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第六章 平面向量及其应用单元测试
一．选择题（共 8 道题，每题 5 分，共 40 分）
1．下列说法正确的是 ( )
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
2．化简OP PS SQ的结果等于 ( )
A．QP B．OQ C． SP D． SQ
3．设 a表示“向东走10km ”， b表示“向南走5km ”，则b a b所表示的意义为 ( )
A．向东南走10 2km B．向西南走10 2km
C．向东南走5 6km D．向西南走5 6km
4．已知向量 AB (1, 1) ， AC (4,3) ，则 | BC | ( )
A．5 B． 29 C． 2 D．2
5．化简6(a b c) 4(a 2b c) 2( 2a c) 为 ( )
A．6a 2b 8c B．6a 14b C． 2a 14b D．6a 2b
6．已知 ABC 的三个顶点 A， B，C 及平面内一点 P，若 PA PB PC AB，则点 P与
ABC 的位置关系是 ( )
A． P在 AB边上 B． P在 AC 边上 C． P在 BC边上 D． P在 ABC 内部
7．已知 e1 (2,1),e2 (1,3),a ( 1,2)，若 a 1e1 2 e2 ，则实数对 ( 1 ， 2 ) 为 ( )
A． (1,1) B． ( 1,1) C． ( 1, 1) D．无数对
8．已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，若 c 4，A ，且 BE 为边 AC
3
上的高， AD为边 BC上的中线，则 AD BE的值为 ( )
A．2 B． 2 C．6 D． 6
二．多选题（共 4 道题，每题 5 分，共 20 分，选错或多选不得分）
9．下列命题中，正确的有 ( )
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A．若 a / /b ，则存在唯一的实数 ，使得b a
B． | (a a)a | | a |3
C． e 为单位向量，且 a / /e ，则 a | a | e
D． a与b共线，b与 c 共线，则 a与 c 共线
10．在 ABC 中，D， E， F 分别是边 BC，CA， AB的中点，点G 为 ABC 的重心，则
下述结论中正确的是 ( )
1
A． AB BC CA B． AG (AB AC)
2
C． AF BD CE 0 D．GA GB GC 0
11．已知点 A( 3,2) ， B(1,0)，C(4,1) ，D( 2,4)，则 ( )
A． AB ( 4,2) B． AB AD
C． AB / /DC D．四边形 ABCD为直角梯形
a c
12．已知锐角 ABC 的三边长分别是 a， b ， c ．若 c b 2b cos A，则 可以取到 (
b
)
A． 5 B． 6 C． e D．
三．填空题（共 4 道题，每题 5 分，共 20 分）
13．已知向量 a (x,3) ，b (2,6) ，若 a与b共线，则实数 x ．
14．已知向量 a (1,2) ，b (3, 4) ，则 a在b 方向上的投影为 ．
2
15．已知向量 a，b 的夹角为 ， | a | 1， | b | 2，则 | 2a 3b | ．
3
16．在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，若 c2 (a b)2 ab，且 c 3 ，
则 ABC 面积的最大值为 ．
四．解答题（共 6 道题，17 题 10 分，18~22 题每题 12 分，共 70 分）
17．已知向量 a (1,2) ， | b | 2 5 ．
（1）若 a / /b ，求b 的坐标；
（2）若 ( 5a 2b) (a b) ，求 a与b 的夹角．
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18．在 ABC 中， E为 AC 的中点，D为边 BC上靠近点 B的三等分点．
（1）分别用向量 AB， AD表示向量 AC ， BE ；
（2）若点 N 满足 4AN 2AB 3AC，证明： B， N ， E三点共线．
19．已知 | a | 1， a 1 1b ， (a b) (a b ) ，求：
2 2
（1） a与b 的夹角；
（2） a b与 a b 的夹角的余弦值．
20．在 ABC 中， sin B sinC sin2 C cos2 B cos2 A．
（1）求 A；
（2）若 AB 2AC 4，点D在边 BC上， AD平分 BAC ，求 AD的长．
21．如图所示，已知点G 是 ABC 的重心，过点G 作直线分别与边 AB、AC 交于M 、N 两
点（点M 、 N 与点 B、C 不重合），设 AB xAM ， AC yAN ．
（1）求 x y的值；
1 2
（2）求 的最小值，并求此时 x， y的值．
x 1 y 1
22．在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，a cosC 2b cosB c cos A 0 ．
（1）若 a 3 ， b 7c，求 ABC 的面积；
（2）已知 AD为边 BC的中线，且 AD 3 ，求 a c的最大值．
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第六章 平面向量及其应用单元测试
考察知识点：
1.向量的基本概念 2.向量的加法运算 3.向量线性运算的几何意义
4.向量的坐标运算 5.向量的基本运算 6.向量的共线定理的应用
7.向量的坐标表示 8.向量的线性运算与数量积 9.向量共线的辨析
10.平面向量基本定理 11.向量坐标运算的综合应用
12.正弦定理的综合应用 13.向量共线的坐标表示 14.投影向量
15.向量数量积、模、夹角的运算 16.余弦定理的综合应用
17.向量共线与垂直的坐标表示 18.向量的基本定理
19.向量的坐标运算 20.解三角形（易） 21.平面向量基本定理
22.解三角形的综合（难）
一．选择题（共 8 道题，每题 5 分，共 40 分）
1．下列说法正确的是 ( )
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
【分析】根据零向量的规定可以确定 A错误；根据空间向量是自由向量可以确定 B；根据
相等向量的定义可以确定C 、D．
【解答】解：对于 A：零向量的方向是任意的， A错误；
对于 B：空间向量是自由向量可以平移， B错误；
对于C 、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以C 中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C 错误；D符合定义，正确．
故选：D．
2．化简OP PS SQ的结果等于 ( )
A．QP B．OQ C． SP D． SQ
【分析】根据向量的三角形法则，即可求解．
【解答】解：根据向量的三角形法则，
可得OP PS SQ OS SQ OQ．
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故选： B．
3．设 a表示“向东走10km ”， b表示“向南走5km ”，则b a b所表示的意义为 ( )
A．向东南走10 2km B．向西南走10 2km
C．向东南走5 6km D．向西南走5 6km
【分析】由已知结合向量加法的线性表示及向量加法的平行四边形法则即可求解．
【解答】解： a表示“向东走10km ”， b表示“向南走5km ”，即 2b表示向南走10km ，
根据向量加法的平行四边形法则可知，b a b a 2b表示向东南走10 2km．
故选： A．
4．已知向量 AB (1, 1) ， AC (4,3) ，则 | BC | ( )
A．5 B． 29 C． 2 D．2
【分析】利用向量的坐标运算、模的计算公式即可得出．
【解答】解： 向量 AB (1, 1) ， AC (4,3) ，
BC AC AB (3,4) ．
则 | BC | 32 42 5 ．
故选： A．
5．化简6(a b c) 4(a 2b c) 2( 2a c) 为 ( )
A．6a 2b 8c B．6a 14b C． 2a 14b D．6a 2b
【分析】根据向量的加减混合运算计算即可．
【解答】解：6(a b c) 4(a 2b c) 2( 2a c)
(6 4 4)a ( 6 8)b (6 4 2)c
6a 2b．
故选：D．
6．已知 ABC 的三个顶点 A， B，C 及平面内一点 P，若 PA PB PC AB，则点 P与
ABC 的位置关系是 ( )
A． P在 AB边上 B． P在 AC 边上 C． P在 BC 边上 D． P在 ABC 内部
【分析】根据题意，分析可得 PA PB PC PB PA，变形可得：PC 2PA，由此分析
可得答案．
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【解答】解：根据题意，若 PA PB PC AB，必有 PA PB PC PB PA，
变形可得： PC 2PA，则 P在边 AC 上，
故选： B．
7．已知 e1 (2,1),e2 (1,3),a ( 1,2)，若 a 1e1 2 e2 ，则实数对 ( 1 ， 2 ) 为 ( )
A． (1,1) B． ( 1,1) C． ( 1, 1) D．无数对
【分析】利用向量线性运算法则和向量相等即可得出．
【解答】解： 1e1 2 e2 (2 1 2 ， 1 3 2 ) ， a 1e1 2 e2 ，
1 2 1 2
，解得 1
1
．
2 1 3 2 2 1
实数对 ( 1 ， 2 ) ( 1，1) ．
故选： B．
8．已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，若 c 4，A ，且 BE 为边 AC
3
上的高， AD为边 BC 上的中线，则 AD BE的值为 ( )
A．2 B． 2 C．6 D． 6
【分析】由题设，根据数量积的几何意义，得出 AB AC及 AC AE 的值，进而根据向量数
量积运算求解即可．
【解答】解：由题意， BE 为边 AC 上的高，
则由数量积的几何意义可得：
AB AC 4 cos | AC | 2 | AC |，
3
AC AE 2 | AC |，
又 AD为边 BC 上的中线，
1
则有 AD (AB AC) ，又 BE AE AB，
2
1
所以 AD BE (AB AC) (AE AB)
2
1 1 2 1 1
AB AE AB AC AE AC AB
2 2 2 2
2 8 | AC | | AC | 6．
故选：D．
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二．多选题（共 4 道题，每题 5 分，共 20 分，选错或多选不得分）
9．下列命题中，正确的有 ( )
A．若 a / /b ，则存在唯一的实数 ，使得b a
B． | (a a)a | | a |3
C． e 为单位向量，且 a / /e ，则 a | a | e
D． a与b共线，b与 c 共线，则 a与 c 共线
【分析】利用向量共线的概念可判定出选项 A、C 和D的正误，利用向量的数量积定义和
公式可判定选项 B的正误．
【解答】解：对于选项 A，若 a 0，b 0 ，则不存在唯一实数 ，使得b a，所以选项
A错误；
对于选项 B，由向量的数量积定义可知， | (a a)a | | a |3，所以选项 B正确；
对于选项C ，因为 a / /b ，若两向量同向，则 a | a | e ，若两向量反向，则 a | a | e，所以
选项C 正确；
对于选项D，若b 0，满足 a与b共线，b与 c 共线，但 a与 c 可不共线，所以选项D错误．
故选： BC ．
10．在 ABC 中，D， E， F 分别是边 BC ，CA， AB的中点，点G 为 ABC 的重心，则
下述结论中正确的是 ( )
1
A． AB BC CA B． AG (AB AC) C． AF BD CE 0
2
D．GA GB GC 0
【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的坐标表示求解即可．
【解答】解：对于选项 A， AB BC AC ，即选项 A错误；
2 2 1 1
对于选项 B，点G 为 ABC 的重心，则 AG AD (AB AC) (AB AC)，即选项
3 3 2 3
B错误；
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1
对于选项C ， AF BD CE (AB BC CA) 0 ，即选项C 正确；
2
1
对于选项D，GA 2GD 2 (GB GC) ，即GA GB GC 0 ，即选项D正确，
2
故选：CD．
11．已知点 A( 3,2) ， B(1,0)，C(4,1) ，D( 2,4)，则 ( )
A． AB ( 4,2) B． AB AD
C． AB / /DC D．四边形 ABCD为直角梯形
【分析】由向量的坐标表示逐一计算即可．
【解答】解：点 A( 3,2) ， B(1,0)，C(4,1) ，D( 2,4)，
则 AB (4, 2)，故 A错误；
AD (1,2) ， AB (4, 2)，
因为 AB AD 4 1 2 2 0，所以 AB AD，故 B正确；
2
DC (6, 3) ，而 AB DC，
3
所以 AB / /DC ，且 | AB | | DC | ，故C 正确；
AB / /DC ， AB AD，可得四边形 ABCD为直角梯形，故D正确．
故选： BCD．
a c
12．已知锐角 ABC 的三边长分别是 a ， b ， c ．若 c b 2b cos A，则 可以取到 (
b
)
A． 5 B． 6 C． e D．
【分析】由正弦定理和三角恒等变换知识化简可得 A 2B，结合 ABC 是锐角三角形求得 B
a c 1 5
的范围，再由正弦定理和三角恒等变换知识化简可得 4(cosB )2 ，再求值域即
b 4 4
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可．
【解答】解：由 c b 2b cos A及正弦定理得： sinC sin B 2sin B cos A，
即 sin(A B) sin B 2sin Bcos A，
所以 sin AcosB sin B cos A sin B，即 sin(A B) sinB，
因为 ABC 是锐角三角形，
所以 A B B，即 A 2B，
0 A 2B
2
所以 0 B ，解得 B ，
2 6 4
0 C
3B
2
所 以 由 正 弦 定 理 得
a c sin A sinC sin A sin(A B) sin 2B sin(2B B) 2sin BcosB sin 2BcosB cos 2Bsin B 1 5
2cosB 2cos2 B cos 2B 2cosB 2cos2 B 2cos2 B 1 4cos2 B 2cosB 1 4(cosB )2
b sinB sinB sin B sin B 4 4
，
2 3
因为 B ，所以 cosB ( , ) ，
6 4 2 2
a c
所以 (1 2, 2 3) ．
b
故选： BCD．
三．填空题（共 4 道题，每题 5 分，共 20 分）
13．已知向量 a (x,3) ，b (2,6) ，若 a与b共线，则实数 x ．
【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：向量 a (x,3) ，b (2,6) ，若 a与b 共线，
则 6x 6 ，解得 x 1．
故答案为：1．
14．已知向量 a (1,2) ，b (3, 4) ，则 a在b 方向上的投影为 ．
【分析】由本题的条件向量 a (1,2) ，b (3, 4) ， a 在b 方向上的投影可用两者的内积除
以b 的模求出，故需要先求出两者的内积及b 的模
【解答】解：由题意 a (1,2) ，b (3, 4) ，
a b 3 8 5， | b | 5
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5
a在b 方向上的投影为 1
5
故答案为 1
2
15．已知向量 a，b 的夹角为 ， | a | 1， | b | 2，则 | 2a 3b | ．
3
【分析】由平面向量的数量积运算计算即可求得．
2
【解答】解：因为向量 a，b 的夹角为 ， | a | 1， | b | 2，
3
1
所以 a b | a || b | cos a,b 1 2 ( ) 1，
2
所以 | 2a 3b | (2a 3b)2 4a2 12a b 9b 2 4 12 ( 1) 9 4 2 7 ．
故答案为： 2 7 ．
16．在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，若 c2 (a b)2 ab，且 c 3 ，
则 ABC 面积的最大值为 ．
【分析】由 c2 (a b)2 ab，得到 a2 b2 c2 ab，利用余弦定理得到C ，再利用余
3
弦定理结合基本不等式得到 ab 3，再利用三角形的面积求解．
【解答】解：因为 c2 (a b)2 ab，
所以 a2 b2 c2 ab，
a2 b2 c2 1
由余弦定理得 cosC ，
2ab 2
因为C (0, ) ，
所以C ，
3
由余弦定理得 c2 a2 b2 2ab cosC a2 b2 ab ab，
则 ab 3，当且仅当 a b时，等号成立，
1 1 3 3 3所以 S ABC absinC 3 ， 2 2 2 4
3 3
所以 ABC 面积的最大值为 ．
4
3 3
故答案为： ．
4
四．解答题（共 6 道题，17 题 10 分，18~22 题每题 12 分，共 70 分）
17．已知向量 a (1,2) ， | b | 2 5 ．
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（1）若 a / /b ，求b 的坐标；
（2）若 ( 5a 2b) (a b) ，求 a与b 的夹角．
【分析】（1）设b a ( ,2 )，由题建立关于 的方程，求解即可；
（2）由平面向量的数量积运算计算可得 a b 5 ，再由向量的夹角公式计算即可．
【解答】解：（1）由题意，因为 a / /b ，所以设b a ( ,2 )．
因为 | b | 2 5 ，所以 2 (2 )2 2 5 ，解得 2 ，
所以b (2,4) 或b ( 2, 4)；
（2）因为 ( 5a 2b) (a b) ，
所以 ( 5a 2b) (a b) 0，
2 所以 5a 3a b 2b 2 0 ，
因为 a (1,2) ， | b | 2 5 ，所以 | a | 12 22 5 ，
所以 5 5 3a b 2 20 0 ，解得 a b 5 ．
设 a与b 的夹角为 ，
a b 5 1则 cos ，
| a || b | 5 2 5 2
又因为 [0 ， ] ，所以 ，
3
所以 a与b 的夹角为 ．
3
18．在 ABC 中， E为 AC 的中点，D为边 BC上靠近点 B的三等分点．
（1）分别用向量 AB， AD表示向量 AC ， BE ；
（2）若点 N 满足 4AN 2AB 3AC，证明： B， N ， E三点共线．
【分析】（1）结合向量的线性运算，即可求解；
（2）结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：（1） E为 AC 的中点，D为边 BC上靠近点 B的三等分点，
则 CD 2DB ， AE EC ，则 AC AB BC AB 3BD AB 3(AD AB) 2AB 3AD，
1 1 3
BE BA AE AB AC AB ( 2AB 3AD) 2AB AD；
2 2 2
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（2）证明： 4AN 2AB 3AC，
1 3
则 AN AB AC ，
2 4
1 3 1 3
故 AN AB 2AE AB AE，
2 4 2 2
2AN AB 3AE，
AE AB 2(AN AE)，即 BE 2EN ，
所以 B， N ， E三点共线．
1 119．已知 | a | 1， a b ， (a b) (a b ) ，求：
2 2
（1） a与b 的夹角；
（2） a b与 a b 的夹角的余弦值．
【分析】（1）利用数量积运算法则和性质、向量夹角公式即可得出；
（2）利用数量积的性质和夹角公式即可得出．
1 1
【解答】解：（1） (a b ) (a b) ， a2 b 2 ．
2 2
1 2
又 | a | 1， 12 | b |2 ，解得 | b | ．
2 2
1a b ，
2
1
a b 2 2 cos a,b ，
| a || b |
2
2
1
2
a与b 的夹角为 ；
4
2 1 2
（2）由（1）可得 | a b | a2 b 2 2a b 12 ( )2 2 ，
2 2 2
2 1 10
| a b | a2 b 2 2a b 12 ( )2 2 ．
2 2 2
1
(a b ) (a b ) 5 cos a b ,a b 2 ．
| a b | | a b | 2 10
5
2 2
5
a b与 a b 的夹角的余弦值为 ．
5
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20．在 ABC 中， sin B sinC sin2 C cos2 B cos2 A．
（1）求 A；
（2）若 AB 2AC 4，点D在边 BC上， AD平分 BAC ，求 AD的长．
【分析】（1）由正余弦定理化简即可求得；
（2）由等面积法建立关于 AD的方程，求解即可．
【解答】解：记内角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c ．
（1）因为 sin B sinC sin2 C cos2 B cos2 A，且 cos2 B 1 sin2 B， cos2 A 1 sin2 A，
所以 sin BsinC sin2 C sin2 A sin2 B，
由正弦定理得：bc c2 a2 b2 ，
b2 c2 a2 1
所以由余弦定理可得： cos A ，
2bc 2
2
因为 A (0, ) ，所以 A ；
3
（2）因为 AD平分 BAC ，所以 BAD ，
3
因为 AB 2AC ，所以 BD 2CD，
2
所以 S ABD S3 ABC
，
1 2 1 2
所以 c AD sin c b sin ，
2 3 3 2 3
1 2 1 2
即 4 AD sin 4 2 sin ，
2 3 3 2 3
4
解得 AD ．
3
21．如图所示，已知点G 是 ABC 的重心，过点G 作直线分别与边 AB、AC 交于M 、N 两
点（点M 、 N 与点 B、C 不重合），设 AB xAM ， AC yAN ．
（1）求 x y的值；
1 2
（2）求 的最小值，并求此时 x， y的值．
x 1 y 1
【分析】（1）结合向量的线性运算，以及平面向量基本定理，即可求解；
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
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2 1 1 1
【解答】解：（1）因为G 为 ABC 重心，所以 AG (AB AC) AB AC ，
3 2 3 3
x y
所以 AG AM AN ，
3 3
因为M ，G ， N 三点共线，
1 1
所以 x y 1，即 x y 3．
3 3
（2）由题意可知 x (1,2) ， y (1,2)，且 x 1 y 1 1，
所 以
1 2 1 2 2(x 1) y 1 2(x 1) y 1
( ) (x 1 y 1) 3 3 2 3 2 2
x 1 y 1 x 1 y 1 y 1 x 1 y 1 x 1
2(x 1) y 1
当且仅当 y 1 x 1，即 x 2 ， y 3 2 时，等号成立，
x y 3
1 2
故 的最小值为3 2 2 ，此时 x 2 ， y 3 2 ．
x 1 y 1
22．在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，a cosC 2b cosB c cos A 0 ．
（1）若 a 3 ， b 7c，求 ABC 的面积；
（2）已知 AD为边 BC的中线，且 AD 3 ，求 a c的最大值．
【分析】（1）由正弦定理可得 cos B的值，只有 B角的范围，可得 B角的大小，再由余弦定
理可得b， c 的值，代入三角形的面积公式，可得三角形的面积；
a2 ac
（2）设 t a c ，在 ABD 中，由余弦定理可得 c2 3 0 ，代入整理可得
4 2
5c2 4tc t2 12 0 ，由判别式大于等于 0，可得 t的最大值，即可得 a c的最大值．
【解答】解：（1）因为 a cosC 2b cosB c cos A 0 ，
由正弦定理可得 sin AcosC sinC cos A 2sin B cosB，即 sin(A C) 2sin B cosB，
在三角形中， sin(A C) sin B， sin B 0，
1
可得 cosB ， B (0, ) ，
2
所以 B ；
3
又因为 a 3 ，b 7c，由余弦定理可得b2 a2 c2 2accosB，
即 7c2 9 c2
1
2 3c ，即 2c2 c 3 0，
2
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3
整理可得： c 1， c （舍 )，
2
1 1 3 3 3
所以 S ABC acsin B 3 1 ； 2 2 2 4
（2）在 aABD中， AB c， BD ， AD 3 ，
2
a a
由余弦定理可得 AD2 c2 ( )2 2c cos ，
2 2 3
2
2 a ac即 c 3 0 ，
4 2
设 t a c 0 ，可知 a t c，
将 a t c代入整理可得：5c2 4tc t2 12 0 ，
△ 16t2 4 5 (t2 12) 0 ，解得 t 2 60 ，解得 t 2 15 ，
即 a c的最大值为 2 15 ．
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