6.4.3余弦定理 课件（共21张ppt）数学人教A版（2019）必修第二册

(共21张PPT)
第一课时　余弦定理
　6.4.3　余弦定理、正弦定理
千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？
引入
探究1 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c
那么c＝a－b，①
我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，
联想到数量积的性质c·c＝|c|2，
可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算.
由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cos C.
所以c2＝a2＋b2－2abcos C，
同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2cacos B.
1.余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的余弦的__________.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
a2＝__________________，
b2＝__________________，
c2＝__________________.
知识梳理
平方的和
积的两倍
b2＋c2－2bccos A
a2＋c2－2accos B
a2＋b2－2abcos C
温馨提示：
(1)适用范围：任意三角形.
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.
(3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，在等式中可以做到“知三求一”.
√
A.2 B.4 C.6 D.8
√
√
利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
小结：
1.已知两边及其夹角解三角形的方法：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.
2.已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.
根据题意，由余弦定理可得
因为a>b>c，所以A>B>C，即A为最大角.
√
探究2 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，如何解三角形？
知识梳理
余弦定理的推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
则cos A＝__________________，
cos B＝ ___________________ ，
cos C＝ ____________________.
例3 若△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，6a＝4b＝3c，则cos B＝
√
变式训练 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为
设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，
因为l＝5c，所以a＝b＝2c，
由余弦定理的推论，得
√
探究3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？
提示　A为直角 a2＝b2＋c2；
A为锐角 b2＋c2>a2(前提是b，c是两个较小边)；
A为钝角 b2＋c2利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两个思路：
(1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；
(2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
一般地，若遇到的式子含角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理.
例5 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2accos B，
而B＝60°，b2＝ac，
即(a－c)2＝0，所以a＝c.
又B＝60°，
所以△ABC一定是等边三角形.
√
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
所以b2＋c2－a2＝2b2，
即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形.
√
1.在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于
A.30° B.45° C.60° D.90°
由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，
所以△ABC为直角三角形，A＝30°.
√
随堂小练
√
3.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________.
由题意得，a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，