专题01 相交线
知识点归纳
对顶角
1．（2023七年级下·湖北襄阳·期中）下列四个图中，与是对顶角的是（ ）
A．B．C． D．
邻补角
2．（2023七年级下·湖北黄石·期中）下面四个图形中，与是邻补角的是（ ）
A．B．C． D．
利用邻补角求角度
3．（22·23七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线交于点O，，把分为两部分，且，则的度数为（ ）
A．120° B．140° C．108° D．126°
“三线八角”的判断
4．（2023七年级上·湖北襄阳·期中）如图，下列结论中错误的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是内错角 D．与是同位角
垂线
5．（2023七年级下·湖北咸宁·期中）如图，直线与相交于点O，，若，则α为 ．
点到直线的距离与垂线段最短
6．（2023七年级下·湖北黄冈·期中）如图，P是直线l外一点，A、B、C是直线l上的三点，且与l垂直，在从P到直线l的多条道路中，最短路线是 （只填序号即可），理由是 ．
精选提高题
一、单选题
1．已知：如图，，垂足为O，则与的关系一定成立的是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
2．如图，直线相交于点平分．若，则的度数为( )
A． B． C． D．
3．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（ ）
A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角
4．若 与 相等且互补，与是对顶角，则的一半是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，相交于点，平分，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如果∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，若∠1=35°时，则∠2= ．
7．已知和互为邻补角，且，平分，射线在内部，且，，，则 ．
8．如图，直线相交于点O，，O为垂足，如果，则 度
9．已知直线与直线相交于点O，，于点O，则 ．
10．若平面上四条直线两两相交，且无三线共点，则一共有 对内错角.
三、解答题
11．（1）如图，、、三点在线段上，，点是线段的中点，．
①求线段的长；②求线段的长．
（2）如图，直线，相交于点O，平分，平分．
①求的度数；②若，求的度数．
12．如图，直线与相交于点O，是的角平分线，，，．
(1)求的度数；
(2)与是否相等，请说明理由；
(3)直接写出图中的所有余角．
13．如图，直线、相交于点O，，射线将分成两个角，且．
(1)求的度数；(2)若平分，则是的平分线吗？判断并说明理由．
14．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求和的度数．
15．如图，点在直线上，与互补，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的值；
(3)若，设，求的度数(用含的代数式表示的度数)．专题01 相交线
知识点归纳
对顶角
1．（2023七年级下·湖北襄阳·期中）下列四个图中，与是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的定义直接判定即可．
【详解】一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，且这两个角有公共顶点，则互为对顶角
根据定义，C正确；故选：C
【点睛】本题考查对顶角的应用，熟练掌握对顶角的意义是解题关键．
邻补角
2．（2023七年级下·湖北黄石·期中）下面四个图形中，与是邻补角的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】利用邻补角的定义进行判断即可．
【详解】解：A、两个角首先要相邻，由图知，此选项不符合题意；
B、两个角要相邻，由图知，此选项不符合题意；
C、两个角既相邻又互补，此选项符合题意；
D、两个角相邻，但不互补，此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是邻补角的定义，解题关键是明白定义的本质，一是相邻，二是互补．
利用邻补角求角度
3．（22·23七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线交于点O，，把分为两部分，且，则的度数为（ ）
A．120° B．140° C．108° D．126°
【答案】A
【分析】根据对顶角相等得出，再根据，求出，再利用邻补角求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了对顶角的性质和邻补角的性质，解题关键是准确识图，找出图形中角的关系．
“三线八角”的判断
4．（2023七年级上·湖北襄阳·期中）如图，下列结论中错误的是（ ）
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是内错角 D．与是同位角
【答案】C
【分析】利用同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可.
【详解】解；A．与是同旁内角，所以此选项正确；
B．与是内错角，所以此选项正确；
C．∠2、∠5既不是同位角、不是内错角，也不是同旁内角，所以此选项错误；
D．与是同位角，所以此选项正确，
故选：C．
【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
垂线
5．（2023七年级下·湖北咸宁·期中）如图，直线与相交于点O，，若，则α为 ．
【答案】/46度
【分析】由垂线的性质以及平角的定义即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直的意义和平角，解题的关键是掌握垂线的性质．
点到直线的距离与垂线段最短
6．（2023七年级下·湖北黄冈·期中）如图，P是直线l外一点，A、B、C是直线l上的三点，且与l垂直，在从P到直线l的多条道路中，最短路线是 （只填序号即可），理由是 ．
【答案】 垂线段最短
【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，从而可得答案.
【详解】解：P是直线l外一点，A、B、C是直线l上的三点，且PB与l垂直，在从P到直线l的多条道路中，最短路线是，
理由是垂线段最短.
故答案为：；垂线段最短
【点睛】本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短，熟记概念是解本题的关键.
精选提高题
一、单选题
1．已知：如图，，垂足为O，则与的关系一定成立的是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
【答案】B
【分析】根据垂直的性质及对顶角的性质，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
与两角互余．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直的性质及对顶角的性质，熟练掌握和运用垂直的性质及对顶角的性质是解决本题的关键．
2．如图，直线相交于点平分．若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由平角定义即可求出的度数．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查垂线，角平分线定义，平角的定义，掌握以上知识点是解题的关键．
3．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（ ）
A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角
【答案】D
【分析】根据邻补角的定义，可判断A，根据对顶角的定义，可判断B，根据同位角的定义，可判断C，根据内错角的定义，可判断D
【详解】解：A、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，故A正确；
B、与的两边互为反向延长线，故B正确；
C、与的位置相同，故C正确；
D、与是同旁内角．故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了邻补角，对顶角，同位角、内错角、同旁内角，根据定义求解是解题关键．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．同位角的概念：两条直线，被第三条直线所截（或说，相交），在截线的同旁，被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．内错角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；同旁内角的概念：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角．
4．若 与 相等且互补，与是对顶角，则的一半是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据互补的两个角的和等于 ，以及 与 互补且相等可求 ， 再根据对顶角相等求出 ，进一步即可得解
【详解】∵ 与 互补且相等，
与是对顶角，
的一半是，
故选B
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，补角的定义，是基础题，熟记性质与概念是解题的关键
5．如图，直线，相交于点，平分，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平角的定义求出，然后根据角平分线的定义求出，再根据对顶角相等求出即可．
【详解】解：，
，
平分，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及对顶角的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义以及对顶角相等这一性质．
二、填空题
6．如果∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，若∠1=35°时，则∠2= ．
【答案】35°或145°
【分析】分∠1在∠2内部和外部两种情况，画出图形，根据角的和差关系即可得答案．
【详解】如图，当∠1在∠2外部时，
∵∠1的两边分别垂直于∠2的两边，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠1+∠BOC=∠2+∠BOC，
∴∠2=∠1=35°．
如图，当∠1在∠2内部时，
∵∠1的两边分别垂直于∠2的两边，
∴∠AOD=∠BOC=90°，
∴∠AOC=∠BOD=90°-∠1=90°-35°=55°，
∴∠2=∠AOC+∠1+∠BOD=55°+35°+55°=145°．
故答案为：35°或145°
【点睛】本题考查角的运算，分情况正确画出图形是解题关键．
7．已知和互为邻补角，且，平分，射线在内部，且，，，则 ．
【答案】或
【分析】分两种情况进行讨论：在上方，或在下方，先依据已知条件求得的度数，再根据，即可得到的度数．
【详解】解：分两种情况进行讨论：
①如图1所示，若在上方，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，即，
设，则，
∵为平角，
∴，
即，
解得，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②如图2所示，若在下方，
同理可得，，
又∵，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，邻补角的定义，垂直的定义，正确画出图形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
8．如图，直线相交于点O，，O为垂足，如果，则 度
【答案】52
【分析】根据垂线的定义，可得，根据角的和差，可得的度数，根据邻补角的定义，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：52．
【点睛】本题考查了垂线的定义，邻补角的和等于，解题的关键是要注意领会由垂直得直角这一要点．
9．已知直线与直线相交于点O，，于点O，则 ．
【答案】或
【分析】根据题意分两类情况，根据垂直定义可得，然后利用角的和与差可得答案．
【详解】解：分两种情况：
如图，
，
，
，
；
如图，
，
，
．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了垂线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质及角的计算的方法进行计算是解答此题的关键．
10．若平面上四条直线两两相交，且无三线共点，则一共有 对内错角.
【答案】24
【分析】一条直线与另3条直线相交（不交于一点），有3个交点，每2个交点确定一条线段，共有3条线段，4条直线两两相交且无三线共点，共有3×4=12条线段，每条线段两侧共有2对内错角，由此可知内错角总数．
【详解】∵平面上4条直线两两相交且无三线共点，
∴共有3×4=12条线段，
又∵每条线段两侧共有2对内错角，
∴共有内错角 12×2=24对，
故答案为24．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，主要考查的是内错角的定义，解题的关键是结合图形、熟记内错角的位置特点，两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对内错角．
三、解答题
11．（1）如图，、、三点在线段上，，点是线段的中点，．
①求线段的长；②求线段的长．
（2）如图，直线，相交于点O，平分，平分．
①求的度数；②若，求的度数．
【答案】（1）①；②；（2）①；②．
【分析】（1）①根据求解即可；
②首先根据题意得到，然后根据线段中点等概念得到，进而求出，根据线段的和差关系求解即可；
（2）①利用角平分线的定义结合已知求出即可得出答案；
②求出的度数，再利用对顶角的性质和角平分线的定义求出，进而得出的度数．
【详解】解：（1）①因为，
所以；
②因为，，三点在线段上，，
所以，
所以．
因为点是线段的中点，所以．
所以．
所以，，
所以；
（2）①∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
由（1）得：
∴．
【点睛】此题主要考查线段中点的有关计算，线段的和差计算．还考查了角平分线的定义，对顶角相等以及邻补角的性质，正确得出各角之间的关系是解题关键．
12．如图，直线与相交于点O，是的角平分线，，，．
(1)求的度数；
(2)与是否相等，请说明理由；
(3)直接写出图中的所有余角．
【答案】(1)；(2)相等，理由 略；(3)，，．
【分析】（）直接利用垂直的定义结合对顶角的定义得出的度数；
（）分别求出与的度数进而得出答案．
（）依据是的平分线，，，即可得到图中的所有余角；
此题考查了垂线的定义以及角平分线的定义和对顶角定义，正确把握相关定义是解题关键．
【详解】（1）∵，
∴，
又∵与是对顶角，
∴，
∴；
（2）相等，理由：
∵与是对顶角，
∴，
∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
而，
∴；
（3）∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴图中的所有余角为，，．
13．如图，直线、相交于点O，，射线将分成两个角，且．
(1)求的度数；(2)若平分，则是的平分线吗？判断并说明理由．
【答案】(1)；(2)OB是的平分线，理由见解析
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义：
（1）由对顶角相等可得，再根据即可求解；
（2）由邻补角的性质求得，再由角平分线的性质求得，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
，，
；
（2）解：是．理由如下：
，
，
平分，，
，
，，
，
是的平分线．
14．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求和的度数．
【答案】，
【分析】此题主要考查了邻补角的性质和角平分线定义，一元一次方程的应用，首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，再计算出的度数，再根据邻补角互补可得的度数，进而得出的度数．
【详解】解：平分，
，
，
设，则，，
，
解得：，
，，
，
平分，
，
，
，
．
15．如图，点在直线上，与互补，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的值；
(3)若，设，求的度数(用含的代数式表示的度数)．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据同角的补角相等可得，即可算出的度数，根据平角的性质可得的度数，由，即可算出的度数，再根据代入计算即可得出答案；
（2）设，根据同角的补角相等可得，即可算出的度数，根据平角的性质可得的度数，根据垂线的性质，可得，即可算出的度数，由，代入计算即可算出的值；
（3）根据同角的补角相等可得，即可算出关于的表达式，根据平角的性质可得关于的表达式，由，即可得出，代入计算即可得出，再根据代入计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
；
（2）解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，余角和补角及角的计算，熟练掌握垂线的性质，余角和补角及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键．
