沪科版九年级数学上册第22章相似形单元复习题（含解析）

沪科版九年级数学上册第22章相似形单元复习题
一、选择题
1．下列各组数中，成比例的是（　　）.
A．1，-2，-3，-6 B．1，4，2，-8
C．5，6，2，3 D．，，1，
2．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．
3．如图，中，点D，E分别在边上．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．3
4．如图，在中，，，若，则等于（　　）
A．6 B．8 C．7 D．5
5．若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
6． 下列说法中正确的是（　　）
A．两个面积相等的三角形是全等三角形
B．三个对应角都相等的三角形是全等三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形
D．两个完全重合的三角形是全等三角形
7．下列格点三角形中，与图中格点相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，△ABC∽△ACD，相似比为2，已知AD的长为2，则AB的长为（　　）
A．8 B． C．6 D．4
9．如图，在中，，点P在边上，若是的三等分线，则的长度为（　　）
A．或5 B．或 C．或2 D．或2
10．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（　　）
A．的面积为 B．的周长为
C． D．
二、填空题
11．设点是线段的黄金分割点，那么线段的长是　 　．
12．如图，已知，添加一个条件　 　，使得．
13．如图，与是位似图形，位似中心为点O，位似比为，若，则DF为　 　．
14．如图，在 ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于　 　．
三、解答题
15．如图，，直线，交于点，且分别与直线，，交于点、、和点、、，已知，，，，求的长度是？
16．如图，D，E分别是的边AB，AC上的点，.
求证：.
17．如图，点分别在三边上，且，．
（1）求的长；
（2）若的面积为4，求四边形的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1位似，并且点A1的坐标为（8，﹣6）．
（2）△ABC与△A1B1C1的位似比是 　 　．
（3）△A1B1C1的面积是 　 　．
19．已知：如图，在中，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为：若设运动的时间为，解答下列问题：
图① 图② 图③
（1）如图①，连接，当为何值时，并说明理由；
（2）如图②，当点运动时，是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点运动时，线段上是否存在一点，使得四边形为荾形？若存在，试求出长：若不存在，请说明理由．
20．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．
21．如图，已知点，，以坐标原点O为位似中心，在第四象限将缩小为原来的三分之一（即新图形与原图形的相似比为）．
（1）画出缩小后的图形；
（2）写出B点的对应点坐标；
（3）如果内部一点M的坐标为，写出点M经位似变换后的对应点坐标．
22．在中，D为AB边上一点，过点D作交AC于点E，以DE为折线，将翻折，设所得的与梯形DBCE重叠部分的面积为y.
图1图2 图3
（1）如图1，若，，，，则y的值为　 　；
（2）如图2，若，，D为AB中点，则y的值为　 　；
（3）若，，，设.
①求y与x的函数解析式；
②y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意.
故答案为：D.
【分析】如果前两个数据的比值等于后两个数据的比值，那么这四个数据就成比例，据此一一判断得出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故答案为：C.
【分析】两个三角形相似的条件有：两组对应角分别相等；两边对应成比例，夹角相等；三边对应成比例；根据条件分别判断即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵
又∵∠DAE=∠CAB
∴△DAE∽△CAB
∴
∴DE=BC==
故答案为：C.
【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△DAE∽△CAB，相似三角形的对应边之比等于相似比得，从而代入可算出DE的长.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵DE//BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∵S△ABC=9
∴S△ ADE=1
∴S四边形BCDE=9-1=8
故答案为：B.
【分析】解决本题的主要依据是相似三角形的面积之比等于相似比.由DE//BC，得△ADE∽△ABC，于是，因为S△ ABC=9，所以S△ ADE=1，故S四边形BCDE=9-1=8.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：=.
故答案为：B .
【分析】根据合比定理，第一个比的前后项之差与它后项的比等于第二个第二个比的前后项之差与它后项的比.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A、两个面积相等的三角形不一定是全等三角形，说法错误；
B、三个对应角都相等的三角形是全等三角形不一定是全等三角形，说法错误；
C、两个周长相等的三角形是全等三角形不一定是全等三角形，说法错误；
D、两个完全重合的三角形是全等三角形，说法正确；
故答案为：D.
【分析】能够完全重全的三角形是全等三角形，据此判定。
7．【答案】A
【解析】【解答】设网格边长为1，
A：三角形的三边长分别为2，4，即
与图中格点相似 ， 符合题意；
B：三角形的三边长分别为2，，即
与图中格点不相似 ， 不符合题意；
C：三角形的三边长分别为，，3,即
与图中格点不相似 ， 不符合题意；
D:三角形的三边长分别为，，,即与图中格点不相似 ， 不符合题意；
故答案为：A.
【分析】设网格边长为1，先求出△ABC的三边长，再分别求出每个选项中的三角形的三边长，利用三边是否对应成比例即可求解.
8．【答案】A
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB=AC=2，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°.
∵AP是∠BAC的三等分线，
∴∠BAP=36°，∠CAP=72°，
∴∠CPA=72°，
∴AC=PC=2.
∵∠B=∠B，∠BAP=∠C，
∴△BAP∽△BCA，
∴，
∴，
∴BP2+2BP-4=0，
∴BP=-1.
当∠PAC=36°时，∠BAP=∠BPA=72°，
∴AB=BP=2.
综上可得BP=-1.或2.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B=∠C=36°，由题意可得∠BAP=36°，∠CAP=72°，则∠CPA=72°，推出AC=PC=2，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△BAP∽△BCA，由相似三角形的性质可得BP的值；当∠PAC=36°时，∠BAP=∠BPA=72°，此时AB=BP，据此解答.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知：
AB，
所以，，
所以且相似比为2：1，
因为，
所以，故A选项错误，不符合题意；
因为，
所以，故B选项正确，符合题意；
因为，
所以故C、D选项错误，不符合题意；
故选：B.
【分析】分别求出AB=、、，再依据相似三角形的性质进行判断即可.
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP
∴AP==
故答案为：.
【分析】若点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则，据此可求解，用黄金分割求线段时，要特别留意是求较短的线段，还是求较长一段的线段.
12．【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】添加条件：（答案不唯一），
理由：∵，
∴，
∴∠BAC=∠DAE，
∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】利用相似三角形的判定方法分析求解即可.
13．【答案】
【解析】【解答】∵与是位似图形，位似比为，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】先利用位似图形的性质可得，再结合BC的长求出即可.
14．【答案】
15．【答案】解：，
，
，
，
，
，
【解析】【分析】从已知条件入手，已知一组平行线分线段，马上想到相似三角形的性质定理或平行线分线段成比例的定理，再从问题入手，线段DE是线段DO和线段OE的和，观图易由三角形相似的判定和性质定理可先求得OE，同理可求DO，则DE的长度可求。
16．【答案】证明：∵，
又∵，∴.
【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
∴．
【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例的性质可得，再结合BC的长求出BF的长，最后利用线段的和差求出CF的长即可；
（2）先证出可得，再求出，再证出可得，再求出，最后利用割补法求出即可.
18．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所作；
（2）1：2
（3）8
【解析】【解答】解：（2）∵A的坐标为．点的坐标为，
∴与的位似比是位似比为，
故答案为：．
（3）的面积是，
故答案为：
【分析】（1）根据作图-位似结合题意即可求解；
（2）根据位似结合题意即可求解；
（3）根据三角形的面积公式即可求解。
19．【答案】（1）解：在中，，，
由运动知，，，
，，，；
（2）解：存在，
理由：如图②，
由运动知，，，
点在的垂直平分线上，过点作，
，
，，，，．
（3）解：不存在，
理由：由运动知，，
假设线段上是存在一点，使得四边形为平行四边形，
，，，，
，，，
平行四边形不可能是菱形．
即：线段上不存在一点，使得四边形为菱形．
【解析】【分析】(1)首先根据勾股定理求得AB=6cm，然后根据相似三角形的性质，即可得出关于t的等式，解方程即可求得t的值；
（2） 过点作， 首先根据PM垂直平分CQ，表示求出QM和CM的长度，然后再根据平行线分线段成比例，即可得出关于t的等式，解方程即可求得t的值；
（3） 不存在， 首先根据平行四边形的性质建立方程，求出求出t的值，然后判断在此条件下，PQ≠PB，故而得出四边形不可能为菱形．
20．【答案】（1）解：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE//AB， DE=AB=5
又∵DE//AB，
∴∠DEC= ∠B．
而∠ F= ∠ B，
∴∠DEC =∠B，
∴FD=DE=5
（2）解：∵AC=BC，
∴∠A=∠B．
又∠CDE=∠A，∠CED= ∠B，
∴∠CDE=∠B．
而∠B=∠F，
∴∠CDE=∠F，∠CED=∠DEF，
∴△CDE∽△DFE ．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DEC= ∠B，再结合∠F= ∠B，可得∠DEC =∠B，最后利用等角对等边的性质可得FD=DE=5；
（2）证明∠CDE=∠F，∠CED=∠DEF，即可证明△CDE∽△DFE。
21．【答案】（1）解：如图，为所求作的图形．
（2）解：由（1）得B点的对应点坐标：．
（3）解：M由第二象限变换到第四象限为，
新图形与原图形的相似比为
．
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据（1）中的图形求点的坐标即可；
（3）根据 M由第二象限变换到第四象限为， 求点的坐标即可。
22．【答案】（1）
（2）12
（3）解：①当时，；
当时，.
②当时，，
当时，；
当时，.
，，
当时，.
综上所述，当时，y有最大值，最大值是10.
【解析】【解答】解：（1），，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2），，
边上的高为，
，
为的中点，，
，，
，
，
，
故答案为：12。
【分析】（1）由勾股定理求出AC的长，再证明，利用面积之比等于相似比的平方即可求解；
（2）由勾股定理求出BC边上的高，计算的值，根据D为中点和，即可得出，最后根据面积之比等于相似比的平方求出结果；
（3）作于点H，先求出和的值，再分两种情况时和当进行讨论，分别求出 和 的值，即可求出y的最大值．
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