山东省青岛九中2023-2024学年高一（下）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省青岛九中高一（下）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若角的终边经过点，则的值可以为( )
A. B. C. D.
3.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为，然后石片在水面上继续进行多次弹跳不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为参考数据：，，( )
A. B. C. D.
5.若，都是第一象限角，则“”是“”成立的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是( )
A. B. C. D.
7.若定义域为的奇函数在内单调递减，且，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则是的图象的对称中心
B. 若恒成立，则的最小值为
C. 若在上单调递增，则
D. 若在上恰有个零点，则
11.已知函数，以下结论正确的是( )
A. 它是偶函数
B. 它是周期为的周期函数
C. 它的值域为
D. 它在这个区间有且只有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个函数的解析式，满足：是定义在上的偶函数；时，，则 ______．
13.设函数的零点为，函数的零点为，则 ______．
14.设函数，若方程有个不等的实根，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求的取值范围．
16.本小题分
求的值；
已知，，求的值．
17.本小题分
已知指数函数的图象过点，是定义域为的奇函数．
试确定函数的解析式；
求实数，的值；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，当时，的最小值为．
求；
若，求的值及此时的最大值．
19.本小题分
如图，某市建有贯穿东西和南北的两条垂直公路，，在它们交叉路口点处的东北方向建有一个荷花池，荷花池的外围是一条环形公路，荷花池中的固定观景台位于两条垂直公路的角平分线上，与环形公路的交点记作游客游览荷花池时，需沿公路先到达环形公路处为了分流游客，方便游客游览荷花池，计划从靠近公路，环形公路上选A，两处关于直线对称修建直达观景台的玻璃栈道，以，所在的直线为，轴建立平面直角坐标系，靠近公路，的环形公路可用曲线近似表示，曲线符合函数．
若百米，点到的垂直距离为百米，求玻璃栈道的总长度；
若要使得玻璃栈道的总长度最小为百米，求观景台的位置．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
故，
所以．
故选：．
根据已知条件，结合补集、交集的定义，即可求解．
本题主要考查补集、交集的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由点位于第二象限可得，角为第二象限角．
又，
则当时，有．
所以，与终边相同的角的集合为．
因为满足，不满足，不满足，不满足．
故选：．
根据已知得出为第二象限角，求出满足条件的一个的值，即可得出答案．
本题考查三角函数的定义，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，且，两边同时乘以，可得，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选：．
由题意可得，代入所求的代数式中，再由“”的活用及基本不等式，可得所求的代数式的最小值．
本题考查“”的活用及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设这次“打水漂”石片的弹跳次数为，
由题意得，
即，
解得，
因为，
所以，
即．
故选：．
设这次“打水漂”石片的弹跳次数为，根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可．
本题主要考查了对数的运算性质，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：充分性：
根据、都是第一象限角，可知且，
若，则，整理得，
结合、都是正数，得，
而，同向不等式相乘，得，即成立．
必要性：
根据、都是第一象限角，可知且，
若，则，即，
即，可得，
所以，即，整理得，即成立．
综上所述，“”是“”成立的充要条件．
故选：．
根据充分必要条件的定义，结合同角三角函数的基本关系，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查同角三角函数的关系及其应用、充要条件的判断等知识，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：函数，的周期为，
令，可得，，
所以，即，，
又，
所以，，，
又，所以，
所以，
，
，
不为定值的量是．
故选：．
求函数的周期，估计的范围，再求函数的零点，由此确定，，结合条件化简可得结论．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为在内单调递减，得在上也单调递减，
且，根据，得，
则在上单调递减，在上单调递减，
且，
时，，，
时，，，
时，，，
时，，，
时，，，
综上，．
故选：．
根据奇函数在内单调递减，得在上也单调递减，且，根据，得，再分类讨论，利用函数的单调性可求出结果．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据函数性质解不等式，时基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数与方程、对数运算，考查数学运算能力，属于中档题．
先对函数进行变换，得到和是方程的根，由方程的根唯一，得到，求解即可．
【解答】
解：实数，满足，，
，，
即，，
和是方程的根，
设，
，，，
又在上单调递增，
方程的根唯一，
所以，，整理得，
所以．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，，且，，
，当且仅当取等号，故A不正确；
，，且，
，，，，故B正确；
则，故D正确；
，，且，，即，
当且仅当取等号，则，故C正确．
故选：．
对于利用基本不等式可判断；对于利用不等式的性质以及指数函数的单调性即可判断；对于直接根据不等式的性质判断即可．
本题主要考查了基本不等式及相关结论的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，若，则，所以，
所以是图象的对称轴，不是的图象的对称中心，故A错误；
对于，若恒成立，即恒成立，
则，解得：，，又因为，则的最小值为，故B正确；
对于，时，，
因为在上单调递增，则，解得，故C正确；
对于，时，，若在上恰有个零点，
则，解得，故D错误．
故选：．
根据题意，求出的值，判断出项的正误；由恒成立，可知，由此判断出项的正误；由可得，求解，判断出项的正误；由可得，求解，判断出项的正误．
本题主要考查正弦函数的图象与性质、函数的单调性与最值等知识，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由于，所以它是偶函数，故A正确；
由于，它们不相等，所以它不是周期为的周期函数，即B错误；
现在来考察这个函数在内的情况．
当时，，
当时，，
分别画出以上两个函数图象，并截取相关部分如图：
由此可知函数值域为，即选项C正确；
又由于这个函数是偶函数，它在内没有零点，而在有个零点，故D正确．
故选：．
根据函数奇偶性定义可知，，即A正确；由周期函数得定义可知，与不一定相等，故B错误；将函数写成分段函数的形式并画出函数图像可得C正确；结合以及偶函数的性质，可判断D正确．
本题主要考查了三角函数图象的变换及图象的应用，在求解含有绝对值的三角函数值域问题时，可以想尽一切办法先把绝对值去掉，然后结合其他函数性质进行求解即可．例如在判断选项时，首先可讨论时的函数解析式，画出图形；当时图像重复的图像，而时，关于轴作出对称图像即可．
12.【答案】答案不唯一．
【解析】解：由题意可得：符合题意．
故答案为：．
根据题意可知符合要求的函数不止一个，符合要求即可．
本题主要考查函数的解析式，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：令得，则的零点为与图象的交点之横坐标，
同理函数的零点为与的交点之横坐标，
又与互为反函数，即它们的图象关于对称，且与垂直，
所以和与的交点也关于对称，
由解得交点为，
所以．
故答案为：．
根据的零点即为与的交点之横坐标，的零点即为与的交点之横坐标，且与互为反函数，即图象关于对称，且与垂直，所以和与的交点也关于对称，据此求解．
本题考查函数零点与方程的根以及函数图象交点间的关系，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：令，则，即，
可得，
作出函数的图象如下图所示：
因为方程有个不等的实根，
由图可知方程必有两根，，
当，时，可得，解得，，不合题意；
当，时，需满足，
解得．
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
利用换元法将方程转化为必有两根，画出函数的图象由数形结合进行分类讨论即可求得实数的取值范围．
本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，属于中档题．
15.【答案】解：由题意得，；
当时，，
所以．
若，则，
所以当时，，解得；
当时，，解得；
综上，的取值范围是．
【解析】化简集合，求出时集合，根据并集的定义计算．
由得，讨论和时，求出的取值范围．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
16.【答案】解：
因为，
所以，
所以，
所以或，即或，
又，为第二象限角，所以，所以；
所以．
【解析】根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可；
由已知条件可得，再利用诱导公式及同角的商数关系化简原不等式即可得答案．
本题主要考查了对数及指数的运算性质，还考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：设且，图象过点，
所以，解得，所以；
由得，因为是上奇函数，所以，所以，
再由可得，所以，
当，时，，
，符合是奇函数，
所以，；
，
是增函数，所以是减函数，
因为是奇函数，且，
所以，
所以恒成立，
即，又，
所以，即
【解析】根据指数函数的定义即可得到；
借助奇函数的定义计算出、即可；
结合函数的单调性与奇偶性即可得到．
本题考查函数解析式的求法，函数的奇偶性与不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题．
18.【答案】解：，
因为，所以，
若，即，当时，取最小值；
若，即，当时，取最小值；
若，即，当时，取最小值，
所以．
由，得舍，
由，得或舍，
由，得舍，
则，当时，，
所以若，有，的最大值是．
【解析】分别讨论的取值范围，求出最值．
由，解得，求出最大值．
本题主要考查三角函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：在平面直角坐标系中，设定点，
因为，所以，解得，即点，
因为点到的垂直距离为百米，所以点，
所以，
又因为，关于直线称，点在直线上，
所以即，
所以玻璃栈道的总长度是百米；
在平面直角坐标系中，，设定，
动点，因为，关于直线对称，
点在直线上，所以，故，则，
令，则，
函数的导数，
当时，，
所以在上单调递减，所以，
函数，图象对称轴是，
当时，在区间上单调递增，无最小值；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
即在时有最小值，
由题意，因为，所以．
所以若要使得玻璃栈道总长度最小为百米，观景平台的坐标是．
【解析】定点，利用，求出点，由两点间距离公式求出，结合点关于直线的对称，得到，从而得到答案；
设定，动点，由点关于直线对称，得到，列出的关系式，构造函数，利用导数求解最值即可．
本题考查了函数的实际应用问题，主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值问题，解题的关键是正确理解题意，建立合适的数学模型，属于中档题．
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