8.6.2直线与平面垂直 课件(共52张PPT)--人教A版（2019）高中数学必修第二册课件

(共52张PPT)
人教A版高中数学必修第二册
8.6.2 直线与平面垂直
（第一课时）
引入新课
旗杆与地面中的直线的位置关系如何？
思考 1
引入新课
将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？
思考 2
引入新课
一条直线与一平面垂直的特征是什么？
特征：直线垂直于平面内的任意一条直线．
B
A
C
思考 3
引入新课
定义：如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，记作： l ⊥

P
平面 的垂线
直线 l 的垂面
垂足
l
引入新课
画法
α
P
l
P
l
α
反过来，如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线就垂直于平面内的所有直线。
所以，定义也是判定线线垂直常用的方法之一。
·
·
m
n

课堂探究
问题:如何将一张长方形贺卡直立于桌面？由此，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？
猜想：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
新课讲解
线面垂直的判定
判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
作用：判定直线与平面垂直．
直线与平面垂直
直线与直线垂直
思想：
线不在多,重在相交
概念辨析
1. 如果一条直线与平面内的一条直线垂直，这条直线是否与这个平面垂直呢？
⑴这两条是平行直线
2. 如果一条直线和平面内的两条直线都垂直，则这条直线是否垂直于这个平面？
⑵这两条是相交直线
3 . 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
l
α
概念辨析
(1).若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这条直线垂直于三角形所在的平面。( )
(2).若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。( )
(3).若一条直线与一个梯形的两腰垂直，
则这条直线垂直于梯形所在的平面。 ( )
4、如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么,这条直线就与这个平面垂直（ ）
√
×
√
判断下列命题是否正确？
×
典型例题
例1 如图，已知 ，求证
根据直线与平面垂直的定义知
又因为
所以
又
是两条相交直线，
所以
证明：在平面 内作
两条相交直线m，n．
因为直线 ，
典型例题
例2 如图A为△BCD所在平面外一点，AC=AD，BC=BD，E为CD中点，求证：CD⊥面ABE.
A
B
C
D
E
新课讲解
垂直于同一个平面的两条直线平行.
直线和平面垂直的性质定理：
a
b
新课讲解
推论1：如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内所有的直线．
α
β
推论2：垂直于同一条直线的两个平面平行．
典型例题
例3 已知 ,垂足分别为 ，且
求证：(1) 平面 ； (2)
课堂小结
“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。
直线与平面垂直的判定方法
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。
定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则此直线垂直于这个平面.
判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。
课堂探究
例4 如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC ， PB =PD . 求证：PO⊥平面ABCD
C
A
B
D
O
P
典型例题
P
A
B
C
O
例5 如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点,且PA ⊥ AC, PA ⊥ AB,求证：
（1）PA ⊥ BC ；
（2）BC ⊥平面PAC
归纳: 1.要证明线线垂直,往往转化为证明线面垂直,然后用线面垂直的基本性质.
2.要证明线面垂直,只要在该平面内找到两条相交直线与已知直线垂直就行.
课堂探究
例6：在正方体AC1中，求证：
D1B⊥平面ACB1
C1
B
D1
A
C
A1
D
B1
课堂小结
直线与平面
垂直的判定
定义法
间接法
直接法
如果两条
平行直线中的
一条垂直于一
个平面，那么
另一条也垂直
于同一个平面。
如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线
此直线垂直于这个平面
判定定理
如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。
【总一总★成竹在胸】
课堂探究
α
按条件作出下列图形:
(1)任意作一个平面α
与一条直线l，使l⊥α；
α
p
l
(3)已知直线l和点P，过P作直线l的垂面。
(2)已知平面α和点P，过P作平面α的垂线
α
p
l
α
α
p
l
(1) 过空间一点P，有且只有一条直线l与已知平面α垂直。
(2) 过空间一点P，
有且只有一个平面α与已知直线l垂直。
p
l
A
l
结论：
课堂探究
三垂线定理及其逆定理
课堂探究
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
O

a
A
P
已知 ：PO、PA分别是平面 的垂线、斜线，AO是PO在平面 上的射影，a ，a⊥AO.
求证：a⊥PA
思考：“平面内”，这个条件能去掉吗？
课堂小结
小结：
O

a
A
P
定理中需要“一面、四线、三垂直”
三垂线定理的实质是空间两直线垂直的判定定理（思想的转化）
垂线最重要
线射垂直
线斜垂直
典型例题
P
C
B
A
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
证明：∵ P 是平面ABC 外一点
PA⊥平面ABC
∴PC是平面ABC的斜线
∴AC是PC在平面ABC上的射影
∵BC 平面ABC 且AC ⊥ BC
∴由三垂线定理得PC ⊥ BC
课堂探究
线射垂直
线斜垂直
P
A
O
a
α
P
A
O
a
α
平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直
平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直
三垂线定理的逆定理
？
课堂探究
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
A
O
a
α
已知：PA，PO分
别是平面 的垂线和斜
线，AO是PO在平面
的射影,a ,a ⊥PO
求证：a ⊥AO
三垂线定理的逆定理
课堂探究
三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
线射垂直
线斜垂直
定
理
逆
定
理
线射垂直 线斜垂直
定 理
逆定理
课堂练习
⑴ 若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ）
⑷ 若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
则 a⊥b （ ）
⑶ 若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射
影则a⊥b （ ）
⑵ 若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
影，则 a⊥b （ ）
练习：
判断下列命题的真假：
√
×
×
×
A
D
C
B
A1
D1
C1
B1
课堂练习
8.6.2 直线与平面垂直
（第二课时）直线与平面所成的角
课堂探究
前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢？
问题提出
新课讲解
线面角相关概念
如图,若一条直线PA和一个平面α相交，但不垂直，那么这条直线就叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。
P
A
O
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影.
斜线PA与它在平面 内的射影所成的角 PAO ，叫做直线PA 和平面 所成的角.
平面的斜线
斜足A
斜线PA在平面内的射影
平面的垂线
垂足O
课堂探究
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。
2、一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角；
规定:
1、一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角。
一条直线和平面所成角的范围是：0°≤θ≤90°．
P
A
O
斜线和平面所成角的范围是：0°<θ<90°．
课堂探究
例1 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）直线AB1在平面ABCD上的射影
（2）直线AB1在平面BB1C1C上的射影
（3）直线AB1在平面ADD1A1上的射影
（4）直线AB1在平面BB1D1D上的射影
A1
D1
C1
B1
A
D
C
B
直线AB
直线BB1
直线AA1
o
直线B1O
典型例题
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
例2 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求
（1）直线A1B和平面ABCD所成的角。
（2）直线A1B和平面BCC1B1所成的角。
（3）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
O
小结：
一“作”
二“证”
三“计算”
45o
45o
30o
巩固练习
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）直线A1C1与面ABCD所成的角
（2）直线A1C1与面BB1D1D所成的角
（3）直线A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）直线A1C1与面ABC1D1所成的角
0o
90o
45o
E
30o
A1
D1
C1
B1
A
D
C
B
A1
D1
C1
B1
A
D
C
B
A1
D1
C1
B1
A
D
C
B
课堂探究
2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线BD1与平面ADD1A1所成的角的正切值.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
⌒
课堂探究
B
C
D
A
O
（2）求直线AD与面BCD所成的角的余弦值；
（1）求证：顶点A在底面BCD内射影是 △BCD外心；
3.如图，正四面体A-BCD的棱长为a，
（3）E为AD的中点，连接CE,求CE与面BCD所成角的正弦值.
E
F
E
课堂小结
１、垂线、斜线、射影
二、直线和平面所成的角
一、斜线在平面内的射影
１、定义
小　　结
2、求直线和平面所成的角的步骤：
一“作”二“证”三“计算”
三、数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
8.6.2 直线与平面垂直
（第三课时）直线与平面垂直的性质
新课讲解
垂直于同一个平面的两条直线平行.
直线和平面垂直的性质定理：
a
b
作用：证线线平行
新课讲解
推论1：如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内所有的直线．
α
β
推论2：垂直于同一条直线的两个平面平行．
新课讲解
练习1:设a，b为直线，α为平面，若a⊥α，b//α，则a与b的位置关系如何？为什么？
a
b
α
l
推论3：垂直于平面的直线，也垂直于和这个平面平行的直线．
新课讲解
练习2:设l为直线，α，β为平面，若l⊥α，α//β，则l与β的位置关系如何？为什么？
β
l
α
a
b
推论4：两个平行平面中的一个垂直于一条直线，则另一个平面也垂直于这条直线．
课堂练习
1.判断下列命题是否正确：
①平行于同一条直线的两条直线互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
正确的是：①④
典型例题
所以四边形 是矩形
例5 如图，直线 平行于平面 . 求证：直线 上各点到平面 的距离相等。
证明：过直线 上任意两点 分别作平面 的垂线 ，垂足分别为
设直线 确定的平面为
由 是直线 上任取的两点，可知直线 上各点到平面 的距离相等
引入新课
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。
β
α
典型例题
例6 推导棱台的体积公式
其中 分别是棱台的上、下底面积， 是高
解：如图，延长棱台各侧棱交于点 ，得到截得棱台的棱锥。过点 作棱台的下底面的垂线，分别于棱台的上、下底面交于点 ，则 垂直于棱台的上底面，从而
设截得棱台的棱锥的体积为 ，去掉的棱锥的体积为 、高为 ，则 。于是
典型例题
由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且
所以棱台的体积
所以
①
代入① ，得
典型例题
A
D
C
B
A1
B1
C1
D1
例7 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，求证：EF//BD1.
E
F
提示：异面直线的公垂线是指与两条异面直线都垂直的直线.
课堂小结
2.数学思想
转化
空间问题
平面问题
1.知识方法
小 结
①线面垂直的性质定理及其应用
②反证法
垂直关系
平行关系
线面关系
线线关系