2024年中考数学苏科版二轮复习高频考点突破课件第9章　整式乘法与因式分解（40张ppt）

(共40张PPT)
第9章　整式乘法与因式分解
高频考点突破
考点一　单项式与单项式、多项式相乘
典例1　先化简，再求值：3a（2a2－4a＋3）－2a2（3a＋4），其中a＝
－2.
思路导引　首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同
类项，最后代入已知的数值计算求值.
规范解答　原式＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a.
当a＝－2时，原式＝－20×（－2）2＋9×（－2）＝－20×4－9×2＝
－98.
现学活用
1. 已知x2－2＝y，则x（x－2023y）－y（1－2023x）的值为（　A　）
A. 2 B. 0 C. －2 D. 1
2. 下列计算中，正确的是（　D　）
A. 3ab＋2b＝5ab
B. （－x2）·（－x）2＝x4
C. （－2ab2）3＝8a3b6
D. 2m（n2－3m2）＝2mn2－6m3
A
D
考点二　多项式乘多项式
典例2　如图，某高铁站广场前有一块长为2a＋b、宽为a＋b的长方形空
地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中涂色部分），两个长方形喷
泉池及周边留有宽度为b的人行通道.
（典例2图）
（1） 求该长方形空地的面积（用含a、b的代数式表示）.
（2） 求这两个长方形喷泉池的总面积（用含a、b的代数式表示）.
（3） 当a＝200，b＝100时，求这两个长方形喷泉池的总面积.
思路导引　（1） 根据长方形的面积公式列式并计算求得.（2） 根据
“长为2a＋b、宽为a＋b的长方形空地”“两个长方形喷泉池及周边留
有宽度为b的人行通道”，进行列式计算.（3） 把a＝200，b＝100代入
（2）中得到的结果进行计算，即可求得结果.
规范解答　（1） 由题意，得（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2.
所以该长方形空地的面积为2a2＋3ab＋b2.
（2） 由题意，得（a＋b－2b）（2a＋b－3b）＝（a－b）（2a－2b）
＝2a2－4ab＋2b2.
所以这两个长方形喷泉池的总面积为2a2－4ab＋2b2.
（3） 当a＝200，b＝100时，2a2－4ab＋2b2＝2×2002－4×200×100＋
2×1002＝20000.
所以这两个长方形喷泉池的总面积为20000.
现学活用
3. 已知a＋b＝11，ab＝1，求（a－2）（b－2）的值.
解：（a－2）（b－2）＝ab－2a－2b＋4＝ab－2（a＋b）＋4.因为a＋b
＝11，ab＝1，所以原式＝1－2×11＋4＝1－22＋4＝－17.
4. 甲、乙两个长方形的长、宽如图所示（m为正整数），其面积分别为
S1、S2.
（1） 请用含m的代数式分别表示S1、S2.
解：（1） S1＝（m＋7）（m＋1）＝m2＋8m＋7；S2＝（m＋4）（m＋
2）＝m2＋6m＋8.
（2） 若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正
方形的面积为S3，试探究S3与2（S1＋S2）的差是否为常数？若是常数，
求出这个常数；若不是常数，请说明理由.
（第4题）
解：（2） 是常数.设该正方形的边长为a.根据题意，得4a＝2（m＋7＋
m＋1）＋2（m＋4＋m＋2），解得a＝2m＋7.所以S3＝（2m＋7）2.所以
S3－2（S1＋S2）＝（2m＋7）2－2（m2＋8m＋7＋m2＋6m＋8）＝4m2
＋28m＋49－4m2－28m－30＝19.所以S3 与 2（S1＋S2）的差是常数19.
考点三　乘法公式
典例3　（2023·盐城）先化简，再求值：（a＋3b）2＋（a＋3b）（a－
3b），其中a＝2，b＝－1.
思路导引　依据题意，利用完全平方公式和平方差公式将原式进行化
简，再将a、b的值代入计算即可.
规范解答　原式＝a2＋6ab＋9b2＋a2－9b2＝2a2＋6ab.
当a＝2，b＝－1时，原式＝2×22＋6×2×（－1）＝8－12＝－4.
现学活用
5. 先化简，再求值：4（x＋1）2－4（x－1）·（x＋1）＋（1－x）2，其
中x＝－2.
解：原式＝4（x＋1）2＋4（1－x）（x＋1）＋（1－x）2＝[2（x＋1）
＋1－x]2＝（x＋3）2＝x2＋6x＋9.把x＝－2代入，得原式＝（－2）2＋
6×（－2）＋9＝4－12＋9＝1.
典例4　通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个
恒等式.如图，将一个边长为a＋b的正方形分割成四个部分（两个正方
形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：
（1） 根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下
公式： .
（2） 如果图中的a、b（a＞b＞0）满足a2＋b2＝70，
ab＝15，求a＋b的值.
（典例4图）
（3） 已知（x＋9）2＋（x－1）2＝124，求（x＋9）（x－1）的值.
（典例4图）
思路导引　（1） 根据该图形的总面积为（a＋b）2或a2＋2ab＋b2可得
结果.（2） 由（1）中的结果，可得（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，根据a2＋
b2＝70，ab＝15，可求得（a＋b）2的值，即可求a＋b的值.（3） 设x＋9
＝a，x－1＝b，则可求得a－b的值，根据（a－b）2＝a2＋b2－2ab代入
计算可求得ab＝12，即可求得（x＋9）（x－1）的值.
规范解答　（1） 该图形的总面积为（a＋b）2或a2＋2ab＋b2.故填（a＋
b）2＝a2＋2ab＋b2.
（2） 由（1）中的结果，可得（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，
所以当a2＋b2＝70，ab＝15时，（a＋b）2＝70＋2×15＝100.
又因为a＞b＞0，所以a＋b＝10.
（3） 设x＋9＝a，x－1＝b，则（x＋9）2＋（x－1）2＝a2＋b2＝124.
所以a－b＝（x＋9）－（x－1）＝10.
因为（a－b）2＝a2＋b2－2ab，a－b＝10，a2＋b2＝124，所以100＝124
－2ab.
所以ab＝12.
所以（x＋9）（x－1）＝ab＝12.
现学活用
6. 如图①所示为一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀将其
平均分成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成的一个“回”形正
方形（如图②）.
（1） 观察图②，可以得到（a＋b）2－（a－b）2＝ .
4ab　
（2） 当（x－8）（15－x）＝6时，求（2x－23）2的值.
（第6题）
解：设x－8＝a，15－x＝b，则ab＝（x－8）（15－x）＝6.所以a＋b＝
x－8＋15－x＝7，a－b＝2x－23.因为（a＋b）2－（a－b）2＝4ab，所
以（a－b）2＝（a＋b）2－4ab＝72－4×6＝25，即（2x－23）2＝25.
考点四　因式分解
典例5　将9（a－b）2＋12（a2－b2）＋4（a＋b）2分解因式的结果是
（　　）
A. （5a－b）2
B. （5a＋b）2
C. （5a－2b）2
D. （3a－2b）（3a＋2b）
思路导引　把9（a－b）2、4（a＋b）2分别看成是[3（a－b）]2、[2（a
＋b）]2，把12（a2－b2）看成是3（a－b）与2（a＋b）的积的2倍，再
直接利用完全平方公式分解因式得出结果.
规范解答　原式＝[3（a－b）＋2（a＋b）]2＝（5a－b）2.故选A.
现学活用
7. 多项式m2－4与m2－4m＋4有相同的因式为（　B　）
A. m＋2 B. m－2 C. m＋4 D. m－4
B
典例6　分解因式：
（1） 3a2－6ab＋3b2.
（2） x2（m－2）＋y2（2－m）.
思路导引　（1） 先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可.
（2） 先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可.
规范解答　（1） 原式＝3（a2－2ab＋b2）＝3（a－b）2.
（2） 原式＝（m－2）（x2－y2）＝（m－2）（x＋y）（x－y）.
方法归纳
分解因式的一般步骤
1. 如果多项式的首项为负，应先提取负号；2. 如果多项式的各项
含有公因式，那么先提取公因式，再进一步分解因式；3. 如果各项没
有公因式，那么可观察该多项式是否具有完全平方或平方差公式的特
征，尝试运用公式法来分解；4. 如果用上述方法不能分解，再尝试用
分组法、拆项法、补项法、十字交叉法来分解；5. 注意检验分解因式
的最终结果（不能再继续分解）.
现学活用
8. 分解因式：
（1） 3b（a－b）＋a2－ab.
解：原式＝3b（a－b）＋a（a－b）＝（a－b）（3b＋a）.
（2） （x2＋1）2－4x2.
解：原式＝（x2＋1＋2x）（x2＋1－2x）＝（x＋1）2（x－1）2.
9. 若一个三角形的三边长分别为a、b、c，且满足a2＋2b2＋c2－2ab－
2bc＝0.试判断该三角形的形状，并说明理由.
解：该三角形是等边三角形.
理由：因为a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，所以a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2
＝0.所以（a－b）2＋（b－c）2＝0.所以a－b＝0且b－c＝0.所以a＝b且b
＝c，即a＝b＝c.所以该三角形是等边三角形.
典例7　若a2（b＋c）＝b2（a＋c）＝2023，a≠b，则abc的值为（　　）
A. 2023 B. 1011
C. －2023 D. 2024
思路导引　将已知等式利用提公因式法进行整体变形，进而探求abc
的值.
规范解答　因为a2（b＋c）＝b2（a＋c）＝2023，所以a2（b＋c）－b2
（a＋c）＝0，即a2b＋a2c－ab2－b2c＝0.整理，得ab（a－b）＋c（a＋
b）（a－b）＝0.所以（a－b）（ab＋ac＋bc）＝0.因为a≠b，所以a－
b≠0.所以ab＋ac＋bc＝0，即ab＋bc＝－ac.因为b2（a＋c）＝b（ab＋
bc）＝2023，所以b·（－ac）＝2023.所以abc＝－2023.故选C.
现学活用
10. 已知x－y＝2，y－z＝－1，求x2＋y2＋z2－xy－yz－xz的值.
解：因为x－y＝2，y－z＝－1，所以x－z＝（x－y）＋（y－z）＝1.所
以x2＋y2＋z2－xy－yz－xz＝（2x2＋2y2＋2z2－2xy－2yz－2xz）＝[（x
－y）2＋（y－z）2＋（x－z）2]＝×[22＋（－1）2＋12]＝×6＝3.
考点五　代数推理题
典例8　小敏和小华对一些四位数（a、b、c、d均为不超过9的正整
数）进行了观察、猜想，请你帮助他们一起完成探究.
（1） 这个四位数可用含a、b、c、d的代数式表示为
　　　　　　　　　　.
（2） 小敏尝试将一些四位数倒排后，再与原数相加，发现和都为11的
倍数.如1234＋4321＝5555＝505×11，4258＋8524＝12782＝1162×11.
请仿照小敏的做法再举一个具体的例子： 　　　　　　　　　　.你认
为上述结论对于一般的＋也成立吗？请说明理由.
（3） 小华认为如果一个四位数的四个数字之和是9的倍数，那么这个
四位数也是9的倍数.如3231＝359×9，4455＝495×9，6948＝772×9.请
仿照小华的做法再举一个具体的例子： 　　　　　　　　　　.你认为
上述结论对于一般的（a＋b＋c＋d＝9k，k是正整数）也成立吗？
请说明理由.
思路导引　（1） 用多位数的表示方法直接表示即可.（2） 用多位数的
表示方法表示出这两个四位数相加，合并同类项，提取公因式即可.
（3） 用多位数的表示方法表示出四位数，然后用拆项法，拆出四位数
的各位数字之和，整理可得结论成立.
规范解答　（1） 1000a＋100b＋10c＋d.
（2） 答案不唯一，如2345＋5432＝7777＝707×11.
成立.
理由：因为＋＝（1000a＋100b＋10c＋d）＋（1000d＋100c＋
10b＋a）＝1001a＋110b＋110c＋1001d＝11（91a＋91d＋10b＋10c），
91a＋91d＋10b＋10c是整数，
所以＋的结果为11的倍数.
（3） 答案不唯一，如8181＝909×9.
成立.
理由：因为＝1000a＋100b＋10c＋d＝（999a＋99b＋9c）＋（a＋b
＋c＋d）＝9（111a＋11b＋c）＋9k＝9（111a＋11b＋c＋k），111a＋
11b＋c＋k是整数，
所以为9的倍数.
现学活用
11. 发现：任意三个连续偶数的平方和是4的倍数.
（1） （－2）2＋02＋22的结果是4的几倍？
解：（1） 因为（－2）2＋02＋22＝4＋4＝8，8÷4＝2，所以其结果是4
的2倍.
（3） 设三个连续整数的中间一个整数为x，请直接写出它们的平方和被
3除的余数.
解：（3） 2.
（2） 设三个连续偶数的中间一个偶数为2x，写出它们的平方和，并说
明是否为4的倍数.
解：（2） 由题意，得另外两个偶数分别为2x－2和2x＋2.因为平方和为
（2x－2）2＋（2x）2＋（2x＋2）2＝4x2－8x＋4＋4x2＋4x2＋8x＋4＝
12x2＋8＝4（3x2＋2），所以其平方和是4的倍数.
考点六　新定义问题
典例9　如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个
正整数为“神秘数”.如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4、
12、20这三个数都是“神秘数”.
（1） 28是“神秘数”吗？为什么？
（2） 设两个连续偶数为2k＋2和2k（其中k取非负整数），由这两个连
续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3） 若长方形相邻两边的长为两个连续偶数，试说明其周长一定为
“神秘数”.
（4） 若将三位数中最大的“神秘数”记为a，两位数中最大的“神秘
数”记为b，求a＋b的值.
思路导引　（1） 根据新定义判断求解.（2） 根据新定义列式，再分解
因式说明.（3） 先用k表示长方形的两边的长，再根据（2）中的结论说
明.（4） 利用（2）中的结论列不等式求出a、b的值，再求解.
规范解答　（1） 28是“神秘数”.
因为28＝82－62，
所以28是“神秘数”.
（2） 由两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数.
因为（2k＋2）2－（2k）2＝4k2＋8k＋4－4k2＝8k＋4＝4（2k＋1），
所以由两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数.
（3） 设长方形相邻两边的长分别为2k＋2、2k（k为正整数），则其周
长为2（2k＋2＋2k）＝8k＋4＝（2k＋2）2－（2k）2.
所以该长方形的周长一定为“神秘数”.
（4） 由（2），得8k＋4是“神秘数”.
由8k＋4＜1000，得k＜124.5.
所以k的最大整数值为124.
所以a＝8×124＋4＝996.
由8k＋4＜100，得k＜12.
所以k的最大整数值为11.
所以b＝8×11＋4＝92.
所以a＋b＝996＋92＝1088.
现学活用
12. 我们规定： 表示abc， 表示xm＋yn.根据这个规定，解答下
列问题：
（1） 计算： ÷ ＝ .
（2） 若代数式 ＋ 为完全平方式，则k＝ .
（3） 解方程： － ＝6x2＋7.
解：由题意，得（3x－2）（3x＋2）－[（x＋2）（3x－2）＋32]＝6x2
＋7.整理，得6x2－4x－9＝6x2＋7，解得x＝－4.
－　
3或－3