8.6 线线角、线面角、二面角专题复习 课件(共40张PPT)--人教A版（2019）高中数学必修第二册课件

(共40张PPT)
人教A版高中数学必修第二册
线线角、线面角、二面角
专题复习
知识梳理
第一部分
线线角、线面角
知识梳理
一、线线角的定义与求解
线线角主要是求异面直线所成角。
1、线线角的定义：①定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线 ， ，
把和 所成的锐角或直角叫做异面直线 a、b所成的角(或夹角) ②范围： (0°，90°]
2、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角 的取值范围是 (0°，90°] ，
所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角
3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
知识梳理
二、线面角的定义与求解
1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]
2、垂线法求线面角（也称直接法）：
（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面 做垂线，确定垂足O；
（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
3、公式法求线面角（也称等体积法）：
用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为： ，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长。
知识梳理
第二部分
面面角
知识梳理
一、二面角
1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°]
二、求二面角大小的步骤是：
1、作：找出这个平面角；
2、证：证明这个角是二面角的平面角；
3、求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小．
知识梳理
三、确定二面角的平面角的方法：
1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律
（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，
在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角
2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用
（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角
（2）具体演示：在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
知识梳理
3、垂面法（空间一点垂面法）
（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（2）具体演示：过二面角内一点A作于B，作于C，
面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。
4、射影面积法求二面角
（1）方法：已知平面 内一个多边形的面积为S，它在平面 内的射影图形的面积为S射影，
平面和平面 所成的二面角的大小为θ ，则 .
这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
典型例题
题型一 定义法求二面角
例1 已知三棱锥A BCD的各棱长均为2，求二面角A- CD- B的余弦值．
变式训练
变式训练
变式训练
变式训练
典型例题
题型二 三垂线法求二面角
例2 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的正切值。
变式训练
变式训练
变式训练
变式训练
典型例题
题型三 垂面法求二面角
【例3】在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。
变式训练
变式训练
变式训练
典型例题
题型四 射影面积法求二面角
【例4】如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面，若，，，求二面角的余弦值.
变式训练
变式训练
变式训练
典型例题
题型一 定义法求二面角
变式：设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角。
变式训练
变式训练
变式训练
变式训练
典型例题
题型一 定义法求二面角
典型例题
题型一 定义法求二面角
典型例题
题型一 定义法求二面角
引入新课
平面的斜线、垂线、射影
a
A
P
o
PO是平面α的斜线, O为斜足;
PA是平面α的垂线, A为垂足;
AO是PO在平面α内的射影.
三垂线定理
如果 a α, a⊥AO，那么a与PO的位置关系如何？
思考：
α
引入新课
线面垂直定义
判定定理
线面垂直定义
线面垂直
①
线线垂直
②
线面垂直
③
线线垂直
PO 平面PAO
a⊥PO
③
PA⊥α
a α
①
PA⊥a
AO⊥a
②
a⊥平面PAO
三垂线定理
P
a
A
o
α
如果a α, a⊥AO，那么a ⊥ PO
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
引入新课
2、a与PO可以相交，也可以异面。
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
对三垂线定理的说明：
P
a
A
o
α
PA⊥α于A
AO⊥a
PO∩α= O
a α
a ⊥ PO
三垂线定理
1、三垂线定理描述了PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。
引入新课
P
a
A
o
α
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
想一想：三垂线定理的逆命题该如何叙述？试叙述出，并判断其真假。
在平面内的一条直线，如果和这个平面
的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
三垂线定理
的逆命题
的逆定理
引入新课
小结二面角的平面角的作法：
1.定义法：
根据定义作出来.
2.作垂面：
作与棱垂直的平面与两半平面
的交线得到.
3.应用三垂线定理：
应用三垂线定理或其逆定理作
出来.
o
A
B
o
A
o
A
B
B
引入新课
小结
1. 知识小结
1）二面角及其平面角
2）两个平面互相垂直
2. 思想方法
面面垂直
线线垂直
线面垂直