2023-2024学年四川省眉山市冠城七中实验学校高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省眉山市冠城七中实验学校高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合的子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知幂函数在上递增，则( )
A. B. C. D. 或
4.若关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数且的图像经过定点，且点在角的终边上，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则其图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
8.若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，则下列关系式表示正确的有( )
A. B. C. D.
10.如图，，是单位圆上的两个质点，点的坐标为，，质点以的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点以的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( )
A. 经过 后，的弧度数为
B. 经过后，扇形的弧长为
C. 经过后，扇形的面积为
D. 经过后，，在单位圆上第一次相遇
11.如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且，则下列结论正确的为( )
A.
B.
C.
D.
12.已知连续函数满足：，，则有，当时，，，则以下说法正确的是( )
A.
B.
C. 在上的最大值是
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.方程的解集为______．
14.已知函数的定义域为，则的定义域为______
15.已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为______．
16.已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
已知正数满足，求的值．
18.本小题分
设，，命题：，命题：．
当时，试判断命题是命题的什么条件？
求的取值范围，使命题是命题的必要不充分条件．
19.本小题分
已知，，且，求的最大值；
已知正数，满足，求的最小值．
20.本小题分
已知函数在为奇函数，且．
求，值；
判断函数在的单调性，并用定义证明；
解关于的不等式．
21.本小题分
目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入万元．
估计该设备从第几年开始实现总盈利；
使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
22.本小题分
已知二次函数．
若的解集为，解关于的不等式；
若不等式对恒成立，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：
则集合的子集个数为．
故选：．
解不等式可求得集合，由集合元素个数与子集个数的关系直接求解即可．
本题考查集合的子集个数，属于基础题
2.【答案】
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为“，”．
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：幂函数 在上单调递增，
，且．
由求得或；
由求得 或，
综合可得，
故选：．
由题意，利用幂函数的定义和性质，求得的值．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为不等式的解集为，
则，且和是的两个根，
所以，即，，
故，
解得或，
从而关于不等式的解集为．
故选：．
结合一元二次不等式的解集，用分别表示和，并判断的符号，然后求解一元二次不等式即可．
本题主要考查了二次方程与二次不等式转化关系的应用，还考查了二次不等式的解法，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为且的图像经过定点，可得，
又点在角的终边上，可得，
所以．
故选：．
由题意利用指数函数的性质，任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了指数函数的性质，任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，考查了函数思想，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，，
是奇函数，排除、，
当时，，排除．
故选：．
首先利用函数的奇偶性，排除选项，再取特殊值，可得答案．
本题考查根据函数性质确定函数图象，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积计算问题，也考查了古典文化与数学应用问题，属于中档题．
由题意知与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，可设与所在扇形圆心角分别为、，列出方程组求出即可．
【解答】
解：由题意知，与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，，
则，
又，
解得．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键，属于中档题．
将不等式有解转化为即可，利用的代换结合基本不等式进行求解即可．
【解答】
解：若不等式有解，即即可，
，，
则，
当且仅当，即，即时取等号，此时，，
即，
则由得，即，
得或，
即实数的取值范围是．
故选D．
9.【答案】
【解析】解：，
对选项A：，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，正确．
故选：．
确定，再根据元素和集合，集合与集合的关系依次判断每个选项即可．
本题主要考查元素与集合的包含关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：经过 后，质点运动 ，质点运动 ，此时的弧度数为，故A正确；
经过后，，故扇形的弧长为，故B正确；
经过后，，故扇形的面积为，故C不正确；
设经过 后，，在单位圆上第一次相遇，则，解得，故D正确．
故选：．
结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得．
本题主要考查了扇形的面积公式和弧长公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据图象知，又对称轴，
则，又，则，则，故A不正确；
当时，，不能说明的值是否大于，故B错误；
设，，，
，
，
，
，将点代入函数，得，
故，故C正确；
当时，，方程的两个根，，
则
，即，则D正确．
故选：．
由已知结合二次函数与二次方程的转化关系及二次函数性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了二次方程与二次函数转化关系的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为：，，则有，
令，则，则，故A正确；
令，则，
用代，，则，
即，即，故B错误；
设，且，则，
因为，
令，则，即，
令，，
则，
即，
因为当时，，又，故，
所以，
所以，即在上单调递减，
又，所以，，
又，所以，
故在上的最大值是，故C正确；
由，可得，
即，即，
又因为，即，
所以，即，
故，即，解得，
即原不等式的解集为，故D正确．
故选：．
依题意令，求出，从而判断；
令，得到，再令为，即可判断；
再利用定义法证明函数的单调性即可判断；
依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断．
本题考查了用赋值法求抽象函数的值、用定义法判断抽象函数的单调性及解抽象不等式，也考查了逻辑推理能力和转化思想，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
若，
则或，
所以或，即方程的解集为．
故答案为：．
根据题意得到，然后结合正弦函数相关知识解方程即可．
本题主要考查了正弦函数的性质的应用，考查了方程思想，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，
，解得．
的定义域为．
故答案为：．
由分母中根式内部的代数式大于，结合的定义域，取交集得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：令，
根据题意得，即，
由得：，由得：，由得：，
求交集得：，
故的取值范围为．
故答案为：．
转化为二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出的取值范围．
本题考查二次函数的根的分布问题，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可知要保证的最小值为，需满足，
即，
解得．
故答案为：
利用分段函数以及二次函数的性质，基本不等式转化列出不等式组求解即可．
本题考查函数的最值的应用，二次函数的性质以及基本不等式的应用，是中档题．
17.【答案】解：
；
因为正数满足，
所以，即，
所以，即．
【解析】结合对数的运算性质即可求解；
结合指数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：或，
当时，，
或，
命题是命题的必要不充分条件．
命题是命题的必要不充分条件，，
，
当，即时，满足题意，
当，即时，满足题意，
当，即时，，
则，，，
综上，的取值范围为．
【解析】解一元二次不等式，分式不等式求出集合，，再利用充要条件的定义判定即可．
先得到，再分类讨论，列出不等式求解即可．
本题考查了一元二次不等式，分式不等式的解法，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为，，且，当且仅当，时取等号，
所以，
故的最大值为；
因为正数，满足，
所以，
则，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
【解析】由已知直接利用基本不等式即可求解；
由题意得，，，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：由题意知，，所以，
因为，所以，解得．
证明：在上单调递减，证明过程如下：
由知，，
任取，
则，
因为，所以，，，，
所以，即，
所以在上单调递减．
解：因为是定义在上的奇函数，
所以不等式可化为，
又在上单调递减，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
【解析】利用，，代入运算，即可得解；
任取，作差可证，得证；
利用函数的单调性与奇偶性，可将原不等式转化为关于的不等式组，解之即可．
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，熟练掌握函数单调性的定义，奇偶性的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：设为前年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得，
由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；
方案二更合理，理由如下：
方案一：由知，总盈利额，
当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由可得，平均盈利额为，
当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元；
综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
【解析】利用题中的条件表示出前年的总盈利关于的函数，即可解出；
由可表示出平均盈利，进而可以求出最大值，即可解出．
本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，数据处理能力，属于基础题．
22.【答案】解：的解集为，
，，，
，，
故，
从而，解得；
恒成立，
，
，，
令，，，从而，
，令，
当时，；
当时，，
的最大值为．
【解析】先根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，求得，，代入并解一元二次不等式得结果，根据二次函数图象得，即得，因此，再令化为对勾函数，利用基本不等式求最值．
本题考查了一元二次不等式的性质以及一元二次不等式恒成立问题，涉及到基本不等式以及换元法的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
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