2023-2024学年河北省保定市博野实验中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省保定市博野实验中学高一（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
3.边长为的正三角形中，的值为( )
A. B. C. D.
4.已知幂函数，则( )
A.
B. 的定义域为
C.
D. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
5.已知不等式，则该不等式的解集是( )
A. B. 或
C. 或 D.
6.若，则函数的最小值为( )
A. B. C. D.
7.，那么( )
A. B. C. D.
8.把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
9.已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
10.若四边形为菱形，则下列等式中成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为 B. 函数是偶函数
C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在区间上是增函数
12.已知函数，下列结论中不正确的有( )
A. 函数的最小正周期为，且图象关于对称
B. 函数的对称中心是
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到
二、非选择题（共90分）
13.函数的图象关于直线对称的充要条件是______．
14.函数的单调递减区间为______．
15.下列函数为偶函数的是______填序号．
；
；
；
．
16.已知幂函数过点，且，则实数的取值范围是 ．
17.已知命题：，为假命题．
求实数的取值集合；
设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.已知，
求的值
求的值
求的值．
19.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过函数且的定点．
求的值；
求的值．
20.设是定义在上的奇函数．
求的值；
若在上单调递增，且，求实数的取值范围．
21.已知函数，若函数图像相邻两条对称轴间的距离是．
求及单调递减区间．
若方程在上有解，求实数的取值范围．
22.已知函数同时满足下列四个条件中的三个：当时，函数值为；的最大值为；的图象可由的图象平移得到；函数的最小正周期为．
请选出这三个条件并求出函数的解析式；
若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，即．
故选：．
根据已知条件，结合弧长公式，即可求解．
本题主要考查弧长公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于，因为，，，
显然在上不单调，D错误．
故选：．
利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断，举反例排除即可．
本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量模的求法，考查了平面向量的数量积运算，是基础题．直接由，然后展开利用平面向量的数量积求得答案．
【解答】
解：如图，
．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：由幂函数，幂函数的定义可知，所以．
所以，其定义域为，故A错误，B正确．
由于为奇函数，所以，故C正确．
将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故 D错误．
故选：．
由题意，利用幂函数的定义和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
将原不等式转化为求解即可．
【解答】
解：不等式可化为，即，
解得，即该不等式的解集为．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
配凑后利用基本不等式求最值即可．
【解答】
解：因为，故，
所以，当且仅当时取等号．
故选B．
7.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
根据题意利用诱导公式运算求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可知，将函数的图象先向左平移个单位长度，
得到函数的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得到函数的图象．
故选：．
利用三角函数图象变换规律可得出函数的解析式．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，考查逻辑推理与运算求解能力．
利用指数函数的性质即可判断选项A；由基本不等式即可判断选项B，，．
【解答】
解：因为，，且，
所以，
所以，故A正确；
，
所以，当且仅当时等号成立，故B正确；
，
当且仅当时取等号，故C错误；
已知，，且，
所以，则，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：四边形为菱形，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质，向量的几何运算法则即可得出答案．
本题简单的考察了向量的几何运算，根据加法法则，减法法则，属于容易题．
11.【答案】
【解析】解：由题意知，其最小正周期为，故A正确；
函数是偶函数，故B正确；
当时，，故不是函数的对称轴，C错误；
当时，，由于在上单调递减，
故在区间上是增函数，D正确．
故选：．
利用诱导公式化简，结合余弦函数的周期公式可判断；根据余弦函数的奇偶性判断；根据余弦函数的对称性以及单调性可判断，．
本题主要考查了诱导公式以及三角函数的性质的综合应用，考查了函数思想，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以函数的最小正周期为，，故A错误；
令，得，
所以的对称中心是，故B正确；
当时，可得，
又在上不单调，
所以在区间上不单调，故C错误；
的图象向右平移个单位得到的图像对应的解析式为：
，故D正确．
故选：．
利用三角恒等变换化简得，再利用正弦型函数的周期性，单调性，对称性，函数图象的平移变换对、、、四个选项逐一分析可得答案．
本题考查了三角函数恒等变换，正弦函数的性质的应用，解题的关键在于熟练常握三角恒等变换化简，从而得解，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：函数的对称轴为．
故答案为：
根据二次函数对称轴定义和互为充要条件的条件去判断即可．
本题考查了互为充要条件的关系和二次函数的对称轴问题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以 的单调递增区间就是的单调递减区间．
令，
解得．
所以函数的单调递减区间为．
故答案为：．
转化为求的单调递增区间即可．
本题考查正弦函数的单调性的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：对于，其定义域显然不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；
又中，由得其定义域为，显然不关于原点对称，故也是非奇非偶函数；
对于，其定义域为，且对都满足，故是偶函数．
故答案为：．
利用奇函数、偶函数定义域关于原点对称的性质可得中的函数定义域不关于原点对称，中满足偶函数定义，即可得出结论．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查幂函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用．
由题意利用幂函数的性质，函数的单调性和奇偶性，求出的取值范围．
【解答】
解：幂函数过点，，求得，幂函数．
显然，是奇函数，且在上单调递增，
，即 ，
，求得，
故答案为：．
17.【答案】解：由题意知，，为真命题，
所以，解得，
所以．
若是的必要不充分条件，则，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上，实数的取值范围为．
【解析】根据存在量词命题的否定，可将问题转化为，为真命题，再根据一元二次方程根的问题，即可得解；
易知，再分和两种情况，根据集合的关系，得解．
本题考查充分必要条件的应用，不等式的解法，存在量词命题的否定，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：将，两边平方得：，
故可得：．
因为：，可得：，，，
又因为：，
所以：．
．
【解析】将已知等式两边平方，利用三角函数的平方关系式，直接求出的值；
由角的范围可求，由结论即可计算得解；
化简所求，利用的结论即可计算得解．
本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，考查了计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：函数且的定点的坐标为，
角的终边经过点，
为坐标原点，
根据三角函数的定义可知，，
．
，，，
．
【解析】求得定点的坐标，利用三角函数的定义可求出，，从而求出答案；
利用诱导公式化简，再将，，代入，即可得出答案．
本题主要考查三角函数的定义的应用，根据三角函数的诱导公式和进行化简是解决本题的关键，是中档题．
20.【答案】解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
当时，，且，
即是定义在上的奇函数，符合题意，
所以．
若在上单调递增，且是奇函数，
可知在上单调递增，且在处连续不断，
所以在上是增函数，
因为，则，
可得，解得，
所以实数的取值范围是．
【解析】根据奇函数的定义与性质运算求解；
根据奇函数的性质可知在上是增函数，进而根据奇函数的定义结合单调性运算求解．
本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：，
图像相邻两条对称轴间的距离是，
的最小正周期为，，，
，
解，得，
单调递减区间为：；
，，
的取值范围为：．
【解析】根据二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式可得出，根据图像相邻两条对称轴间的距离是可知的周期为，从而得出，然后根据正弦函数的减区间即可求出的减区间；
由知，根据的范围可求出的范围，然后得出的范围，进而得出的范围．
本题考查了两角和的正弦公式，二倍角的余弦公式，正弦函数的减区间，三角函数周期的计算公式，正弦函数的图象，考查了计算能力，属于基础题．
22.【答案】解：由条件可知，函数的周期，最大值为，与矛盾，故不符合题意，
选择三个条件，
由得，由中，知，则，
由知，解得，，
又，则，
所求函数表达式为；
由题意知，
若，则，
所以先递减再递增，
又，，
所以，
所以，即的取值范围为．
【解析】条件与矛盾，故不符合题意，选择三个条件，由最大值和周期得到，，代入得到，可得函数的解析式；
由定义区间讨论单调性，计算，由得实数的取值范围．
本题考查求函数的解析式，以及分类讨论求函数的最小值，属中档题．
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