德雅学校2024年八年级数学入学练习
一、单选题（每小题3分、共30分）
1. 在式子，，，，，中，分式有（ ）
A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有未知数，如果含有未知数则是分式，如果不含有未知数则不是分式．
【详解】解：式子，中，分母不含未知数，不是分式，
，，中，分母含有未知数，是分式，共3个．
故选：B．
2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A选项，原式，故该选项不符合题意；
B选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
C选项，原式，故该选项不符合题意；
D选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的为（ ）
A. B.
C. ，， D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故选项A符合题意；
∵，
∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意；
∵，
∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故选项C不符合题意；
∵，
∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了零次幂、单项式乘以单项式，分式的乘方，积的乘方，理解“，（），，”及单项式乘以单项式法则是解题的关键．
【详解】A.，结论错误，不符合题意；
B.，结论错误，不符合题意；
C.，结论正确，符合题意；
D.，结论错误，不符合题意；
故选：C．
5. 下列说法正确的是（ ）．
A. 的平方根是 B. 的算术平方根是
C. 负数没有立方根 D. 是2的算术平方根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，以及立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据平方根，算术平方根，以及立方根的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．的平方根是，故不正确；
B．的算术平方根是，故不正确；
C．负数有一个负的立方根，故不正确；
D．是2的算术平方根，正确；
故选D．
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，求得不等式组的解集是解题的关键．
先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
在数轴上表示如下：
故选：A．
7. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B. 等边三角形有3条对称轴
C. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质一一判断即可．
【详解】A．正确；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
B．正确．等边三角形有3条对称轴；
C．错误，SSA无法判断两个三角形全等；
D．正确．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理，等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
8. 如图，是等边三角形，D、E分别是的边、上的点，且，与相交于点P，于点F，，，则的长为（ ）
A. 8 B. 13 C. 16 D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】证，推出，求出，得出，根据含30度角直角三角形性质求出即可．
本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
9. 若关于x的分式方程无解，则a的值为( )
A 0 B. 1 C. 1或5 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后根据分式方程无解，可得，再代入整式方程，即可求解．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
因为分式方程无解，
所以，
即，
把代入整式方程得：，
解得：．
故选：B．
10. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】①根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分B，可得，再根据三角形内角和定理即可进行判断；
②用反证法即可判断；
③延长至G，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断；
④作的平分线交于点G，证明，可得，进而可以判断；
【详解】解：①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，作的平分线交于点G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，三线合一，反证法，作辅助线构建三角形全等是解题的关键．
二、填空题（每小题3分、共18分）
11. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：由题意知，
解得，
故答案为：．
13. 已知的两边，长分别为3和5，边上的中线的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系，根据延长，取，连接证明得到，再利用三角形三边关系得到，即可解题．
【详解】解：延长，取，连接，如下图所示：
，
为边上的中线，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
．
故答案为：．
14. 已知，则＝______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是先对进行分母有理化，然后再根据完全平方公式求解即可．
【详解】∵，
∴
；
故答案为：．
15. 如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，，则与的周长差是_________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，三角形的周长计算，先根据已知条件利用证明，即可得出，进而求出各自的周长，然后相减即可．
【详解】解：∵为的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
的周长为：，
的周长为：，
∴与的周长差是∶
故答案为：8．
16. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理依次计算出，，，，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得△的面积即可得到结论．
【详解】解：，，，
．
；
；
；
△的面积．
∴的面积=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂负整数指数幂，求一个数的算术平方根，化简绝对值进行计算即可
【详解】解：原式
18. 先化简，再从，0，1中选一个合适的x的值代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值，注意根据分式有意义的条件选择合适的值代入即可．
【详解】解：原式
∵，
∴
取，则
19. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解分式方程，先方程两边都乘最简公分母，把分式方程化为整式方程，进而即可求解．
【详解】解：
方程两边都乘最简公分母得：
检验：当时，，
原方程的解为．
20. 解不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组；
分别求出不等式组中两个不等式的解集，然后根据确定不等式组解集的方法得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为：．
21. 如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
【答案】（1）相等，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角定理，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．
（1）根据题意可得，即可根据证明，即可得出；
（2）先求出．再根据三角形的外角定理得出．最后根据全等三角形对应角相等，即可得出
．
【小问1详解】
解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
22. 已知：在中，平分，平分．
（1）如图1，若，求的度数．
（2）如图2，连接，作，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积公式的计算，掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质可求出的度数，在根据三角形的内角和定理即可求解的度数；
（2）根据角平分线的性质，作于，于，由此可得，再根据三角形的面积计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴
；
【小问2详解】
解：作于，于，如图2，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴的面积．
23. 永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元．
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
【答案】（1）购买A种树每棵需400元，购买B种树每棵需500元
（2）有三种购买方案，分别是：方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵；方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵；方案3：购买A种树50棵，购买B种树50棵
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组实际应用，一元一次不等式应用．
（1）根据题意列二元一次方程组解出即可；
（2）根据题意列一元一次不等式，解出后列出方案即可．
【小问1详解】
解：设购买A种树每棵需x元，购买B种树每棵需y元，
由题意可知：，
解方程组得，
答：购买A种树每棵需400元，购买B种树每棵需500元．
【小问2详解】
解：设购进A种树a棵，由题意可知：
，解不等式得：，
又因为购进A种树不能少于48棵，即：，
∴有三种购买方案，分别是：
方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵；
方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵；
方案1：购买A种树50棵，购买B种树50棵．
24. 我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知，且k为整数，关于x的不等式，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”
（2）
（3）存在，k的值为0或1
【解析】
【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；
（2）根据“雅含”关系的定义得出，解不等式即可；
（3）首先解关于m、n的方程组即可求得m、n的值，然后根据，，且k为整数即可得到一个关于k的范围，从而求得k的整数值；
【小问1详解】
不等式A：的解集为，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
【小问2详解】
∵不等式C：的解集为，不等式D：的解集为，且C是D的“子式”，
∴，
解得；
【小问3详解】
由求得，
∵，，
∴，
解得，
∵k为整数，
∴k的值为；
不等式P：整理得，；不等式的解集为，
①当时，不等式P的解集是全体实数，
∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
②当时，不等式P的解集为，
不能满足P与Q存在“雅含”关系，
③当时，不等式P：的解集为，
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
∴，且，
解得，
∴，
综上k的值为0或1．
【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
25. 在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
【积累经验】
（1）如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．
【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）与的面积之和为4．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
（1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到；
（2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到．
（3）由，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出F即可得出结果．
【详解】解：（1），理由如下，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）仍然成立，理由如下，
∵，
，
，
∵，
∴，
∴，
；
（3）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴与的面积之和为4．德雅学校2024年八年级数学入学练习
一、单选题（每小题3分、共30分）
1. 在式子，，，，，中，分式有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A B. C. D.
3. 下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的为（ ）
A B.
C. ，， D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列说法正确的是（ ）．
A. 平方根是 B. 的算术平方根是
C. 负数没有立方根 D. 是2的算术平方根
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B. 等边三角形有3条对称轴
C. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
8. 如图，是等边三角形，D、E分别是的边、上的点，且，与相交于点P，于点F，，，则的长为（ ）
A. 8 B. 13 C. 16 D. 17
9. 若关于x的分式方程无解，则a的值为( )
A 0 B. 1 C. 1或5 D. 5
10. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（每小题3分、共18分）
11. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为_____．
12. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
13. 已知的两边，长分别为3和5，边上的中线的取值范围为________．
14 已知，则＝______．
15. 如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，，则与的周长差是_________．
16. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 先化简，再从，0，1中选一个合适的x的值代入求值．
19. 解分式方程：．
20. 解不等式组．
21. 如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
22. 已知：在中，平分，平分．
（1）如图1，若，求的度数．
（2）如图2，连接，作，求的面积．
23. 永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元．
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
24. 我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知，且k为整数，关于x的不等式，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
25. 在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
【积累经验】
（1）如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．
