沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数单元复习题（含解析）

沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数单元复习题
一、选择题
1．下列关于的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．反比例函数的图象位于（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
3．二次函数y=（x﹣5）2+7的最小值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．5
4．抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（　　）
A．有两个交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法判断
5．若函数是二次函数，则m的值为（　　）
A．0或-1 B．0或1 C．-1 D．1
6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．图象关于直线x＝1对称
B．函数y＝ax2＋bx＋c的最小值是－4
C．当－4≤x≤3时，y≥0
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
9．如图，抛物线的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗产——京杭大运河受到人们的推崇．某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（　　）
A．24元 B．25元 C．28元 D．30元
二、填空题
11．若函数是反比例函数，则的值等于　 　．
12．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为　 　米．
13．已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标是　 　．
14．已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是　 　．
三、解答题
15．已知反比例函数的图象位于第二、四象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小．
16．若函数是以x为自变量的二次函数．
（1）求k的值；
（2）当函数值时，求自变量x的值．
17．把一根长4米的铁丝折成一矩形，矩形的一边长为x米，面积为S米2.
（1）求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）x为何值时，S最大？最大为多少？
18．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为．
（1）直接写出，，，四个点的坐标；
（2）求四边形的面积．
19．某课外活动小组准备围建一个矩形实践基地，其中一边靠墙，另外三边用长为36米的篱笆围成．已知墙长为19米（如图所示）
（1）当矩形实践基地的面积为160平方米时，求垂直于墙的边长x．
（2）当这个基地的面积最大时，求垂直于墙的边长x，并求这个面积最大值．
20．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y= （k＞0）刻画（如图所示）．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x=5时，y=45，求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴交点的坐标为．
（1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）①当时，的取值范围是　 　；
②若时，，则的取值范围是　 　；
（3）当时，若函数的图象上有且只有一个点到直线的距离为1，求的取值范围．
22．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标；
（3）点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线把的面积分成两部分，若，请求出点的坐标．
23．如图，抛物线y=﹣ x2+ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）试求A，B，C的坐标；
（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；
②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A：，当a=0时，该函数不是二次函数，A不符合题意；
B：，该函数是二次函数，B符合题意；
C：，该函数的一次函数，C不符合题意；
D：，该函数是一次函数，D不符合题意；故答案为：B
【分析】根据二次函数的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。
2．【答案】D
【解析】【解答】 k=-1<0,
反比例函数的图象位于第二、四象限，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的性质当k<0时，函数图象分布在 第二、四象限 ； 当k>0时，函数图象分布在第一、三象限，从而求解.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵y=（x﹣5）2+7
∴当x=5时，y有最小值7．
故选B．
【分析】根据二次函数的性质求解．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），
∴当y＝0时，x＝2或x＝3，
即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），
故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，
故答案为：A.
【分析】求出当y=0时，y＝x2﹣5x+6的x的值，根据x的值进行判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：m2+m+2=2，且m≠0，
解得：m=-1.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义得m2+m+2=2，且m≠0，解出即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】因为二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴x 0，得出b＞0，
所以一次函数y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y 经过二、四象限，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴x 0，得出b＞0，进而对四个选项中的图像即可得出结论。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数 中-m2-1＜0，
∴ 函数图形在二，四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，
∵ 2＞0，
∴ y2＜0，
∵ -3＜-1＜0，
∴ 0＜ y3＜y1，
∴ y1＞y3＞y2.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数中-m2-1＜0可得函数所在象限和增减性，再根据各点的横坐标判断出各点所在象限，即可求得.
8．【答案】C
9．【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，
① 错误，不符合题意；
由抛物线开口向上，可得a>0,
对称轴在y轴的左侧，
b>0,
抛物线与y轴交于正半轴，
c>0,
,
② 正确，符合题意；
x=-1时，y<0,
对称轴为
a-2a+c<0,
a>c,
③ 正确，符合题意；
对称轴为
x=-2和x=0时函数值相等，
x=-2时，y>0,
④ 正确，符合题意；
符合题意的有②③④，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，可判断①错误，不符合题意；根据函数图象得到a、b、c的正负形，可判断② 正确，符合题意；根据x=-1得到y<0，可判断 ③ 正确，符合题意；根据对称轴和x=0时y的取值范围可判断④ 正确，符合题意；从而求解.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：设利润为，由题意得，
，，
∴当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∴当时，有最大值，
故答案为：B
【分析】先设利润为，进而根据题意得到，再运用二次函数的图象与性质即可求解。
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴m2-2=-1，且m-1≠0，
解得：m=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据反比例函数的定义，可得m2-2=-1，且m-1≠0，解得m=-1.
12．【答案】2
【解析】【解答】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1=﹣0.5x2+2，
解得：x= ，
所以水面宽度增加到 米
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，可知抛物线的顶点坐标为：（0，2）且图像经过点（-2，0），利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出y=-1时的自变量的值，从而可求出此时水面的宽。
13．【答案】
【解析】【解答】由二次函数可得对称轴为直线x=-2，
函数图象与轴的一个交点为，
解得x=-3，
它与轴的另一个交点的坐标是 （-3,0），
故答案为：（-3,0）.
【分析】根据二次函数表达式求得对称轴为直线x=-2，结合图象与轴的一个交点为，从而求解.
14．【答案】②③④
【解析】【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：，
∵对称轴在y轴右侧，即：，
∴，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴，
∴，
∴①错误；
②∵抛物线对称轴是直线，即，
∴
∴，故②正确；
③由图象知，与关于对称轴对称，
当时，，
即，
∵，
∴，故③正确；
④∵，
∴，
如果，
那么，
∵，
∴，
根据抛物线与y轴的交点，可知，
∴结论④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据抛物线的性质，系数与图象的关系可判断①错误；再根据抛物线对称轴性质可判断②正确，根据抛物线的对称性可判断③正确，再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出答案.
15．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴；
（2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴在每个象限内，y随x增大而增大，
∵点是该反比例函数图象上的两点，，
∴点A和点B都在第二象限，
∴．
【解析】【分析】(1)首先根据函数图象的位置得出 ， 再解不等式即可得出k的取值范围；
（2）首先根据函数图象的位置，得出函数的性质： 在每个象限内，y随x增大而增大， 根据性质即可得出 ．
16．【答案】（1）解：依题意有，
解得：，∴k的值为3
（2）解：把代入函数解析式中得：，
当，时，，
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义得出，求出k的值即可；
（2）把代入函数解析式中得出，再把代入得出，解关于x的方程即可．
17．【答案】（1）解：S=－x2+2x（0（2）解：当x对=1时，Smax=1
18．【答案】（1）解：，，，
（2）解：连结，如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
四边形的面积是：
【解析】【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝（x﹣1）2﹣4，
∴当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4），
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（0，﹣3）；
【分析】（1）根据二次函数的图象结合二次函数与坐标轴的交点问题即可求解；
（2）连结，根据（1）中点的坐标结合即可求解。
19．【答案】（1）解：∵垂直于墙的一边长为x米，三边用长为36米的篱笆围成，
∴平行于墙的一边长为（36﹣2x）米，
根据题意，得x（36﹣2x）＝160，
解得x3＝8，x2＝10，
当x2＝8时，36﹣2x＝20＞19，舍去；
当x3＝10时，36﹣2x＝16，
答：垂直于墙的边长为10米
（2）解：设矩形实践基地的面积为y平方米，
根据题意，得y＝x（36﹣2x）＝﹣6x2+36x＝﹣2（x﹣4）2+162，
∵﹣2＜4，
∴当x＝9时，y取最大值2．
答：垂直于墙的一边长为5米时，这个矩形实践基地的面积最大2
【解析】【分析】（1）利用矩形三边的长为36米，用表示出矩形另一边的长，再利用“矩形实践基地的面积为160平方米”列方程求解即可；
（2）列出矩形实践基地的面积与垂直于墙的边长间的函数关系式，利用二次函数的最值求出这个基地的面积最大时和垂直于墙的边长．
20．【答案】（1）解：①y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200，
∴x=1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；
②∵当x=5时，y=45，y= （k＞0），
∴k=xy=45×5=225
（2）解：不能驾车上班；
理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，
∴将x=11代入y= ，则y= ＞20，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班
【解析】【分析】（1）①利用y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200确定最大值；②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）求出x=11时，y的值，进而得出能否驾车去上班．
21．【答案】（1）
（2）；-3≤m≤-2
（3）＜m≤
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得：b=-4，
∵抛物线与轴交点的坐标为，
∴c=，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：；
（2）①∵抛物线的对称轴为直线x=-2，且开口向下，
∴当x=-2时，y最大=，
∵当x=3时，y最小=，
∴当时，y的取值范围是，
故答案为：；
②由①可得：x=-2时，y=，
当x=-1时，，
再由对称性可得，当x=-3时，y=，
∵时，，
∴-3≤m≤-2，
故答案为：-3≤m≤-2；
（3）根据题意作出如图所示的图象：
∴在直线上方，到直线的距离为1的点在直线y=上，
将y=代入可得：，
解得：x1=，x2=，
∵当时，若函数的图象上有且只有一个点到直线的距离为1，
∴＜m≤，
故答案为：＜m≤.
【分析】（1）利用待定系数法求出b、c的值即可得到答案；
（2）①利用二次函数的图象和性质分析求解即可；
②利用二次函数的性质及对称性质分析求解即可；
（3）先分析出满足题意的点在直线上方，到直线的距离为1的点在直线y=上，再将y=代入可得：，求出x的值，再直接求出＜m≤即可.
22．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，，
∴
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：由（1）可知抛物线的对称轴为x＝2
要保证PA＋PC最小，则P为直线BC与对称轴的交点
而直线BC的解析式为y＝－x＋5
当x＝2时y＝－2＋5＝3
∴
（3）解：设，则
∴，
∵
∴，即，
∴
化简得，
解得，（舍去）
∴，
∴
【解析】【分析】(1)将点A、B坐标代入函数解析式，利用待定系数法求得解析式.
(2)本题考查的是利用将军饮马模型求线段和的最小值.由抛物线图象的对称性可得点A、B关于对称轴对称，故PA+PC=PB+PC，因而可得PA+PC的最小值为BC的长度，即点P在BC上.通过抛物线解析式求得点C坐标和对称轴，再利用点B、C坐标求得直线BC的解析式，进而得到点P坐标.
(3)由轴可得点E、D的横坐标相等，利用抛物线和直线BC的解析式设点D、E坐标，进而表示出DE、EF，再根据可得DE：EF=3：2，列出方程求得点D坐标.
23．【答案】（1）解：当y=0时，0=﹣ x2+ x+2， 解得：x1=﹣1，x2=4， 则A（﹣1，0），B（4，0）， 当x=0时，y=2， 故C（0，2）
（2）解：①过点D作DE⊥x轴于点E， ∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD， ∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5， ∴D（3，﹣2）； ②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD， ∴AC=BD，AD=BC， ∴四边形ADBC是平行四边形， ∵AC= ，BC= ，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB是直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∴四边形ADBC是矩形
（3）解：由题意可得：BD= ，AD=2 ， 则 ， 当△BMP∽△ADB时， ， 可得：BM=2.5， 则PM=1.25， 故P（1.5，1.25）， 当△BMP1∽△ABD时， P1（1.5，﹣1.25）， 当△BMP2∽△BDA时， 可得：P2（1.5，5）， 当△BMP3∽△BDA时， 可得：P3（1.5，﹣5）， 综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．
【解析】【分析】
（1）利用y=0，x=0分别得出方程，解方程得出A，B，C的坐标；
（2）①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；
②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状；
（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．
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