2024届高考数学冲刺模拟卷07（A卷）（含解析）

2024届高考数学冲刺模拟卷07（A卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则的值是
A． B．0 C． D．
3．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，则等于
A．2 B．3 C．4 D．6
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有
A．15种 B．18种 C．19种 D．21种
6．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
7．若函数是偶函数，定义域为,且时，，则满足的实数的取值范围是
A．[0，1) B．(-1，1) C．[0，2) D．(-2，2)
8．已知F1，F2分别为椭圆的y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若5，则点A的坐标可以是（　 　）
A．（1，） B．（，0） C．（0，﹣1） D．（，）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则在复平面内对应的点在第二象限
C．若，则
D．若，复数在复平面内对应的点为，则直线（为原点）斜率的取值范围为
10．先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ）
A． B．
C．事件与事件相互独立 D．
11．欧拉函数是数论中的一个基本概念，的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如，因为1，3，5，7均与8互质，则（ ）
A． B．数列单调递增
C． D．数列的前项和小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为 .
13．如图，在水平放置的底面直径与高相等的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球（小球材质密度），向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为 ，圆柱的侧面积与球的表面积的比值为 ．

14．已知函数在上单调，，则的可能取值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数且曲线 在点处的切线方程为．
（1）求实数a，b的值及函数的单调区间；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数 m的取值范围．
16．如图，在三棱柱中，，，，平面.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小.
17．新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”
其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．
(1)若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；
(2)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项；
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．
18．已知双曲线过点且焦距为10．
(1)求C的方程；
(2)过点作直线l与双曲线C交于P、Q两点，求直线l斜率的取值范围．
(3)已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．
19．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动，点为圆上一个定点，其初始位置为原点为绕点转过的角度（单位：弧度，）.
(1)用表示点的横坐标和纵坐标；
(2)设点的轨迹在点处的切线存在，且倾斜角为，求证：为定值；
(3)若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为，则该光滑曲线长度为，其中函数满足.当点自点滚动到点时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度.
2024届高考数学冲刺模拟卷07（A卷）答案解析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式求出集合A,B，根据集合的交集运算即可求得答案.
【详解】由题意，即，且，
由得：，
故，，
则，
故选：．
2．设，则的值是
A． B．0 C． D．
【答案】C
【解析】先利用赋值法求出的值，再求出的值，即得解.
【详解】令得.
令得，
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查二项式定理求系数的和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析能力.
3．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，则等于
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】由已知，可根据抛物线方程结合抛物线的定义直接求解.
【详解】由已知，抛物线方程为，
根据抛物线的定义：.
故选：B
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式和二倍角公式求解值.
【详解】.
故选:B
5．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有
A．15种 B．18种 C．19种 D．21种
【答案】B
【详解】每个盒子先放一个球，用去3个球，则不同放法就是剩余6 个球的放法；有两类：
第一，6个球分成1,5或2,4两组，共有种方法；第二，6个球分成1,2,3三组，有种方法．所以不同放法共有12+6=18种．故选B
6．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】B
【详解】试题分析：A中若，由于为内任意一条直线，不能说明，A错误；B中，而，说明内必有一条直线，，则，符合两个平面垂直的判定定理，则；C中垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以垂直；D选项可用三棱柱的三个侧面来说明其不正确.
考点：空间直线与平面平行、垂直关系的综合应用.
7．若函数是偶函数，定义域为,且时，，则满足的实数的取值范围是
A．[0，1) B．(-1，1) C．[0，2) D．(-2，2)
【答案】B
【分析】根据题意，分析得函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，计算得f（1）＝1，则原不等式可以转化为||＜1，解可得m的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，当x≥0时，f（x）＝，
则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
且f（1）＝log22＝1，
则 ||＜1，
即﹣1＜m＜1，
故选B
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f（x）的单调性及特殊值．
8．已知F1，F2分别为椭圆的y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若5，则点A的坐标可以是（　 　）
A．（1，） B．（，0） C．（0，﹣1） D．（，）
【答案】C
【分析】由椭圆方程可知，，，，设，，根据，可得，分别代入椭圆方程即可得出．
【详解】由y2＝1知，
，，，，
设，，
，
，，
，．
解得，．
．
故选：
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、多选题
9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则在复平面内对应的点在第二象限
C．若，则
D．若，复数在复平面内对应的点为，则直线（为原点）斜率的取值范围为
【答案】ACD
【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，设，则，若，则，
则，所以，故A正确；
对于B，若，则，所以在复平面内对应的点
在第四象限，故B错误；
对于C，设，由，可得，
则，即，则，故C正确；
对于D，设，则，若，
则，即点在以为圆心，为半径的圆上，
设过原点与圆相切的直线为，即，
则圆心到切线的距离，解得，
所以直线（为原点）斜率的取值范围为，故D正确.
故选：ACD
10．先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ）
A． B．
C．事件与事件相互独立 D．
【答案】BCD
【分析】列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义及条件概率的概率公式计算可得.
【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，，
则基本事件总数为，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共36种情况，
满足事件的有，，，，，，，，，
，，共种，其概率，故A错误；
满足事件的有，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共个，故；
满足事件的有，，共个，所以，故B正确；
满足事件的有，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共个，故，
满足事件的有，，， ，，，
，，，共个，所以，
所以事件与事件相互独立，故C正确；
满足事件的有，，，，，，，共种，
所以，则，故D正确.
故选：BCD
11．欧拉函数是数论中的一个基本概念，的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如，因为1，3，5，7均与8互质，则（ ）
A． B．数列单调递增
C． D．数列的前项和小于
【答案】ACD
【分析】A，由题意可得，即可判断选项正误；B，由A选项可判断选项正误；C，注意到，则从1到100个整数中去掉能被2或5整除的数，即可得与100互质的数，即；D，由C选项分析结合题意可得，后由等比数列前n项和公式可判断选项正误.
【详解】A选项，由题可知与4互质的数为1，3，则；与6互质的数为1，5，则；
与10互质的数为1，3，7，9，则，故，即A正确；
B选项，由A选项可知，，故数列不是单调递增数列，即B错误；
C选项，注意到，则从1到100，这100个整数中，被2整除的有50个，
被5整除的有20个，同时被2和5整除的有10个，则从1到100，这100个整数中，
不能被被2或5整除的数，即与100互质的数的个数为个，则，故C正确；
D选项，由C选项分析可知，与互质的数，就是从1到，这个整数中去掉所有的2的倍数.
其中2的倍数有个，则，同理可得.则，
即为首项为，公比为的等比数列，其前项和，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
12．已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设出点的坐标，由勾股定理得到等式，化简后除去曲线与轴的交点得答案.
【详解】设，则，
即，
整理得：.
∵三点构成三角形，∴.
∴顶点的轨迹方程为.
故答案为：.
13．如图，在水平放置的底面直径与高相等的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球（小球材质密度），向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为 ，圆柱的侧面积与球的表面积的比值为 ．

【答案】 ； .
【分析】先作圆柱的轴截面图，根据几何关系求得小球半径，再根据球体的体积公式和表面积公式，以及圆柱侧面积计算公式，即可求得结果.
【详解】根据题意，作出圆柱的轴截面图，连接，
过作，垂足为，如下所示：

设小球半径为，圆柱的底面圆半径为，
根据题意可得：，
，，
在三角形中，由勾股定理可得，
即，整理得，
又，则，又，则；
故球的体积为；
圆柱的侧面积，
球的表面积，
则；
故答案为：，.
14．已知函数在上单调，，则的可能取值为 .
【答案】
【分析】根据函数的单调区间确定，再根据确定关于周期的相应等式，结合其范围，即可求得答案.
【详解】设的周期为T，函数在上单调，
故；
由以及函数在上单调，得，
由，，得或或，
若，则；
若，则；
若，则；
故的可能取值为，
故答案为：
四、解答题
15．已知函数且曲线 在点处的切线方程为．
（1）求实数a，b的值及函数的单调区间；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数 m的取值范围．
【答案】（1），，减区间，增区间；（2）
【分析】（1）首先将代入得切点为，从而得到，解方程组即可得到，再利用导数求单调区间即可.
（2）首先将题意转化为恒成立，设，利用导数求出设的最小值即可.
【详解】（1）代入得：，所以切点为.
，
所以.
所以.
，
令，解得，（舍去）.
所以，，为减函数，
，，为增函数.
（2）因为恒成立，即恒成立，
化简为：恒成立.
设，即即可.
，
因为在为增函数，且，
所以，，为减函数，
，，为增函数.
，即.
16．如图，在三棱柱中，，，，平面.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由平面，所以，再由勾股定理，证得，利用线面垂直的判定定理，即可得到平面.
（2）以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
【详解】（1）证明：因为平面，所以，
因为，，所以，
又，所以平面.
（2）以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的法向量为，则，，
所以，，取，则.
又平面，取平面的法向量，
所以.
由图可知，二面角为钝角，所以二面角为.
【点睛】本题考查了线面垂直判定与证明，以及二面角的计算问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理．同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
17．新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”
其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．
(1)若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；
(2)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项；
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据古典概型计算公式进行求解即可；
（2）根据三种方案下数学期望的大小关系进行判断即可.
【详解】（1）由题意，该考生所有选择结果构成的样本空间为：
设“某题的答案是AB，该考生得分”，则．
（2）设方案一、二、三的得分分别为X，Y，Z．
①∵，．
∴X的分布列为：
X 2 3
P
则．
②∵，，，
∴Y的分布列为：
Y 0 4 6
P
则．
③∵，，
∴Z的分布列为：
Z 0 6
P
则．
∵，
∴以数学期望为依据选择方案一更恰当．
18．已知双曲线过点且焦距为10．
(1)求C的方程；
(2)过点作直线l与双曲线C交于P、Q两点，求直线l斜率的取值范围．
(3)已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意列方程组求出，即可得出C的方程；
（2）设，与双曲线联立由直线与双曲线的位置关系求解即可；
（3）根据四点共线，要证即证，设出直线，，，联立直线方程与椭圆方程得出，将其代入，计算结果为零，即证出．
【详解】（1）由题意可得：，故，所以C的方程为．
（2）由题意可知直线的斜率存在，设，
与双曲线联立得：．
因为直线与双曲线交于P、Q两点，所以且，
由，得，
由，得，
解得：
直线斜率的取值范围为．
（3）设，，
当时，即，解得，则，
双曲线的渐近线方程为，
故当直线与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，
此时直线方程为，
令，则，故．
则直线．
由得，
所以，．
因为，
，
．
所以，所以
即．
【点睛】关键点睛：本题第三问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设，从而得到直线方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明即可.
19．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动，点为圆上一个定点，其初始位置为原点为绕点转过的角度（单位：弧度，）.
(1)用表示点的横坐标和纵坐标；
(2)设点的轨迹在点处的切线存在，且倾斜角为，求证：为定值；
(3)若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为，则该光滑曲线长度为，其中函数满足.当点自点滚动到点时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)8.
【分析】（1）根据给定条件，结合三角函数及弧长计算求解.
（2）利用复合函数的求导公式，求出切线斜率，再借助三角恒等变换推理即得.
（3）由（1）及给定信息，求出并确定原函数，再求出弧长即得.
【详解】（1）依题意，，则，
所以.
（2）由复合函数求导公式及（1）得，因此，
而
，
所以为定值1.
（3）依题意，.
由，得，则，于是（为常数），
则，
所以的长度为8.
【点睛】结论点睛：函数是区间D上的可导函数，则曲线在点处的切线方程为：.