沪科版八年级数学下册第18 章勾股定理单元复习题（含解析）

沪科版八年级数学下册第18 章勾股定理单元复习题
一、选择题
1．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（　　）
A．18m B．10m C．14m D．24m
2．如图所示的是由一个直角三角形和三个正方形组成的图形，若其中，，则正方形的面积是（　　）
A． B． C． D．
3．下列是勾股数的是　　
A．12，15，18 B．6，10，7 C．12，16，20 D．，，
4．线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．a＝7，b＝24，c＝25 B．a＝ ，b＝4，c＝5
C．a＝ ，b＝1，c＝ D．a＝40，b＝50，c＝60
5．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程(x-6)(x-10)=0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．24或2 B．24 C．2 D．8或24
6．如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，过点B作BF⊥EC，垂足为F.若CD=1，CF=2，则线段AE的长为（　　）
A． B．-1 C． D．
7．已知 的三边长分别为 ， 且 ， 则 是（　　）
A．以 为斜边的直角三角形 B．以 为斜边的直角三角形
C．以 为斜边的直角三角形 D．等边三角形
8．如图，在中，已知．以为直角边，构造；再以为直角边，构造；…，按照这个规律，在中，点到的距离是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知直角三角形的斜边长为 ，一条直角边长为，则此直角三角形的面积是　 　
10．如图，菱形 ABCD的边长为 2，∠DAB=60°，E为 BC 边的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，则 PB+PE的最小值为　 　.
11．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点D 的纵坐标是6，CD=10，顶点A在y轴上，边 BC 在x轴上.设 P 是射线 BC上的一个动点，则当△ABP 为等腰三角形时，点P的坐标是　 　.
12．如图，圆柱的底面周长是，高是，一只蚂蚁在点想吃到点的食物，需要爬行的最短路径是　 　．
三、解答题
13．如图，在矩形纸片 ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，CE 交AD 于点 F.
（1）求证：△AEF≌△CDF.
（2）求 DF 的长.
14．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB= 5cm，BC=7cm.点P 从点A 出发沿AB 边向点 B 以1cm/s的速度移动，点Q从点B 出发沿 BC 边向点C 以2cm/s的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于4cm
（2）经过几秒后，PQ的长度等于 5cm
15．如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知CD⊥BD，现测得AC= ，BC= ，CD= ，请计算A，B两个凉亭之间的距离.
16．已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0，若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）若k=3，请判断△ABC的形状并说明理由；
（2）若△ABC是等腰三角形，求k的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴与轴上，已知．点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒．
（1）当点经过点时，求直线的函数解析式；
（2）求的面积关于的函数解析式；
（3）点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形， ， ， 是 和 边长，易知 ，这时我们把关于 的形如 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是 ，求 面积.
19．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．
试问：
（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵BC=8m，AC=6m，∠C=90 ，
∴AB= m，
∴树高10+8=18m.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理可求出AB的长，AB+BC即为树在折断之前的高度.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，
∴AB2+BC2=AC2，
∵，，S正方形BCFG=BC2，
∴S正方形BCFG=BC2=AC2-AB2=-=25-16=9cm2，
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理及正方形的面积公式求解即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵122+152=144+225=369≠182=364，∴ 12，15，18不是一组勾股数，故此选项不符合题意；
B、∵62+72=36+49=85≠102=100，∴ 6，10，7不是一组勾股数，故此选项不符合题意；
C、∵122+162=144+256=400=202，∴ 12，16，20是一组勾股数，故此选项符合题意；
D、∵，， 不是一组正整数，∴不是一组勾股数，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】能够构成一个直角三角形三边的三个正整数就是勾股数，据此逐项判断得出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故A选项不符合题意；
B、42+52＝ ，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、12+ ＝ ，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故C选项不符合题意；
D、402+502≠602，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故D选项不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理逆定理，判断较短两边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则是直角三角形，否则不是.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵(x-6)(x-10)=0，
∴x-6=0或x-10=0
解之：x1=6，x2=10，
当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，
∴此三角形是等腰三角形，
底边上的高为，
∴此时三角形的面积为；
x=10时，
∵62+82=102，
∴此时的三角形是直角三角形，
此三角形的面积为，
∴此三角形的面积为 8或24 .
故答案为：D.
【分析】先求出方程的解。再分情况讨论：当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，利用勾股定理求出底边上的高，再利用三角形的面积公式求出此时的三角形的面积；x=10时，利用勾股定理的逆定理可证得三角形是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式可求出此时的三角形的面积.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠DEC=∠FCB，
∵BF⊥EC，
∴∠BFC=∠CDE，
∵把△BCM沿CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，
∴BC=EC，
在△BFC和△CDE中
∴△BFC≌△CDE（AAS）
∴DE=CF=2，
∴CE=，
∴AD=BC=CE=，
∴AE=AD-DE=-2.
故答案为：-2.
【分析】由矩形的性质可得BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，由折叠的性质可得BC=EC，结合已知用角角边可证△BFC≌△CDE，则DE=CF，在直角三角形CDE中，用勾股定理求出CE的值，然后根据线段的构成AE=AD-DE可求解.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
，
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，
∴ a=6，b=8，c=10，
∵ 62+82=102，即a2+b2=c2，
∴ △ABC是以c为斜边的直角三角形.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式，绝对值和平方的非负性，由几个非负数的和为零，则每一个数都等于零可得a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理，即可求得.
8．【答案】B
【解析】【解答】根据题意已知在中，∠A=90°，AO=2，AB=1，OB为直角边，所以可得OB=，同理，OC=，OD=，同理在Rt△OHI中OI=，H到OI的距离为L，，代入得，所以HL=
故答案为：B.
【分析】
根据题意可以用勾股定理求出OB=，OC=，OD=，同理可以求出OI=，然后根据三角形的面积公式即可求出答案。
9．【答案】2
【解析】【解答】解：由勾股定理得：另一直角边为，
∴ 此直角三角形的面积为.
故答案为：2.
【分析】由勾股定理得另一直角边为，根据三角形面积公式，计算求解即可.
10．【答案】
【解析】【解答】解：作点E关于AC的对称点E′，连接BE′交AC于点P，连接PE，BD，
∴PE=PE′，
∴PB+PE=PB+PE′=BE′，
∵两点之间线段最短，
此时 PB+PE的最小值就是BE′的长；
∵菱形ABCD，
∴AC是对称轴，DC=BC，DC=BC，∠DAB=∠DCB=60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴DB=DC=2，
∵点E是BC的中点，
∴E′是DC的中点，
∴BE′⊥DC，E′D=1，
∴∠DE′B=90°，
∴.
∴PB+PE的最小值为
故答案为：.
【分析】作点E关于AC的对称点E′，连接BE′交AC于点P，连接PE，BD，可证得PE=PE′，可推出PB+PE=BE′，利用两点之间线段最短可证此时 PB+PE的最小值就是BE′的长；利用菱形的性质可证得AC是对称轴，DC=BC，DC=BC，∠DAB=∠DCB=60°，可推出△BDC是等边三角形，可求出BD的长；利用等边三角形的性质可求出E′D=1，∠DE′B=90°，利用勾股定理求出PB+PE的最小值.
11．【答案】（，0）或(8，0)或(2，0)或（-18，0）
【解析】【解答】解：∵ D点的纵坐标为6，CD=10,
如图，当AP = BP时，
BP =AP，
=OB-OP
=8-OP
由勾股定理得，OP +0A = AP ，即(8- OP) = 6 + OP ,
解得，
则点P的坐标为
当AB = AP =10时，此时BO =PO,此时P点的坐标为(8,0)，
∵ 不与点B、C重合，
∴ 舍去;
当AB= BP=10时，此时点P的坐标为(2,0)、(-18,0)(此时点P不在BC上，舍去)，
当△ABP为等腰三角形时点P的坐标为
故答案为:
【分析】当AB=BP时根据等腰三角形的性质、勾股定理解答.
12．【答案】13
【解析】【解答】解：将圆柱的侧面展开如图所示，连接AB，则AB的长即为蚂蚁所爬行的最短路径，
∴AC=×24=12cm，BC=5cm，
∴AB==13cm，
故答案为：13.
【分析】将圆柱的侧面展开如图所示，连接AB，则AB的长即为蚂蚁所爬行的最短路径，利用勾股定理求出AB的长即可.
13．【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB=CD，∠B=∠D=90°，
∵ △ABC沿AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，CE 交AD 于点 F，
∴ AE=AB，∠E=∠B，
∴ ∠E=∠D，AE=CD，
∵ ∠AFE=∠CFD，
∴ △AEF≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD=BC=6，CD=AB=4，
∵ △AEF≌△CDF，
∴ AF=CF，
∴ DF+CF=6，即CF=6-DF，
∴ DF2+CD2=CF2，即DF2+42=(6-DF)2，
解得：DF=.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得 AB=CD，∠B=∠D=90°，根据翻折的性质得AE=AB，∠E=∠B，依据AAS判定△AEF≌△CDF；
（2）根据矩形的性质和全等三角形的性质得CF=6-DF，根据勾股定理即可求得DF.
14．【答案】（1）解：设x秒后，△BPQ的面积为4cm2，
则AP=xcm，BP=（5-x）cm，BQ=2xcm，
故，
即，
整理得：x2-5x+4=0，
（x-1）（x-4）=0，
即x-1=0或x-4=0，
解得：x=1或x=4；
当x=4时，2x=8＞7，说明此时点Q越过点C，故不合要求，舍去；
故1秒后△BPQ的面积为4cm2.
（2）解：设x秒后，PQ的长度等于5cm，
在△BPQ中，BP22+BQ2=PQ2，
即（5-x）2+（2x）2=52，
整理得：x2-2x=0，
x（x-2）=0
即x=0或x-2=0，
解，得：x=0（舍去）或x=2；
故2秒后PQ的长度等于5cm.
【解析】【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，结合题意表示出BP和BQ的长，根据三角形的面积公式即可列方程求解；
（2）设经过x秒钟，PQ的长度等于5cm，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
15．【答案】解：在Rt△CDA中，∵AC＝ ，CD= ，
∴AD2＝AC2 CD2，AD= ．
在Rt△CDB中，∵CD= ，BC= ，
∴BD2＝BC2 CD2，BD=
∴AB＝BD-AD=
答：A，B两个凉亭之间的距离为 ．
【解析】【分析】在Rt△CDA和Rt△CDB中利用勾股定理分别求出AD、BD长，再由AB＝BD-AD，代入数据计算即可得出两个凉亭之间的距离．
16．【答案】（1）解：△ABC是直角三角形.
理由：k=3时，方程为
解得x =3，x =4，∴AB=3，AC=4.
∴△ABC是直角三角形.
（2）解：
∴AB≠AC，∴AB，AC 中有一个为5.
当x=5时，原方程为：
即k2-9k+20=0，解得
当k=4时，原方程为
解得由三角形的三边关系，可知4，5，5能围成等腰三角形，∴k=4符合题意；
当k=5时，原方程为
解得x =5，x =6，由三角形的三边关系，可知5，5，6能围成等腰三角形，∴k=5符合题意.
综上所述，k的值为4或5.
【解析】【分析】(1)k=3时，方程为 利用因式分解法解方程，得AB=3，AC=4，然后利用勾股定理的逆定理，即可判断△ABC是直角三角形；
（2）判别式，得AB≠AC，当x=5时，原方程为：解得，然后利用三角形三边关系检验，即可得解.
17．【答案】（1）解：长方形的顶点分别在轴与轴上，，
，，，
设直线的函数解析式为，
将，代入，得：，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：当点P在上时，，即，
，边上高为6，
；
当点P在上时，，即，
，边上高为，
，
的面积关于的函数解析式为；
（3）解：存在，，
满足条件的点在上，
若为等腰三角形，分三种情况考虑：
当时，
在中，，，
，
，
；
当时，过点P作于点Q，
，
，
；
当时，过点D作于点E，
在中，，
，
，
，
综上可知，满足条件的P点坐标为或或．
【解析】【分析】⑴、待定系数法求一次函数解析式，先根据长方形的长与宽确定点C的坐标，然后根据待定系数法一般步骤求直线的解析式；
⑵、当点P在AC上运动时（即0≤t＜5），△OPD同底等高，面积不变；当点P在CB上运动时（即5≤t≤8），△OPD的面积可以以OD为底，点P到y轴的距离为高计算；
⑶、△BPD是等腰三角形，题目没有明确底和腰的情形下须分类讨论，且利用勾股定理求解线段长进而确定点P的坐标。
18．【答案】（1）解：当 ， ， 时
勾系一元二次方程为 ；
（2）证明：根据题意，得
即
勾系一元二次方程 必有实数根；
（3）解：当 时，有 ，即
，即
，
.
【解析】【分析】（1）当a=3，b=4，c=5时，勾系一元二次方程的二次项系数为3，一次项系数为，常数项为4，据此可得对应的方程；
（2）根据△=b2-4ac结合a2+b2=c2可得△=2(a-b)2，然后结合偶次幂的非负性进行证明；
（3）将x=-1代入得a+b=c，由周长得2a+2b+c=6，则c=2，a2+b2=4，a+b=2，然后根据(a+b)2=a2+b2+2ab求出ab的值，再利用三角形的面积公式进行计算.
19．【答案】（1）解：该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD=30°，AB=240，
∴AD= AB=120，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）=200．
∵120＜200，
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）解：如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F．
则AE=AF=200．
∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DE=2 =320．
∴台风影响该市的持续时间t=320÷20=16（小时）．
（3）解：∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）=7.2（级）．
【解析】【分析】（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段．直角三角形ABD中，有∠ABD的度数，有AB的长，AD就不难求出了．（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC上的线段的长即EF得长，可通过在直角三角形AED和AFD中，根据勾股定理求得．有了路程，有了速度，时间就可以求出了．（3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风．
1 / 1