限时训练6 正余弦定理的应用举例
一、单选题
1．（21-22高二上·陕西铜川·期末）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由题意可知,
由余弦定理可得，
故选：D
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，即可根据等腰三角形求解.
【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，，
因为，所以，
在中，由得，
故选：C
3．（22-23高一下·山东泰安·期中）湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】根据角度结合三角函数解三角形即可.
【详解】因为，
所以
又可得米.
故选：D.
4．（23-24高三上·北京·阶段练习）如图，在曲柄绕C点旋转时，活塞A做直线往复运动，设连杆长为40cm，曲柄长10cm，则曲柄从初始位置按顺时针方向旋转60°时，活塞A移动的距离约为（ ）
（，）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作图，在三角形中，根据三角函数求出相关线段的长度，结合图形，即可得出答案.
【详解】
如图，过点作于点，
由已知可得，，，，，
所以，，，
所以，.
在中，由勾股定理可得，，
所以，，
所以，.
故选：C.
5．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆（瑞典语：），在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得，，，（其中，，，四点共面），据此可估计该体育馆的直径大约为（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合题意，利用正弦定理和余弦定理即可求解.
【详解】连接，，在中，由正弦定理知，
即，解得，
在中，由余弦定理得：，即，
所以．
故选：C.
二、多选题
6．（21-22高一下·安徽池州·期末）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．A、D之间的距离为海里
C．A、B两处岛屿间的距离为海里
D．B、D之间的距离为海里
【答案】BC
【分析】根据三角形的内角求得∠CAD,判定A；利用正弦定理求得AD,判定A；利用等腰直角三角形性质求得BD,判定D；利用余弦定理求得AB,判定C.
【详解】解：由题意可知，，，，，
所以，故A错误；
，
在中，由正弦定理得，得(海里)，故B正确；
在中，因为，，所以(海里)，故D错误；
在中，由余弦定理得，
(海里)，故C正确.
故选：BC.
7．（20-21高一下·安徽亳州·期中）花戏楼是我市著名的旅游景点，位于亳州城北关，涡水南岸，是国家级点文物保护单位.花戏楼始于清顺治十三年(公元1656年)，是一座演戏的舞台，因戏楼遍布戏文，彩绘鲜丽，俗称花戏楼.它的正门前有两根铁旗杆，每根重12000斤，旗杆高16米多，直插碧空白云间，是花戏楼景点的一绝.我校数学兴趣小组为了测量旗杆AB的高度，选取与旗杆底部(点B)在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，如图，兴趣小组可以测量的数据有：CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出旗杆AB的高度的是（ ）
A．CD，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD
C．CD，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理和余弦定理分析与相关的三角形是否可解，从而可得正确的选项．
【详解】对于A，在，因为已知，故由正弦定理可解三角形，
从而求出，而在中，因为已知，故可求的高度，故A正确．
对于B，知道，则可沿变化，故不可求的高度，
故B错误．
对于C，在，因为已知，故由正弦定理可解三角形，
从而求出，而在中，因为已知，故可求的高度，故C正确．
对于D，如图所示，设，，，，
在中，，
在中，，
在中，①，
在中，，
即②，由①②可构建关于的方程，
故可求的高度，故D正确．
故选：ACD．
8．（22-23高三下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ）
A． B．的面积为
C． D．点在点的北偏西方向上
【答案】AC
【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可；
对于，先求出，，，再根据，，即可判断；
对于，根据三角形的面积公式求解即可，即可判断；
对于，在中，由正弦定理，即可判断；
对于，过点作于点，易知，即可判断．
【详解】对于，因为，点位于点的南偏西的方向上，
所以，，，
又，，，，
在，中，，，所以，故A正确；
对于，的面积为，故B错误；
对于，在中，由正弦定理，得，解得，故C正确；
对于，过点作于点，易知，所以，故D错误，
故选：．
三、填空题
9．（23-24高一上·江西·期中）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图，为了测量山顶处的海拔高度，从山脚处沿斜坡到达处，在处测得山顶的仰角为45°，山脚的俯角为15°.已知两地的海拔高度分别为100m和200m.记在水平面的射影分别为，则山顶的海拔高度为 m.
【答案】
【分析】通过作辅助线将问题转化为到三角形中，正确理解仰角、俯角和射影的概念，利用正弦定理和三角函数定义计算即得.
【详解】
如图，过点作于，由题意知，在中，，，则.
在中，由正弦定理，.
在中，,则.
则山顶的海拔高度为.
故答案为：.
10．（23-24高三上·福建厦门·期中）我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的正弦值是 .
【答案】/
【分析】利用余弦定理、同角三角函数的基本关系式求得，再利用二倍角公式求得正确答案.
【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，，因为为的中点，
所以，，当伞完全收拢时，，
所以，，
在中，，
则为锐角，所以，
所以.
故答案为：
四、解答题
11．（23-24高三上·上海浦东新·期末）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成．其中三点共线，扇形半径为30米．规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．
(1)若，，求休闲步道总长（精确到米）；
(2)若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，在中，由余弦定理得求得，再由弧长公式，求得的长，进而求得总周长，得到答案.
（2）若选择面积最小：设，得到，在中，由正弦定理，求得，，根据三角形的面积公式，结合三角恒等变换的公式，得到，结合三角函数的性质，即可求解；
若选择周长最长：由正弦定理，求得，，利用三角恒等变换的公式，化简得到周长为，结合三角函数的饿性质，即可求解.
【详解】（1）解：由题意知，，所以，，
因为，所以，
在中，由余弦定理得
，
所以，又由弧长公式，可得的长，
所以总周长为：.
（2）解：若选择面积最小：
设，因为，可得，
由正弦定理知，
所以，
，
所以
，
因为，所以，
所以，当时，即时，面积取得最大值，最大值为，
又因为，
，
所以，.
若选择周长最长：
设，因为，可得，
由正弦定理知，
所以，
，
则的周长为
，
其中，
因为的最大值为，所以的周长的最大值为，
即时，即时，
所以时，
的周长的最大值为.
12．（23-24高三下·山东·开学考试）如图所示，圆的半径为2，直线与圆相切于点，圆上的点从点处逆时针转动到最高点处，记.
(1)当时，求的面积；
(2)试确定的值，使得的面积等于的面积的2倍.
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）过点作，利用圆的性质求得，代入面积公式直接求解即可；
（2）设的面积为的面积为，结合三角形面积公式建立方程，利用辅助角公式化简求解即可.
【详解】（1）过点作交于点，如图：
因为圆的半径为2，由题意，
又，所以的面积为.
（2）连接，设的面积为的面积为，
又，，
由题意，所以，即，所以，
因为，所以，所以，所以，
所以当时，使得的面积等于的面积的2倍.限时训练6 正余弦定理的应用举例
一、单选题
1．（21-22高二上·陕西铜川·期末）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高一下·山东泰安·期中）湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（23-24高三上·北京·阶段练习）如图，在曲柄绕C点旋转时，活塞A做直线往复运动，设连杆长为40cm，曲柄长10cm，则曲柄从初始位置按顺时针方向旋转60°时，活塞A移动的距离约为（ ）
（，）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆（瑞典语：），在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得，，，（其中，，，四点共面），据此可估计该体育馆的直径大约为（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（21-22高一下·安徽池州·期末）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．A、D之间的距离为海里
C．A、B两处岛屿间的距离为海里
D．B、D之间的距离为海里
7．（20-21高一下·安徽亳州·期中）花戏楼是我市著名的旅游景点，位于亳州城北关，涡水南岸，是国家级点文物保护单位.花戏楼始于清顺治十三年(公元1656年)，是一座演戏的舞台，因戏楼遍布戏文，彩绘鲜丽，俗称花戏楼.它的正门前有两根铁旗杆，每根重12000斤，旗杆高16米多，直插碧空白云间，是花戏楼景点的一绝.我校数学兴趣小组为了测量旗杆AB的高度，选取与旗杆底部(点B)在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，如图，兴趣小组可以测量的数据有：CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出旗杆AB的高度的是（ ）
A．CD，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD
C．CD，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC
8．（22-23高三下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ）
A． B．的面积为
C． D．点在点的北偏西方向上
三、填空题
9．（23-24高一上·江西·期中）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图，为了测量山顶处的海拔高度，从山脚处沿斜坡到达处，在处测得山顶的仰角为45°，山脚的俯角为15°.已知两地的海拔高度分别为100m和200m.记在水平面的射影分别为，则山顶的海拔高度为 m.
10．（23-24高三上·福建厦门·期中）我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的正弦值是 .
四、解答题
11．（23-24高三上·上海浦东新·期末）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成．其中三点共线，扇形半径为30米．规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．
(1)若，，求休闲步道总长（精确到米）；
(2)若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状．
12．（23-24高三下·山东·开学考试）如图所示，圆的半径为2，直线与圆相切于点，圆上的点从点处逆时针转动到最高点处，记.
(1)当时，求的面积；
(2)试确定的值，使得的面积等于的面积的2倍.
