黑龙江省哈尔滨实验中学2023-2024学年高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨实验中学高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，使”的否定是( )
A. ，使 B. ，使
C. ，使 D. ，使
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.若正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是( )
；
；
；
．
A. B. C. D.
7.若幂函数在上单调递增，则函数且过定点( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数是上的减函数，则实数的可能的取值有( )
A. B. C. D.
11.函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的为( )
A. 的最小正周期是
B. 的图象关于点对称
C. 将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象，则是奇函数
D. 在上单调递减
12.函数，函数，则函数的零点个数可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13. ______．
14.若函数的定义域是，则函数的定义域是______．
15.已知，则的值是______．
16.若方程在有解，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知．
若不等式的解集是，求实数的值；
若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，，．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且．
求函数，的解析式；
设，，对，，使得，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
，
所以．
故选：．
由题知，，再求集合并集运算即可．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“，使”的否定是：，使．
故选：．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以，
因为，所以，
因为，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
首先解指数不等式和分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以．
故选：．
以和为中间值，结合指数及对数函数的单调性比较即可．
本题主要考查了指数函数及对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：正实数，满足，
，当且仅当时取等号，
，
，
，
即，
故选：．
根据基本不等式可得，解得即可求出的最小值．
本题考查了基本不等式和不等式的解法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析个函数，
，，，在区间上，函数图象连续且有，可以用二分法求零点近似值；
，，在区间上，函数图象连续且，可以用二分法求零点近似值；
，，，在区间上，函数图象连续且，可以用二分法求零点近似值；
，，，在区间上，函数图象连续且有，可以用二分法求零点近似值；
，有，存在零点，但不能用二分法求出，
故选：．
根据题意，依次分析所给的个函数，综合可得答案．
本题考查函数零点的判断，涉及二分法的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为幂函数在上单调递增，
所以，
解得，
所以函数的图象过定点．
故选：．
根据幂函数的图象与性质求出的值，再求出指数函数图象恒过定点问题．
本题考查了幂函数与指数函数应用问题，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，则，
所以，
令，则，所以函数在上为增函数，
对任意的，，
所以函数为上的偶函数，且，
由可得，即，
即，所以，，即，解得．
故选：．
利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得的取值范围．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，故A正确；
对于，，故B错误；
对于，，故C错误；
对于，，故D正确．
故选：．
利用二倍角的余弦公式即可判断、；利用二倍角的正弦公式即可判断；利用两角和的正弦公式即可判断．
本题考查利用三角恒等变换知识化简求值，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数的单调性的定义，属于基础题．
根据单调性的定义列出关于的不等式组，求出解集即可得答案．
【解答】
解：因为函数是上的减函数，
所以，解可得，
所以四个选项中符合条件的实数的取值可以是，，．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：根据函数的部分图象，
可得，即，．
再根据五点法作图，可得，求得，故
故函数的最小正周期为，故A正确．
令，求得，可得的图象关于点对称，故B正确．
将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度后，
得到函数的图象，故不是奇函数，故C错误．
在上，，函数单调递减，故D正确．
故选：．
根据题意，根据特殊点的坐标求出，再根据五点法作图求出值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查根据函数的部分图象求函数的解析式，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
根据题意，作出函数的大致图象，函数的零点，即方程，即的根，结合二次函数的性质分种情况讨论，分析的零点情况，综合即可得答案．
本题考查函数与方程的应用，涉及分段函数的性质，属于较难题．
【解答】
解：根据题意，，其大致图象如图：
函数的零点，
即方程即的根，
对于，
当时，方程无解，则函数的零点个数为，
当时，有解，
即，此时有和符合题意，函数的零点个数为，
当时，有解，
即和，
若，有个符合题意，
若，有个符合题意，则此时函数的零点个数为，
综合可得：函数的零点个数可能为、、；
故选：．
13.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
由已知结合指数及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，，解得．
故答案为：．
由题意得，，解不等式即可求解．
本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：令，则，，
则．
故答案为：．
令，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由，转化为，即，
因为，则，则，
所以，则，解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
根据题意，将原式化为，由正弦函数的值域列出不等式，代入计算，即可得到结果．
本题考查了正弦函数的性质，考查了方程思想和函数思想的应用，属于基础题．
17.【答案】解：由题意可知，和是方程的两根，
所以，解得；
由题可得，
即对一切实数恒成立，
当时，不等式化为，解得，不符合题意；
当时，有解得，
综上可知，实数的取值范围为：
【解析】由题意可知，和是方程的两根，代入求解即可；
由题意可和对一切实数恒成立，分和求解即可．
本题考查了函数与方程思想，考查了转化思想及一元二次不等式的解法，属于中档题．
18.【答案】解：因为，
所以，
又，
所以，；
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
又，
所以．
【解析】由已知结合同角基本关系即可求解；
由已知先利用同角基本关系求出，再由已知结合两角差的正切公式可求，进而可求．
本题主要考查了和差角公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，
所以，
即，
解得，；
，
令，易知在上单调增，
所以当，，
所以；
当时，，
因为，所以，
所以，
即，
又因为对，，使得，
所以在上的值域包含在上的值域，
即在上的值域包含，
又因为的开口向上，对称轴为，
所以时，，
由，得，，
所以；
当时，，
由，解得，
所以；
综上实数的取值范围为．
【解析】由题意可得，，即可得答案；
由题意可得在上的值域包含在上的值域，结合指数函数、二次函数的性质求解即可．
本题考查了指数函数、二次函数的性质，考查了函数的奇偶性、转化思想及分类讨论思想，属于中档题．
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