10.3频率与概率 课件(共32张PPT)-人教A版（2019）高中数学必修第二册课件

(共32张PPT)
人教A版高中数学必修第二册
10.3 频率与概率
引入新知
对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率。但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断。例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻找新的求概率的方法。
人教A版高中数学必修第二册
10.3.1 频率的稳定性
提出问题
我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小。
在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率。那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？
引入新知
在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A出现的次数为nA，则称nA为事件A出现的频数，那么事件A出现的频率fn(A)等于什么？
频率的取值范围是什么？
课堂探究
探究：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较，你发现了什么规律
下面我们分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A的频率的变化情况，以及频率与概率的关系．
把硬币正面朝上记为1，反面朝上记为0，则这个试验的样本空间
解决问题
第一步．每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率；
第二步．每四位同学为一组，比较试验结果；
第三步．各组统计事件A发生的次数，计算事件发生的频率，将结果填入表中．
小组序号 试验总次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率
1 100 　 　
2 100 　 　
3 100 　 　
··· 　 　 　
合计 　 　 　
课堂探究
思考：比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下,事件A发生的频率.
(1)各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况
(2)随着试验次数的增加,事件A发生的频率有什么变化规律
课堂探究
投掷一枚硬币，出现正面可能性有多大？
解决问题
序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
利用计算机模拟掷两枚硬币的试验：在重复试验次数为 时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数 n和频率 ．
解决问题
用折线图表示频率的波动情况(如下图).
我们发现：
1．试验次数n相同，频率 可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性
2．从整体来看，频率在概率0.5附近波动．当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大．
历史故事
抛掷次数（n) 2048 4040 12000 24000 30000
正面朝上次数(m) 1061 2048 6019 12012 14984
频率(m/n) 0.518 0.506 0.501 0.5005 0.4996
历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示
抛掷次数n
频率m/n
0.5
1
2048
4040
12000
24000
30000
72088
德 . 摩根
蒲 丰
皮尔逊
皮尔逊
维 尼
引入新知
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 发生的频率 会逐渐稳定于事件 发生的概率 ．
我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
因此，我们可以使用频率 估计概率 ．
概念辨析
频率与概率的区别
1. 事件A发生的频率fn(A)是（不变，变化）的；
事件A发生的概率P(A)是（不变，变化）的；
概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验结果无关，与试验次数无关，甚至与做不做试验无关.
2.随着试验次数的增加频率稳定于概率；
3.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
因此在实际中我们求一个事件的概率时,有时通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率.
课堂练习
练习．下列说法正确的有________．(填序号)
(1)频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性的大小．
(2)做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率．
(3)频率是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是确定性的不依赖于试验次数的理论值．
(4)在大量实验中频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
课堂练习
１．在一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2”.解释此句话的含义？
2 ．某医院治疗一种疾病的治育率为百分之十，那么前九个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？
3．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则 A的 （ ）
A.概率为0.6 B.频率为6 C.频率为0.6 D.概率接近0.6
课堂练习
4.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下:
投篮次数 8 10 15 20 30 40 50
进球次数 6 8 12 17 25 32 39
进球频率
计算表中进球的频率;
这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少
(3)这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能投中8次吗
　　不一定. 投10次篮相当于做10次试验,每次试验的结果都是随机的, 所以投10次篮的结果也是随机的.
概率约是0.8
0.78
0.75
0.80
0.80
0.85
0.83
0.80
典型例题
解：（1）2014年男婴出生的频率为：
2015年男婴出生的频率为：
（2) 由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度．
因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论．
例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年，2015年新出生的婴儿性别比分别为 和 ．
(1)分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）；
(2) 根据估计结果，你认为”生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？
典型例题
例2 一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜．判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等．
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次．据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的．你更支持谁的结论？为什么？
解：当游戏玩了 10 次时，甲乙获胜的频率都为 0.5 ；当游戏玩了1000 次时，甲获胜的频率为0.3 ，乙获胜的频率为 0.7．根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小．相对 10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近．而游戏玩到1000次时，甲乙获胜的频率分别是0.3和0.7 ，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的．
因此，应该支持甲对游戏公平性的判断．
课堂探究
思考：气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是 ，如果您明天要出门，最好携带雨具”，如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确．那么如何理解“降水率是 ”？又该如何评价预报得结果是否准确呢？
降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的．对“降水的概率为 ”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有 的天数要下雨．只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性．如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有 确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与 差别较大，那么就可以认为预报不太准确．
人教A版高中数学必修第二册
10.3.2 随机模拟
提出问题
用频率估计概率，需要做大量的重复试验。有没有其他的方法可以替代试验呢？
我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数。实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了。
新课讲解
产生随机数的方法
1.由试验产生随机数
如: 若产生1～25之间的随机整数,先将25个大小形状等均相同的小球分别标上1, 2, … , 24, 25, 放入一个袋中,把它们充分搅拌,然后从中摸出一个球,这个球上的数就是随机数。
范围：所需要的随机数的个数不太多
2.由计算器或计算机产生随机数
由于计算器或计算机产生的随机数是根据确定的算法产生的,具有周期性(周期很长),具有类似随机数的性质,但并不是真正的随机数,而叫伪随机数.
范围:所需要的随机数的个数较多
随机模拟方法或蒙特卡罗(Monte Carlo)方法
课堂典例
结论: 这里试验出现的可能结是有限个,但是每个结果出
现不是等可能的,所以不能用古典概型求概率的公式.
用计算器做模拟试验可以模拟每天下雨的概率是40％.
(下,不,不),(不,下,不),(不,不,下)
(下,下,不),(下,不,下),(不,下,下)
(下,下,下)
(不,不,不)
分析
例1.天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40％.
这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？
课堂典例
解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题.利用计算器可以产生0到9之间取整数值的随机数,我们用1,2,3,4表示下雨,用5, 6, 7,8,9,0表示不下雨,这样可以体现每天下雨的概率是40％.因为是3天,所以每三个随机数作为一组，例如,产生20组随机数：
966 191 271 932 812 458 569 683 431
257 393 027 556 488 730 113 537 989
相当于做了20次试验. 在这组数中, 如果恰有两个数在1，2，3，4中, 则表示恰有两天下雨, 它们分别是191，271，932，812，393，即共有5个数.我们得到三天中恰有两天下雨的概率近似为
例1.天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40％.
这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？
课堂典例
● 25％是这三天中恰有两天下雨的概率吗？为什么
事实上，这里我们用随机模拟的方法得到的仅是20次试验中恰有两天下雨的频率或概率的近似值（或估计值）。
● 利用例题中的数据,我们还可以统计出：
　 （1）三天都下雨的概率大概是多少？
　 （2）三天中恰有一天下雨的概率大概是多少？
　 （3）三天中至少有一天下雨的概率大概是多少？
（4）三天中恰好连续两天下雨的概率大概是多少？
10％
35％
70％
10％
966 191 271 932 812 458 569 683 431
257 393 027 556 488 730 113 537 989
课堂典例
一个袋中装有2个红球和3个白球,这些球除颜色不同外没有其他差别,估计从袋中摸出一个球为红球的概率.
下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果,其中 为试验次数， 为摸到红球的频数， 为摸到红球的频率.
0.39
0.416
0.385
0.44
0.45
0.4
0.35
0.6
116
104
77
66
45
20
7
6
300
250
200
150
100
50
20
10
课堂典例
我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法
画出频率折线图，从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到
红球的频率稳定于概率
典型例题
例1.从你所在班级任意选出6名同学，调查他们出生月份，假设出生在一月，二月，…,十二月是等可能的.设事件 A=“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法,模拟20次，估计事件A发生的概率.
解法1. 根据假设，每个人的出生月份在12月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.
因此，可以构建如下有放回的摸球试验进行模拟:在袋子中装入编号为 的12个球，这些球除编号外没有什么差别.有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同，表示事件 发生了.重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件 发生的频率.
典型例题
解法2:利用电子表格模拟试验.在
单元格分别输入 得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验.选中 ,单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到20行，相当于做20次重复试验.统计其中有相同的频率，得到事件A的概率的估计值.
典型例题
例2.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为 0.6 ，乙获胜的概率为 0.4 .
利用计算机模拟试验,估计甲获得冠军的概率.
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
相当于做了20次重复试验.其中事件A发生了13次，对应的数组分别是423 , 123 , 423 , 114 , 332 , 152 , 342 , 512 , 125 , 432 , 334 , 151 ,314，用频率估计事件A的概率的近似值为
解：设事件A=“甲获得冠军”， B=“单局比赛甲胜”，则 .用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1,2或3时，表示一局比赛甲获胜,其概率为0.6.由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组.如产生20组随机数.
课堂小结
频率与概率的关系：
（1）在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性；
（2）概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小；
（3）一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率 会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．