2024年中考数学（苏科版）二轮复习高频考点突破课件第12章证明（36张ppt）

(共36张PPT)
第12章　证　明
高频考点突破
考点一　对定义、命题的识别
典例1　下列语句中，属于定义的是（　　）
A. 在所有连接两点的线中，线段最短
B. 两个锐角的和大于直角
C. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
D. 同旁内角互补，两直线平行
思路导引　根据定义的概念一一判断即可.
规范解答　对于A，在所有连接两点的线中线段最短，不是定义；对于
B，两个锐角的和大于直角，不是定义；对于C，点到直线的距离是该
点到这条直线的垂线段的长度，是定义；对于D，同旁内角互补，两直
线平行，不是定义，是一个定理.故选C.
现学活用
1. 下列语句中，属于命题的是（　C　）
A. 将27开立方
B. 画线段AB＝CD
C. 正数都小于零
D. 任意三角形的三条高交于一点吗
C
考点二　命题真假的判定
典例2　有下列命题：① 有理数与数轴上的点一一对应；② 两条直线被
第三条直线所截，内错角相等；③ 平行于同一条直线的两条直线互相
平行；④ 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤ 直
线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离.其中，假命题的个
数是（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
思路导引　按①～⑤的顺序一一判断即可.
规范解答　① 有理数和无理数都可以用数轴上的点表示，故原命题是
假命题.② 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假
命题.③ 平行于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题是真命题.④
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题是真命
题.⑤ 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故
原命题是假命题.综上所述，假命题的个数是3.故选B.
方法归纳
确定命题真假的一般方法
要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是
假命题，只需要举出一个反例.
现学活用
2. 有下列命题：① 相等的两个角是对顶角；② 同旁内角互补；③ 过直
线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④ 两点之间，线段最
短；⑤ 两个锐角的和是钝角；⑥ 如果一个角的两边分别平行于另一个
角的两边，那么这两个角相等.其中，假命题的个数是（　B　）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
B
考点三　逆命题真假的判定
典例3　下列命题中，其逆命题成立的是（　　）
A. 对顶角相等
B. 等边三角形的三个内角相等
C. 如果两个数是正数，那么它们的积是正数
D. 等边三角形是锐角三角形
思路导引　把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆
命题是否为真命题即可.
规范解答　对于A，逆命题是相等的两个角为对顶角，是假命题，故A
错误.对于B，逆命题是三个内角相等的三角形是等边三角形，是真命
题，故B正确.对于C，逆命题是如果两个数的积是正数，那么这两个数
也是正数，是假命题，故C错误.对于D，逆命题是锐角三角形是等边三
角形，是假命题，故D错误.故选B.
现学活用
3. 下列命题中，其逆命题是真命题的为（　C　）
A. 若a＞0，b＜0，则a－b＞0
B. 对顶角相等
C. 两直线平行，内错角相等
D. 若m＝n，则｜m｜＝｜n｜
C
考点四　运用基本事实说理
典例4　如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，将△ABC沿直线m
折叠，点A落在点D处，则∠1－∠2的度数是 　　　　.
（典例4图）
思路导引　首先利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得到
∠1和∠2的关系，然后利用折叠的性质即可求解.
规范解答　如图②，∵ ∠1＝∠A＋∠AEF，∠AEF＝∠2＋∠D，∴ ∠1
＝∠A＋∠2＋∠D.根据折叠的性质，得∠A＝∠D＝30°，∴ ∠1＝∠A＋
∠2＋∠D＝60°＋∠2.∴ ∠1－∠2＝60°.故填60°.
现学活用
4. 如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC上一点，将△ABC沿MN折
叠，使点A落在边BC上的点A'处.若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝235°，则∠A
的度数为（　D　）
A. 35° B. 45° C. 65° D. 55°
（第4题）
D
典例5　如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平
分∠ACB，交BD于点O，且∠EOD＋∠OBF＝180°，∠F＝∠G.求证：
DG∥CE.
（典例5图）
思路导引　由“对顶角相等”“同旁内角互补，两直线平行”判定
CE∥BF，可得∠ECD＝∠F.再结合已知条件，角平分线的定义，利用
等量代换推知∠G＝∠ECB.易证DG∥CE.
规范解答　∵ ∠EOD＝∠BOC，∠EOD＋∠OBF＝180°，∴ ∠BOC＋
∠OBF＝180°.
∴ CE∥BF.∴ ∠ECD＝∠F.
又∵ CE平分∠ACB，∴ ∠ECD＝∠ECB.
又∵ ∠F＝∠G，∴ ∠G＝∠ECB.
∴ DG∥CE.
现学活用
5. 如图，AB∥CD，∠1＝∠2＝110°，∠A＝50°.
（1） 求证：BC∥DE.
解：（1） ∵ ∠1＋∠AFB＝180°，∠1＝110°，
∴ ∠AFB＝70°.∵ ∠2＋∠FDE＝180°，∠2＝110°，
∴ ∠FDE＝70°.∴ ∠AFB＝∠FDE.∴ BC∥DE.
（第5题）
（2） 求∠C的度数.
解：（2） ∵ ∠A＋∠AFB＋∠B＝180°，∠A＝50°，
∠AFB＝70°，∴ ∠B＝180°－∠A－∠AFB＝60°.
∵ AB∥CD，∴ ∠C＝∠B＝60°.
（第5题）
考点五　原命题与逆命题
典例6　如图，有三个条件：① ∠1＝∠2；② ∠C＝∠D；③ ∠A＝∠F.
从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例
如以③为结论的命题：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F.
（1） 请按要求写出命题：
以①为结论的命题： 　　　　　　　　　　　　　；
以②为结论的命题： 　　　　　　　　　　　　　.
（2） 请证明以②为结论的命题.
（典例6图）
思路导引　（1） 根据题意要求写出已知求证，写出命题即可求解.
（2） 根据平行线的判定，可得DB∥EC，DF∥AC，根据平行线的性
质，可得∠DBA＝∠C，∠D＝∠DBA，等量代换即可得证.
规范解答　（1） 如图，∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；如
图，∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D.
（2） ∵ ∠1＝∠2，∴ DB∥EC.
∴ ∠DBA＝∠C.
∵ ∠A＝∠F，∴ DF∥AC.
∴ ∠D＝∠DBA.∴ ∠C＝∠D.
现学活用
6. 如图，点F、D在△ABC的边BC上，点E、G分别在AB、AC上.有
三个条件：① ∠1＋∠2＝180°；② ∠DGC＝∠BAC；③ EF∥AD.
请你从中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命
题，并加以证明.
（第6题）
解：答案不唯一，如将①②作为条件，③作为结论.∵ ∠DGC＝
∠BAC，∴ DG∥AB.∴ ∠BAD＝∠1.∵ ∠1＋∠2＝180°，∴ ∠2＋
∠BAD＝180°.∴ EF∥AD.
考点六　探究性问题
典例7　在△ABC中，已知∠A＝α.过边AC上的点D作DE⊥BC，垂足为
E，BF为△ABC的一条角平分线，DG为∠ADE的平分线.
（1） 如图①，若α＝90°，点G在边BC上且不与点B重合.
① 判断∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由.
② 判断BF与GD之间的位置关系，并说明理由.
（2） 如图②，若0°＜α＜90°，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点
H，用含α的代数式表示∠H的度数，并说明理由.
（3） 如图③，若0°＜α＜90°，点G在边AB上，DG与BF交于点M，则
∠BMD的度数为 　　　　（用含α的代数式表示）.
（典例7图）
思路导引　（1） ① 利用角平分线的性质及三角形内角和定理即可
解答.② 利用角的关系可证明BF与GD之间的位置关系.（2）和（3）
均利用角平分线的性质及三角形内角和定理找到各角之间的等量关
系求解即可.
规范解答　（1） ① ∠1＋∠2＝90°.
理由：∵ ∠A＝α＝90°，DE⊥BC，
∴ ∠ABC＋∠C＝90°，∠CDE＋∠C＝90°.
∴ ∠ABC＝∠CDE.
又∵ ∠CDE＋∠ADE＝180°，BF平分∠ABC，DG平分∠ADE，
∴ 2∠1＋2∠2＝180°.
∴ ∠1＋∠2＝90°.
② BF∥GD.
理由：∵ ∠BFC＝∠A＋∠ABF＝90°＋∠1，∠GDC＝∠EDG＋∠CDE
＝∠EDG＋∠ABC＝∠2＋2∠1＝∠1＋∠2＋∠1＝90°＋∠1，
∴ ∠BFC＝∠GDC.
∴ BF∥GD.
（2） ∠H＝45°－α.
理由：∵ ∠H＋∠BGH＝∠FBG，∠BGH＝∠DGE＝90°－∠EDG，
∴ ∠H＋90°－∠EDG＝∠FBG.
∴ ∠H＝∠FBG＋∠EDG－90°.
∵ ∠BGD＝∠EDG＋90°，∠BFD＝∠ABF＋α，∠BGD＋∠BFD＋
∠FBG＋∠FDG＝360°，
∴ ∠EDG＋90°＋∠ABF＋α＋∠FBG＋∠FDG＝360°.
又∵ ∠ABF＝∠FBG，∠FDG＝∠EDG，
∴ ∠EDG＋90°＋∠ABF＋α＋∠FBG＋∠FDG＝∠EDG＋90°＋∠FBG
＋α＋∠FBG＋∠EDG＝360°.
整理，得2（∠EDG＋∠FBG）＝360°－90°－α＝270°－α.
∴ ∠FBG＋∠EDG＝（270°－α）＝135°－α.
将之代入∠H＝∠FBG＋∠EDG－90°，得∠H＝135°－α－90°＝45°－
α.
（3） ∵ ∠BMD＋90°＋∠MBE＋∠MDE＝360°，∴ ∠BMD＝360°－
90°－（∠MBE＋∠MDE）＝270°－（∠MBE＋∠MDE）.又∵ α＋90°＋
∠ABE＋∠ADE＝360°，∠ABE＝2∠MBE，∠ADE＝2∠MDE，∴ α＋
90°＋2∠MBE＋2∠MDE＝α＋90°＋2（∠MBE＋∠MDE）＝360°.∴
∠MBE＋∠MDE＝（360°－90°－α）＝135°－α.将之代入∠BMD＝
270°－（∠MBE＋∠MDE），得∠BMD＝270°－＝135°＋
α.故填135°＋α.
现学活用
7. 如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC.
（1） 若∠B＝64°，∠C＝42°，则∠DAE的度数为 .
11°　
（2） ∠B、∠C与∠DAE之间有何数量关系？证明你的结论.
解：（2） ∠DAE＝∠B－∠C.∵ ∠B＋∠C＋∠BAC＝
180°，∴ ∠BAC＝180°－∠B－∠C.∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE＝∠BAC＝（180°－∠B－∠C）＝90°－∠B
－∠C.∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝90°.∴ ∠BAD＝90°－
∠B.∴ ∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－∠B－∠C－
（90°－∠B）＝∠B－∠C.　
（第7题）
（3） G是线段CE上任意一点（不与点C、E重合），过点G作
GH⊥CE，交AE的延长线于点H，点F在BA的延长线上.若∠FAC＝α，
∠GHE＝β，求∠B、∠C的度数（用含α、β的代数式表示）.
（第7题）
解：（3） ∵ ∠FAC是△ABC的一个外角，∴ ∠FAC＝
∠B＋∠C.∵ ∠FAC＝α，∴ ∠B＋∠C＝α①.
∵ AD⊥BC，GH⊥CE，∴ AD∥GH.∴ ∠DAE＝∠GHE.
∵ ∠GHE＝β，∴ ∠DAE＝β.由（2）知，∠DAE＝∠B
－∠C，∴ ∠B－∠C＝β，即∠B－∠C＝2β②.联立①
②，得解得
（第7题）