6.2.4向量的数量积 课件(共22张PPT)-人教A版（2019）高中数学必修第二册课件

(共22张PPT)
6.2.4向量的数量积
如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力的方
向与位移的方向的夹角为θ，则力F所做的功为
力所做的功的计算
F
s

┓
功
向量的夹角
已知两个非零向量 ，O是平面上的任意一点，作
，则 叫做向量 与 的夹角。



O
θ
O
θ
B
B
A
A
B
O
O
O
与 同向
与 垂直
与 反向
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
向量数量积的定义：
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为θ，我们把数量叫做 与 的数量积（或内积），记作 ，即
注意：
（1）在书写数量积时， 与 之间用实心圆点“ · ”连接，不能写成“ × ”,更不能不写.
（2）向量的线性运算的结果是向量，但两个向量的数量积却是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度以及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定.
（3）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．
例9 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b.
解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10
解：
例10 设 ，求 与 的夹角 。
向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
探究
当 时， 为正；
当 时， 为零。
当 时， 为负；
投影
如图①，设 是两个非零向量， ，我们考虑如下的变换：过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为A1、B1，得到 ，我们称上述变换为向量 向向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量.












①
②
B1
A1
探究
如图②，设与 方向相同的单位向量为 ， 与
的夹角为 ，那么 与 之间有怎样的关系？
显然， 与 共线，于是






下面探讨 与 的关系，进而给出 的明确表达式。
N
当 为钝角时， 与 方向相反，所以
当 为锐角时， 与 方向相同， ，所以
当 为直角时， ，所以
即
当 时， ，所以
当 时， ，所以
从上面的讨论可知，对于任意的 ，都有
探究1：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
a⊥b a·b＝0
探究: 平面向量数量积的运算性质
当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；
当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱；
a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝ .
探究2：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
探究3：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？
︱a·b︱≤︱a︱︱b︱
探究4：a·b与b·a是什么关系？为什么？
探究5：对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可以转化为哪些运算？
a·b＝b·a
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
A1
B1
A
B
O
C
a
b
c
a＋b
θ
θ1
θ2
探究6：对于向量a，b，c，(a＋b)·c有意义吗？它与a·c＋b·c相等吗？为什么？
探究7：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c有意义吗？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？
(a·b)·c≠a·(b·c)
数量积的运算律
例 11：求证：
（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b
＝a2＋2a·b＋b2.
＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b
＝a·a＋b·a－a·b－b·b
＝a2－b2.
例12
解:
.
.
解:
例13 已知 ，且 与 不共线，当k为
何值时，向量 与 互相垂直？