9.2.3总体集中趋势的估计 课件(共23张PPT)-人教A版（2019）高中数学必修第二册课件

(共23张PPT)
人教A版高中数学必修第二册
9.2.3总体集中趋势的估计
温故知新
一般地，一组数据的第 p 百分位数是这样一个值， 它使得这组数据中至少 有 p% 的数据小于 或等于这个值，且至少有 (100-p)%的数据大于或等于这个值.
百分位数定义：
备注：
求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．
温故知新
计算一组 n 个数据的第p百分位数的步骤：
第1步，按从小到大排列原始数据;
第2步，计算 i =n×P％;
第3步， ①若 i 不是整数，而大于 i 的比邻整数为 j , 则第p百分位数为第 j 项数据;
②若 i 是整数，则第p百分位数为第 i 项与第 (i +1) 项数据的平均数.
课堂引入
为了了解总体的情况，前面我们研究了如何通过样本的分布规律估计总体的分布规律。但有时候，我们可能不太关心总体的分布规律，而更关注总体取值在某一方面的特征。例如，对于某县今年小麦的收成情况，我们可能会更关注该县今年小麦的总产量或平均每公顷的产量，而不是产量的分布；对于一个国家国民的身高情况，我们可能会更关注身高的平均数或中位数，而不是身高的分布；等等。
在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势。
温故知新
众数、中位数、平均数概念
1、众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数。
2、中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
3、平均数 一组数据的总和除以数据的个数所得的值。
典型例题
例4、利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据,计算样本数据的平均数和中位数,并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0
2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5
2.1 5.7 5.1 61.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9
2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4
3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0
22.2 10.0 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9
5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7
5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3
5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8
7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
假设通过简单随机抽样,获得了100户居民用户的月均用水量数据(单位:t):
典型例题
解：由样本平均数的定义，可得
即100户居民的月均用水量的平均数为8.79t.
由中位数的定义，可得
即100户居民的月均用水量的中位数为6.6t.
因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民的月均用水量约为8.79t，其中位数约为6.6t.
课堂探究
思考：小明用统计软件计算了100 户居民月用水量的平均数和中位数，但录入数据时把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较.哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？
通过计算可以发现：平均数由8.79t变为9.483t，中位数没有变化，还是6.6t.
这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变.因此，与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感。
引入新知
平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关。在下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？
引入新知
一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的（图（1）），那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾” （图（2）），那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾” （图（3）） ，那么平均数小于中位数.也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边.
典型例题
例5.某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示
如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适 试讨论用上表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.
校服规格 155 160 165 170 175 合计
频数 39 64 167 90 26 386
典型例题
解:为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图表示表中的数据(如下图).
由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理.
可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.
引入新课
众数只利用了出现次数最多的那个值的信息.众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多,但并未告诉我们它比别的数值多的程度.因此，众数只能传递数据中的信息的很少的一部分，对极端值也不敏感.
一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数.
提出问题
如何由频率分布直方图估计平均数、众数、中位数？
在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的.此时，通常假设它们在组内均匀分布.
引入新课
样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和.所以样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.
于是平均数的近似值为
这个结果与根据原始数据计算的样本平均数8.79相差不大.
(1)如何估计平均数？
引入新课
根据中位数的意义，在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
因此中位数落在区间 内。
设中位数是 ，由
这个结果与根据原始数据求得的中位数6.6相差不大.
(2)如何估计中位数？
引入新课
在频率分布直方图中，月均用水量在区间 内的居民最多，可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值.
众数常用在描述分类型数据中，众数5.7让我们知道月均用水量在区间 的居民用户最多.这个信息具有实际意义。
(3)如何估计众数？
典型例题
例3　为了解某市参加2018年全国高中数学联赛的学生的考试成绩，现从中选取60名同学，将其成绩(百分制，均为正数)分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图(如图)，回答下列问题．
(1)求分数在[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、中位数、平均数
(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(3)根据评奖规则，排名靠前的10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要多少分？
提出问题
概念辨析
从频率分布直方图中找众数、中位数、平均数
众数： 最高矩形的中点
优点：反映样本数据的最大集合点
缺点：忽视了其他数据，无法客观的反映总体特征
中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等
优点：不受少数几个极端值的影响
缺点：不受少数几个极端值的影响
平均数：直方图的“重心”
优点：和每一个样本数据都有关，可以反映更多的关于样本数据的信息
缺点：离平均数越远的数据对平均数影响越大(可靠性低)
提出问题
以上我们讨论了平均数、中位数和众数等特征量在刻画一组数据的集中趋势时的各自特点。并研究了用样本的特征量估计总体的特征量的方法。需要注意的是，这些特征量有时也会被利用而产生误导。
例如，假设你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，“我们企业员工的年平均收入是20万元”，你该如何理解这句话？
解决问题
这句话是真实的，但它可能描述的是差异巨大的实际情况。
例如，可能这个企业的工资水平普遍较高，也就是员工年收入的中位数、众数和平均数差不多；
也可能是绝大多数员工的年收入较低（如大多数是5万元左右），而少数员工的年收入很高，甚至达到100万元，在这种情况下年收入的平均数就比中位数大很多。
尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均数更合理些，但这个企业的老板为了招揽员工，却用了平均数。
所以，我们强调“用数据说话”，但同时又要防止被数据误导，这就需要掌握更多的统计知识和方法.
课堂小结
把一组数据按大小顺序排列,处在最中间的一个数据(或两个数据的平均数); 从频率分布直方图中估计中位数左右两边的直方图的面积相等.
一组数据中重复出现次数最多的数; 从频率分布直方图中估计众数是最高的矩形的中点.
1.众数
2.中位数
3.平均数
如果有n个数据 那么这n个数的平均数
也可以从频率分布直方图中估计平均数,平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中的横坐标之和.