形ADO+S△AOC=+4=+4，即图中阴影部分的面积是+4．
点评： 本题考查了切线的判定，圆周角定理以及扇形面积的计算．解答（3）时，求△AOC的面积的面积的技巧性在于利用了“等边同高”三角形的面积相等的性质．
　
24．某景区的三个景点A、B、C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C，乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离开景点A后的路程S（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．根据以上信息回答下列问题：
（1）乙出发后多长时间与甲第一次相遇？
（2）要使甲到达景点C时，乙与C的路程不超过400米，则乙从景点B步行到景点C的速度至少为多少？（结果精确到0.1米/分钟）
考点： 一次函数的应用．
专题： 行程问题；数形结合．
分析： （1）利用待定系数法求一次函数解析式进而利用两函数相等时即为相遇时，求出时间即可；
（2）根据题意得出要使两人相距400米，乙需要步行的距离为：5400﹣3000﹣400=2000（米），乙所用的时间为：30分钟，进而得出答案．
解答： 解：（1）设S甲=kt，将（90，5400）代入得：
5400=90k，
解得：k=60，
∴S甲=60t；
当0≤t≤30，设S乙=at+b，将（20，0），（30，3000）代入得出：
，
解得：，
∴当20≤t≤30，S乙=300t﹣6000．
当S甲=S乙，
∴60t=300t﹣6000，
解得：t=25，
∴乙出发后5分钟与甲第一次相遇．
（2）由题意可得出；当甲到达C地，乙距离C地400米时，
乙需要步行的距离为：5400﹣3000﹣400=2000（米），乙所用的时间为：90﹣60=30（分钟），
故乙从景点B步行到景点C的速度至少为：≈66.7（米/分），
答：乙从景点B步行到景点C的速度至少为66.7米/分．
点评： 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及行程问题，根据题意得出S与t的函数关系式是解题关键．
　
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）（2013?呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为　（，0）　；
（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．
①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．
考点： 二次函数综合题．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据已知的与x轴的两个交点坐标和经过的一点利用交点式求二次函数的解析式即可；
（2）首先根据上题求得的函数的解析式确定顶点坐标，然后求得点C关于x轴的对称点的坐标C′，从而求得直线C′M的解析式，求得与x轴的交点坐标即可；
（3）①如果DE∥OC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围．如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t．
②本题要分三种情况进行讨论：
当Q在OC上，P在OA上，即当0≤t≤1时，此时S=OP?OQ，由此可得出关于S，t的函数关系式；
当Q在CA上，P在OA上，即当1＜t≤2时，此时S=OP×Q点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；
当Q，P都在CA上时，即当2＜t＜相遇时用的时间，此时S=S△AOQ﹣S△AOP，由此可得出S，t的函数关系式；
综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式．
③根据②的函数即可得出S的最大值．
解答： 解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x﹣6）（a≠0），
∵图象过点（0，﹣8）
∴a=
∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣8；
（2）∵y=x2﹣x﹣8=（x2﹣4x+4﹣4）﹣8=（x﹣2）2﹣
∴点M的坐标为（2，﹣）
∵点C的坐标为（0，﹣8），
∴点C关于x轴对称的点C′的坐标为（0，8）
∴直线C′M的解析式为：y=﹣x+8
令y=0
得﹣x+8=0
解得：x=
∴点K的坐标为（，0）；
（3）①不存在PQ∥OC，
若PQ∥OC，则点P，Q分别在线段OA，CA上，
此时，1＜t＜2
∵PQ∥OC，
∴△APQ∽△AOC
∴
∵AP=6﹣3t
AQ=18﹣8t，
∴
∴t=
∵t=＞2不满足1＜t＜2；
∴不存在PQ∥OC；
②分情况讨论如下，
情况1：0≤t≤1
S=OP?OQ=×3t×8t=12t2；
情况2：1＜t≤2
作QE⊥OA，垂足为E，
S=OP?EQ=×3t×=﹣+
情况3：2＜t＜
作OF⊥AC，垂足为F，则OF=
S=QP?OF=×（24﹣11t）×=﹣+；
综上所述，
当0≤t≤1时，S=12t2，函数的最大值是12；
当1＜t≤2时，S=﹣+，函数的最大值是；
当2＜t＜，S=QP?OF=﹣+，函数的最大值为；
∴S0的值为．
点评： 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
　
26．（10分）（2013?河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是　DE∥AC　；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　S1=S2　．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；
（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．
解答： 解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
②∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
故答案为：DE∥AC；S1=S2；
（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S2；
（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
此时S△DCF1=S△BDE；
过点D作DF2⊥BD，
∵∠ABC=60°，F1D∥BE，
∴∠F2F1D=∠ABC=60°，
∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，
∴∠F1DF2=∠ABC=60°，
∴△DF1F2是等边三角形，
∴DF1=DF2，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，
∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，
∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，
，
∴△CDF1≌△CDF2（SAS），
∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，
又∵BD=4，
∴BE=×4÷cos30°=2÷=，
∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，
故BF的长为或．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．