第九章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件 第1课时 用角的关系判定两个三角形相似（含答案）
文档属性
| 名称 | 第九章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件 第1课时 用角的关系判定两个三角形相似（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-17 18:11:20 | ||
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文档简介
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第九章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第1课时 用角的关系判定两个三角形相似
基 础 练
练点1 相似三角形的定义
1.如图,已知. 且 则AD:AC 等于( )
A. AE: AC B. DE:BC C. AE: BC D. DE:AB
2.若 EF=4,则 ( )
练点2 用两角分别相等判定两个三角形相似
3.如图,若 ∠3，则图中的相似三角形有( )
A.1对 B.2 对 C.3 对 D.4对
第3 题图 第4 题图
4.如图,D是边AB上一点，添加一个条件, 使添加的条件是______________.
5.如图,在 中, E 是边 AC 上一点,且 过点 A 作BE 的垂线,交 BE 的延长线于点 D,求证:
纠易错 不理解相似三角形的对应关系而出错
6. 如图, 下列各式中正确的有( )
① ② ③ ④
A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个
第6题图 第7题图
提 升 练
7.如图,△ABC 为等边三角形,点D,E 分别在边 BC,AB 上,∠ADE = 60°. 若BD=4DC,DE =2.4,则AD 的长为( )
A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2
8.如图，在平面直角坐标系中,C 为△AOB 的 OA边上一点,AC: OC =1:2,过点C 作CD∥OB 交AB 于点D,CD=2, 则 B点的纵坐标为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
第8 题图 第9题图
9.如图,在平行四边形ABCD 中,E 是线段AB 上一点,连接AC,DE 交于点 F.若 则
10. 如图,在 中, 若 且点A 在DE 上,点 E 在 BC 上,EF与AC 交于点 M.求证:
11.在 中, AD 是斜边 BC上的高.
(1)证明:
(2)若 求BD的长.
12.如图，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，连接PD,PC,
(1)求证:
(2)若点 P 恰好为 AB 的中点,且. 3,求 PC 的长.
13.如图，在 中,AD平分交 BC 于点D,F 为 AD 上一点,且BF的延长线交AC 于点 E.
(1)求证:
(2)若 求DF 的长.
参考答案
1. B
2. D 【点拨】
3. D 【点拨】①∵∠A=∠A,∠1=∠3,∴△ADE∽△ABC.
②∵∠3 =∠2,∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD.
③∵∠A=∠A,∠1 =∠2,∴△ADE∽△ACD.
④∵ ∠1=∠3,∴DE∥BC.∴∠BCD=∠CDE.又∵∠3=∠2,
∴△CDE∽△BCD.∴ 图中的相似三角形有4 对.
4.∠ACD=∠B(答案不唯一)
5.【证明】∵ BE=BC,∴∠C =∠CEB.
∵∠CEB=∠AED,∴ ∠C= ∠AED.
∵AD⊥BE,∴ ∠D=∠ABC=90°,∴△ADE∽ △ABC.
6. A 【点拨】找准相似三角形的对应边，才能准确写出对应线段所成的比例式.
点易错 两个相似三角形中，相等的角是对应角，对应角的对边是对应边.
7. C 【点拨】∵ △ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠B=∠C=60°,∴ ∠CAD+∠ADC=120°.
∵∠ADE=60°,∴∠BDE+∠ADC=120°,∴∠CAD=∠BDE,
∴设DC=x,则BD=4x,∴BC=AC=5x,
8. C 【点拨】∵CD∥OB,∴∠ADC=∠ABO,
解得OB=6,∴B 点的纵坐标为6.
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD.
∴设AE=2a,则 BE=3a,∴AB=CD=5a.
∵ AB∥CD,∴∠AEF=∠CDF,∠EAF=∠DCF,
10.【证明】∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C.
∵ △ABC≌△DEF,∴∠AEF=∠B.
又∵∠AEF +∠CEM=∠AEC = ∠B + ∠BAE, ∴ ∠CEM = ∠BAE,
∴△ABE∽△ECM.
11.(1)【证明】∵ AD 是斜边 BC 上的高,∴∠BDA =90°.
∵∠BAC=90°,∴∠BDA=∠BAC.
又∵∠B 为公共角,∴△ABD∽△CBA.
(2)【解】由(1)知
12.(1)【证明】∵ ∠A=90°,∠DPC=90°,∴∠ADP+∠DPA=90°,∠DPA+∠BPC=90°,
∴∠ADP=∠BPC.
又∵∠A=∠B=90°,∴ △APD∽△BCP.
(2)【解】∵ 点 P 恰好为AB 的中点,且AB=8,DA =3,∴AP=BP =4.
由(1)知△APD∽△BCP, 即 解得
即PC 的长为
点技巧 题 (1) 是相似三角形中常见的三垂直模型.在此模型中，不相邻的两个直角三角形一定相似.
13.(1)【证明】∵ AD 平分
又
(2)【解】如图,作 于点 H,作 交AD 的延长线于点 N，
易知
又∵
又∵
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第九章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第1课时 用角的关系判定两个三角形相似
基 础 练
练点1 相似三角形的定义
1.如图,已知. 且 则AD:AC 等于( )
A. AE: AC B. DE:BC C. AE: BC D. DE:AB
2.若 EF=4,则 ( )
练点2 用两角分别相等判定两个三角形相似
3.如图,若 ∠3，则图中的相似三角形有( )
A.1对 B.2 对 C.3 对 D.4对
第3 题图 第4 题图
4.如图,D是边AB上一点，添加一个条件, 使添加的条件是______________.
5.如图,在 中, E 是边 AC 上一点,且 过点 A 作BE 的垂线,交 BE 的延长线于点 D,求证:
纠易错 不理解相似三角形的对应关系而出错
6. 如图, 下列各式中正确的有( )
① ② ③ ④
A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个
第6题图 第7题图
提 升 练
7.如图,△ABC 为等边三角形,点D,E 分别在边 BC,AB 上,∠ADE = 60°. 若BD=4DC,DE =2.4,则AD 的长为( )
A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2
8.如图，在平面直角坐标系中,C 为△AOB 的 OA边上一点,AC: OC =1:2,过点C 作CD∥OB 交AB 于点D,CD=2, 则 B点的纵坐标为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
第8 题图 第9题图
9.如图,在平行四边形ABCD 中,E 是线段AB 上一点,连接AC,DE 交于点 F.若 则
10. 如图,在 中, 若 且点A 在DE 上,点 E 在 BC 上,EF与AC 交于点 M.求证:
11.在 中, AD 是斜边 BC上的高.
(1)证明:
(2)若 求BD的长.
12.如图，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，连接PD,PC,
(1)求证:
(2)若点 P 恰好为 AB 的中点,且. 3,求 PC 的长.
13.如图，在 中,AD平分交 BC 于点D,F 为 AD 上一点,且BF的延长线交AC 于点 E.
(1)求证:
(2)若 求DF 的长.
参考答案
1. B
2. D 【点拨】
3. D 【点拨】①∵∠A=∠A,∠1=∠3,∴△ADE∽△ABC.
②∵∠3 =∠2,∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD.
③∵∠A=∠A,∠1 =∠2,∴△ADE∽△ACD.
④∵ ∠1=∠3,∴DE∥BC.∴∠BCD=∠CDE.又∵∠3=∠2,
∴△CDE∽△BCD.∴ 图中的相似三角形有4 对.
4.∠ACD=∠B(答案不唯一)
5.【证明】∵ BE=BC,∴∠C =∠CEB.
∵∠CEB=∠AED,∴ ∠C= ∠AED.
∵AD⊥BE,∴ ∠D=∠ABC=90°,∴△ADE∽ △ABC.
6. A 【点拨】找准相似三角形的对应边，才能准确写出对应线段所成的比例式.
点易错 两个相似三角形中，相等的角是对应角，对应角的对边是对应边.
7. C 【点拨】∵ △ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠B=∠C=60°,∴ ∠CAD+∠ADC=120°.
∵∠ADE=60°,∴∠BDE+∠ADC=120°,∴∠CAD=∠BDE,
∴设DC=x,则BD=4x,∴BC=AC=5x,
8. C 【点拨】∵CD∥OB,∴∠ADC=∠ABO,
解得OB=6,∴B 点的纵坐标为6.
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD.
∴设AE=2a,则 BE=3a,∴AB=CD=5a.
∵ AB∥CD,∴∠AEF=∠CDF,∠EAF=∠DCF,
10.【证明】∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C.
∵ △ABC≌△DEF,∴∠AEF=∠B.
又∵∠AEF +∠CEM=∠AEC = ∠B + ∠BAE, ∴ ∠CEM = ∠BAE,
∴△ABE∽△ECM.
11.(1)【证明】∵ AD 是斜边 BC 上的高,∴∠BDA =90°.
∵∠BAC=90°,∴∠BDA=∠BAC.
又∵∠B 为公共角,∴△ABD∽△CBA.
(2)【解】由(1)知
12.(1)【证明】∵ ∠A=90°,∠DPC=90°,∴∠ADP+∠DPA=90°,∠DPA+∠BPC=90°,
∴∠ADP=∠BPC.
又∵∠A=∠B=90°,∴ △APD∽△BCP.
(2)【解】∵ 点 P 恰好为AB 的中点,且AB=8,DA =3,∴AP=BP =4.
由(1)知△APD∽△BCP, 即 解得
即PC 的长为
点技巧 题 (1) 是相似三角形中常见的三垂直模型.在此模型中，不相邻的两个直角三角形一定相似.
13.(1)【证明】∵ AD 平分
又
(2)【解】如图,作 于点 H,作 交AD 的延长线于点 N，
易知
又∵
又∵
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