人教版九年级数学下册第二十七章 相似 单元复习题(含解析)

人教版九年级数学下册第二十七章相似单元复习题
一、选择题
1．下列两个图形一定是相似图形的是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形
2．下列各组数中，成比例的是（　　）.
A．1，-2，-3，-6 B．1，4，2，-8
C．5，6，2，3 D．，，1，
3．如图，AB∥CD，AD，BC相交于点O．若AB＝1，CD＝2，BO∶CO＝（　　）
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
4．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（　　）
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
5．如图，五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过位似变换得到的，点O是位似中心，F、G、H、M、N分别是OA、OB、OC、OD、OE的中点，则五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比是（　　）
A．2：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
6．如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（　　）
A．3 B．4 C．3 D．5
7．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（　　）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．= D．AC2=AD AB
8．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（　　）
A．0.36 平方米 B．0. 81 平方米
C．2 平方米 D．3.24 平方米
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形.其中BC∶B1C1=1∶2，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（　　）
A．1∶4 B．2∶1 C．1∶2 D．1∶3
10．已知一个三角形的其中一个内角是它另外一个内角的两倍，且它的其中一边长是另外一边长的两倍，若它最短的边长为1，则这个三角形的周长不可能是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，已知，如果，，则的长是　 　.
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，若AD=9，BD=4，则AC=　 　．
13．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，，.若DE＝2，则BC的长是　 　.
14．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为　 　.
三、解答题
15．如图，在一张5×5的正方形方格纸中，△ABC的顶点在单位正方形的顶点上（格点上），请在图中画一个与ABC相似的最大的△A1B1C1，且点A1、B1、C1都在格点上．
16．如图，点E在菱形ABCD的边BC的延长线上，AE交CD于点F，FG∥CE交DE于点G．求证：FG=FC．
17．如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2＝PA·PB
18．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（1，0）、
B（3，2）、C（0，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）沿x轴向左平移2个单位，得到△A1B1C1，不画图直接写出发生变化后的B1点的坐标．点B1的坐标是　 　；
（2）①以A点为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1.　 　.
②点B2的坐标是　 　；
（3）△A2B2C2的面积是　 　平方单位．
19．如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点.
（1）求证：是菱形：
（2）若，则的值为　 　.
20．如图，在矩形中， ，，P是线段边上的任意一点（不含端点A、D），连接，过点P作交于E．
（1）若，则　 　；
（2）当点P在上运动时，对应的点E也随之在上运动，求的取值范围；
（3）在线段上是否存在不同于P的点Q，使得？若存在，求线段与之间的数量关系；若不存在，请说明理由．
21．如图，过点的直线与轴，轴分别交于点，两点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数的图象于点，连接，的面积为6.
（1）求k的值和点D的坐标；
（2）如图，连接，，点在直线上，且位于第二象限内，若的面积是面积的2倍，求点的坐标.
22．自学：如图1，△ABC中，D是BC边上一点，则△ABD与△ADC有一个相同的高，它们的面积之比等于相应的底之比，记为 = ．
（△ABD，△ADC的面积分别用记号S△ABD，S△ADC表示）
（1）心得：如图1，若BD= DC，则S△ABD：S△ADC=　 　
（2）成长：如图2，△ABC中，M，N分别是AB，AC边上一点，且有AM：MB=2：1，AN：NC=1：1，则△AMN与△ABC的面积比为　 　．
（3）巅峰：如图3，△ABC中，P，Q，R分别是BC，CA，AB边上的点，且AP，BQ，CR相交于点O，现已知△BPO，△PCO，△COQ，△AOR的面积依次为40，30，35，84，求△ABC的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
C、两等腰三角形不一定相似，故此选项不符合题意；
D、两个等边三角形的对应边的比相等，对应角一定相等，故两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用相似多边形的判定：所有的对应边成比例，且所有的对应角分别相等的两个多边形相似，可对A，B作出判断；利用相似三角形的判定定理及等腰三角形的性质，可对C，D作出判断.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意.
故答案为：D.
【分析】如果前两个数据的比值等于后两个数据的比值，那么这四个数据就成比例，据此一一判断得出答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴.
故答案为：A.
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△AOB∽△DOC，进而根据相似三角形对应边成比例即可得出结论.
4．【答案】A
【解析】【解答】∵BE∥AD，
∴△BCE∽△ACD，
∴，即 ，
∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2
∴
∴1.2AB=1.8，
∴AB=1.5m．
故答案为：A．
【分析】先证明△BCE∽△ACD，再利用相似三角形的性质可得 ，即 ，再将数据代入计算可得 ，最后求出AB的长即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵F为AO的中点，
∴OF：OA=1：2，
∵ 五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过位似变换得到的 ，
∴FN∥AE，
∴△OFN∽△OAE，
∴OF∶OA=FN∶AE=1∶2
∴五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比为：4：1.
故答案为：B.
【分析】由五边形ABCDE与五边形FGHMN关于点O成位似关系，且OF：OA=1：2，可得位似比为1：2，根据形似图形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵这三个正方形的边都互相平行．
∴它们均相似．
∴ = 解得：x=4．
故选B．
【分析】根据相似多边形的对应边的比相等，就可以判断．
7．【答案】C
【解析】【解答】∵∠A是公共角，
∴再加上∠B=∠ACD，或∠ADC=∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2=AD AB，即=，也可判定△ABC∽△ACD，
∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．
故选C．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
8．【答案】B
【解析】【解答】解：构造如下图形，由题意可得：DE= 米，FG=1米，AG=3米，DE∥BC，AF和AG分别为△ADE和△ABC的高
∴△ADE∽△ABC
∴
即
解得：BC=
∴地面上阴影部分的面积为
故答案为：B.
【分析】先求其直径，二直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，BC∶B1C1=1∶2，
∴△ABC与△A1B1C1的周长之比=BC∶B1C1=1∶2.
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的周长比等于相似比进行解答.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，在中，，过点A作的角平分线交于D，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
当时，设，则，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴此时三角形的周长为，故B不符合题意；
当时，设，则，
∴，
∴，
∵，
∴此时不能构成三角形；
当时，设，则，
∴
∴，
∴，
解得，
∵，
∴此时不能构成三角形；
当时，设，则，
∴
∴，
∴，
解得，
∵，
∴此时不能构成三角形；
同理可得当，即，可得满足题意的，
∴此时三角形的周长为，故A不符合题意；
同理当，即，可得，
∴此时，不符合题意，即三角形的周长不能为，故D符合题意；
同理当，即，可得，
∴此时三角形的周长为，故C不符合题意；
故答案为：D.
【分析】在△ABC中，∠BAC=2∠B，过点A作∠BAC的角平分线交BC于D，则BD=AD，∠ADC=2∠B=∠BAC，证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质可得，①当AC=1、AB=2时，设BC=z，CD=y，则BD=z-y，代入并求解可得z的值，据此可判断B；②当AC=1、BC=2时，设AB=z，CD=y，则BD=AD=2-y，根据相似三角形的性质可得y、z的值，此时不能构成三角形；③当AC=1、BC=2AB时，设AB=z，CD=y，则BD=AD=2z-y，代入求出z的值，此时不能构成三角形；④当AC=1、AB=2BC时，设AB=2z，CD=y，则BD=AD=z-y，同理求出z的值，此时不能构成三角形；⑤当AB=1、BC=2时，设AC=z，CD=y，代入求出AC的值，得到周长，进而判断A；同理判断C、D.
11．【答案】6
【解析】【解答】解：，
，
又AB∶BC=2∶3，，
.
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，然后将已知条件代入计算即可.
12．【答案】
【解析】【解答】如图所示，
∵Rt△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，即CD2=AD BD=9×4=36，解得CD=6，
在Rt△ACD中，
∵AD=9，CD=4，
∴AC=．
故答案为：．
【分析】先根据相似三角形的判定定理得出△ACD∽△CBD，再由相似三角形的对应边成比例求出CD的长，根据勾股定理即可得出AC的长.
13．【答案】6
【解析】【解答】解：根据题意，
∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵DE＝2，
∴，
∴；
故答案为：6.
【分析】根据相似三角形的判定"平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似"可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得比例式“”求解.
14．【答案】4m
【解析】【解答】解：根据题意做出示意图，则，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴.
故答案为：4m.
【分析】根据题意做出示意图，则CD⊥EF，CE⊥CF，DE=2m，DF=8m，根据同角的余角相等可得∠E=∠DCF，证明△EDC∽△CDF，然后根据相似三角形的性质进行计算.
15．【答案】解：AB=2，
BC= =2 ，
AC= =2 ，
可作的最大边A1C1= =5 ，
所以，B1C1=2 ，A1B1= ，
△A1B1C1如图所示．
【解析】【分析】利用勾股定理列式求出AB、BC、AC，然后求出可作的最大边A1C1，然后求出A1B1，B1C1，再根据网格结构作出即可．
16．【答案】证明：四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，DC∥AB，AD∥BC，
∵FC∥BC，
∵FG∥AD，
∴ ，
∴
∴FG=FC
【解析】【分析】由菱形的性质可知对边平行，四条边相等，然后利用平行线分线段成比例，列出比例式，等量代换即可.
17．【答案】证明：连接AC，BD，
∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△APC∽△DPB.
∴ ，
∴CP DP=AP BP.
∵AB是直径，CD⊥AB，
∴CP=PD.
∴PC2=PA PB.
【解析】【分析】 连接AC，BD， 利用同弧所对的圆周角相等得∠A=∠D，∠C=∠B，可推出△APC∽△DPB，利用相似三角形的对应边成比例，可证得CP DP=AP BP，利用垂径定理可证得CP=DP，由此可证得结论.
18．【答案】（1）（1，2）
（2）；（﹣3，﹣4）
（3）8
【解析】【解答】解：（1.）根据平移规律，将点B（3，2）左平移2个单位，得到点B1的坐标是（1，2），
故答案为：（1，2）；
（2.）如图所示，△A2B2C2即为所求，B2（﹣3，﹣4）；
故答案为：（﹣3，﹣4）；
（3.）△A2B2C2的面积是： ×4×2+ ×4×2=8．
故答案为：8
【分析】（1）直接利用平移的性质，得出各对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质，得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用割补法，求得△A2B2C2面积即可，将该三角形看成上下两部分即可得出答案．
19．【答案】（1）证明：∵的平分线交于点，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
∴.
同理，.
∴.
∵
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴四边形是菱形.
（2）
【解析】【解答】解：（2）由（1）知，四边形是菱形，
又四边形是平行四边形，
，
设，，则有：
，即，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAE=∠EAF，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠EAF=∠AEB，则∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，同理可得AB=AF，则BE=AF，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）由（1）知：四边形ABEF是菱形，则AB=BE=EF=FA，根据平行四边形的性质可得FD=CE，EF=CD，则AB=BE=EF=FA=CD，使劲儿FD=CE=x，AF=BE=CD=y，则BC=x+y，根据相似图形的对应边成比例可得x，据此求解.
20．【答案】（1）
（2）解：由（1）得：，
，
设，，
，
，
整理得：，
，
当时，，
，
此时的最小值为，
又E在上运动，
，
．
（3）解：如图，假设存在这样的点Q，
由（1）可得：，
同理可得：，
，
，
整理得：，
不同于点，
，
即：不是的中点，
，
∴当P不是的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时．
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=6，BC=AD=9，
∴∠AEP+∠APE=90°.
∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠CPD.
∵∠AEP=∠CPD，∠A=∠D=90°，
∴△PAE∽△CDP，
∴，
∴，
∴AE=.
故答案为：.
【分析】（1）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，AB=CD=6，BC=AD=9，由同角的余角相等可得∠AEP=∠CPD，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△PAE∽△CDP，然后由相似三角形的性质进行计算；
（2）由相似三角形的性质可得AE·DC=AP·DP，设AP=x，AE=y，则DP=9-x，代入并整理可得y与x的关系式，由二次函数的性质可得y的最大值以及对应的x的值，然后根据BE=AB-AE可得BE的最小值，根据E在AB上运动可得BE<6，据此可得BE的范围；
（3）假设存在这样的点Q，由（1）可得AE·DC=AP·DP，同理可得AQ·DQ=AE·DC，则AQ·DQ=AP·DP，结合DQ=9-AQ、DP=9-AP可得AP+AQ-9=0，据此解答.
21．【答案】（1）解：设点坐标为，由题意得，
，
点在的图象上，
，
直线的图象与轴交于点，
点的坐标为，
轴，
轴，
，
，
点的横坐标为4.
点在反比例函数的图象上
点坐标为；
（2）解：由（1）知轴，
，
，
，
过点作，垂足为点，交轴于点，
，，
，
，
点的横坐标为
点在直线上，
点的坐标为.
【解析】【分析】（1）设D（m，n），由三角形的面积公式可得mn=6，求出mn的值，结合点D在反比例函数图象上可得k的值，令直线解析式中的y=0，求出x的值，可得点A的坐标，根据平行线分线段成比例的性质可得OH=AO=4，即点D的横坐标为4，将x=4代入反比例函数解析式中求出y的值，据此可得点D的坐标；
（2）由（1）可知CD∥y轴，则S△BCD=S△OCD，由题意可得S△BDE=2S△OCD，则S△EDC=3S△BCD，过点E作EF⊥CD，垂足为点F，交y轴于点M，根据△EDC、△BCD的面积公式可得EF=3OH=12，则EM=8，即点E的横坐标为-8，将x=-8代入直线解析式中求出y的值，据此可得点E的坐标.
22．【答案】（1）1：2
（2）1：3
（3）解：设△BRO和△AOQ的面积分别为x、y，
∵△BPO，△PCO的面积分别为40，30，
∴ = ，
∴ = ，即 = ，
=2，
∴OB=2OQ，
∴ =2，即 =2，
则 ，
解得， ，
∴△ABC的面积为：40+30+35+84+60+72=321
【解析】【解答】解：心得：∵BD= DC，
∴ = ，
∴S△ABD：S△ADC=1：2，
故答案为：1：2；
成长：如图②．连接BN，
∵AN：NC=1：1，
∴S△ANB=S△CNB= S△ABC，
∵AM：MB=2：1，
∴SAMN= S△ANB，
∴△AMN与△ABC的面积比为1：3，
故答案为：1：3；
巅峰：
【分析】心得：根据两个三角形有一个相同的高，它们的面积之比等于相应的底之比进行计算即可；成长：连接BN，根据题意求出S△ANB=S△CNB= S△ABC，SAMN= S△ANB，计算即可；巅峰：设△BRO和△AOQ的面积分别为x、y，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可．
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