2023-2024学年上海市徐汇区南模中学高一（下）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市徐汇区南模中学高一（下）期初数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的( )
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.我国著名数学家华罗庆曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标
中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( )
A. B. C. D.
4.设是正整数，集合，若集合有个元素，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.设扇形半径为，圆心角的弧度数为，则扇形的面积为______．
6.你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了分钟，则秒针转过的角的弧度数是______．
7.已知，，且，则的最小值为______．
8.把化为的形式为______．
9.已知，则的值是______．
10.函数的单调递减区间是______．
11.已知，求 ______．
12.定义运算若，则 ______．
13.下列结论中正确的有______只要写出正确结论的序号即可
终边在轴上的角的集合是；
若函数的定义域为，则函数的定义域为；
若幂函数的图象关于原点成中心对称，则是定义域上的严格增函数；
函数的值域为．
14.设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
15.函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程，，，有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是______．
16.如图，矩形中，是对角线，设，已知正方形和正方形分别内接于和，则的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，求的值；
化简：．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角和钝角的终边分别与单位圆交于点，若点的横坐标是，点的纵坐标是．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数．
若，为锐角，，，求的值；
函数，若存在，成立，求实数的最大值．
20.本小题分
已知函数；
判断的奇偶性；
判断函数的单调性，并用定义证明；
若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知，，其中．
若，令函数，解不等式；
若，，求的值域；
设函数，若对于任意大于等于的实数，总存在唯一的小于的实数，使得成立，试确定实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当“”时，“”成立；
当“”时，“”，故“”是“”充分非必要条件．
故选：．
直接利用余弦函数的性质和三角函数不等式的解法求出结果．
本题考查的知识点：三角函数不等式，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：依题意，，解得，
故．
故选：．
借助两角和的正切函数公式可得的值，借助弦切转化计算即可得．
本题主要考查了两角和的正切公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意，图象关于轴对称，函数为偶函数，排除选项A，
因为，排除选项D，
函数图象经过点，排除选项C．
故选：．
由图象结合函数为偶函数，函数定义域及排除不符合题意的选项即可．
主要考查了函数解析式的求解，体现的数形结合思想的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：如果集合有个元素，等价于单位圆盘等分后，即相应横坐标的所有可能数为，
则可能是和上半圆盘与下半圆盘各个点的横坐标它们关于轴对称，即此时，
还有一种可能：即和，以及上半圆盘与下半圆盘各个点的横坐标它们关于轴对称，
即此时，
综上所述，若集合有个元素，则或．
故选：．
原问题等价于单位圆盘等分后，相应横坐标的所有可能数与的对应关系，值得注意的是考虑上半圆盘以及即可．
本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．
【解答】
解：由已知可得：半径为，圆心角的弧度数为，
则扇形的面积．
故答案为．
6.【答案】
【解析】【解答】
解：由于经过分钟，秒针转过个周角，
由一周角为，
又由顺时针旋转得到的角是负角，
故秒针转过的角的弧度数是，
故答案为：．
【分析】
根据分钟，秒针转过周，一个周角为，即可得到答案．
本题考查的知识点是弧度制，其中一周角，是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，，且，
，
当且仅当即时取等号，
结合可解得且，
故答案为：．
由题意整体代入可得，由基本不等式可得．
本题考查基本不等式求最值，整体代入并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：
故答案为：
由已知结合辅助角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了辅助角公式的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
利用诱导公式可求得，再利用同角三角函数间的关系即可求得答案．
本题考查诱导公式及同角三角函数间的关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，设，，
有，解可得，
即函数的定义域为，
若函数的单调递减，而为减函数，
而为增函数且恒成立，
又由，为开口向下的二次函数，其对称轴为，
满足且递增的区间为：
故函数的单调递减区间为
故答案为：
根据题意，设，则，先分析函数的定义域，再结合对数函数、二次函数的性质分析可得答案．
本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，
故答案为
先两边平方，利用同角三角函数关系求得，再将化简，代入即可．
本题的考点同角三角函数的基本关系．考查了同角三角函数的基本关系，关键是利用好平方关系及切化弦关系．
12.【答案】
【解析】解：由题意知，，
又，所以，
所以，而，所以，
所以．
又，所以．
故答案为：．
利用同角的三角函数的基本关系式可求，，再利用两角差的正弦求的值．
本题考查了行列式与三角函数求值运算问题，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：对于，终边在轴上的角的集合是，则错误；
对于，若函数的定义域为，由，可得，
可得，，即所求定义域为，故正确；
对于，当时幂函数的图象关于原点成中心对称，
但是函数在，上单调递减，在定义域上不具有单调性，不符合题意，故错误；
对于，函数，
因为，
所以，
所以当，即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值，
所以函数的值域为，故错误．
故答案为：．
根据终边在轴上的角的集合判断；根据抽象函数的定义域及余弦函数的性质判断；利用特殊值判断；根据正弦函数及二次函数的性质求出函数的值域，即可判断．
本题主要考查了终边在轴上的角的集合，余弦函数的性质，正弦函数及二次函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：设，则，
因为当时，，
所以，
又是定义在上的奇函数，
所以，
故，
所以，且在上为单调递增函数，
则不等式等价于，
故对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，
解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
先求出的解析式，确定的单调性，利用单调性去掉“”，转化为对任意的恒成立，即可得到答案．
本题考查了函数恒成立问题，函数奇偶性与单调性的判断与应用，函数解析式的求解，解题的关键是利用单调性去掉“”，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，作函数的图象如下，
由图象可得，；
关于的方程，，有且仅有个不同实数根，
方程有两个根，不妨设为，；
且，或者，；
或者；
又，
；
故答案为：
作函数的图象，从而可化条件为方程有两个根，且，；从而求的取值范围．
本题考查了函数的图象的作法与数形结合的思想应用，同时考查了二次方程的根与系数的关系应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设两个正方形，的边长分别为，，
则在中，有，
在中，有，
所以，
的周长与的周长比为，
设，
因为，所以
则，
因为在上单调递增，所以，
所以周长比为．
故答案为：．
设两个正方形边长分别为，，用，表示建立方程，将两个三角形的周长比表示为的三角函数，求取值范围．
本题考查三角恒等变换的综合应用，以及与的转化，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
则，
则，
所以；
．
【解析】将等式两边取平方求得，再两边平方求得，将所求式中的利用立方和公式展开代入即得；利用诱导公式化简所求式，再根据三角函数基本关系式化切为弦即得．
本题主要考查了指数幂的运算性质，还考查了诱导公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：因为锐角的终边与单位圆交于，且点的横坐标是，
由任意角的三角函数的定义可知，
从而
因为钝角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是，
所以，
从而


因为为锐角，为钝角，故，
所以．
【解析】利用任意角的三角函数的定义求得、的正弦值和余弦值，再利用两角和差的三角公式，求得要求式子的值．
本题考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为，且为锐角，所以，．
因为，所以．
因为，为锐角，所以，所以．
所以
．
．
因为存在，成立，
所以成立，
即成立．
设，则，所以，则．
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，故的最大值为．
【解析】利用同角三角函数基本关系求出，，，利用求解即可
设，则不等式可化为求出的最大值即可．
本题考查三角函数求值问题，恒成立问题的求解，属中档题．
20.【答案】解：，定义域为，关于原点对称，
又，
为奇函数．
，
任取，且，则
，
，，，，
故，即，
在上为减函数．
为上的奇函数，又，
又由于函数为上的减函数，
，
则，
又存在，使得成立，则，
又在上为减函数，
，
，
实数的取值范围是．
【解析】先求函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分析判断；
先对函数化简变形后，再任取，且，然后化简变形，再判断符号，可得结论；
利用函数是奇函数将原不等式转化为，再由函数为上的减函数，得，即存在，使得成立，然后求出的最大值即可．
本题考查函数奇偶性，函数单调性的证明，考查利用函数单调性和奇偶性解不等式，第问解题的关键是利用函数为奇函数将原不等式转化后，再利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：，时，，
则
且，，
，
函数为单调递减函数，
又，，
整理得，解得或
不等式的解集为；
，，，，
所以的值域为；
若，由，，
，，
不成立
若，由时，，
在上单调递减，
从而，即
若，由于时，
在上单调递增，
从而，即
要使成立，只需，即成立即可，
由于函数在上单调递增，且
若，由于时，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
从而，即，
要使成立，只需成立，
即成立即可．
由，可得，，
故当时，恒成立．
综上所述：的取值范围是．
【解析】先由导函数得出在上的单调性，再根据单调性解函数不等式即可；
先求出的范围，再根据指数函数的单调性求得值域；
首先对进行分类讨论，接下来研究函数的单调性，再由“总存在唯一的小于的实数，使得成立”分别求出两函数的值域，使得的值域为的值域的子集，建立不等关系，解之即可．
本题考查了函数单调性得性质与判定，属难题．
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