8.3 列联表与独立性检验 课件(共31张PPT)-数学人教A版（2019）选择性必修第三册

(共31张PPT)
8.3 列联表与独立性检验
新课讲解
学习目标
1.通过实例，理解2×2的统计意义;
2.通过实例了解2×2列联表与独立性检验及其应用;
3.会根据 χ2 的值判断两个分类变量之间关系的强弱
4.核心素养: 数据分析、逻辑推理、数学运算.
探索新知
在现实生活中，人们经常需要回答一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或互相影响的问题.
例如：就读不同学校是否对学生的成绩有影响，不同班级学生用于体育锻炼的时间是都存在区别,吸烟是否会增加患肺癌的风险等。
独立性检验方法
分类变量:用实数表示不同的现象或性质.
如：班级:1、2、3， 男生、女生：0、1.
本节主要讨论取值于{0,1}的分类变量的关联性
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问题1:为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查.全校生的普查数据如下:523名女生中 有331名经常锻炼；601名男生中有473名经常锻炼.你能利用这些数据,说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗
解：
比较经常锻炼的学生在女生和男中的比率.
男生经常锻炼的比率比女生高出15.4个百分点,所以该校的女生
和男生在体育锻炼的经常性方面有差异,而且男生更经常锻炼.
新课讲解
问题1:为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查.全校生的普查数据如下:523名女生中 有331名经常锻炼；601名男生中有473名经常锻.你能利用这些数据,说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗
解：
对于Ω中的每一名学生，分别令
性别对体育锻炼的经常性没有影响：
性别对体育锻炼的经常性有影响：
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问题1:为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查.全校生的普查数据如下:523名女生中 有331名经常锻炼；601名男生中有473名经常锻.你能利用这些数据,说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗
1124
804
320
合计
601
473
128
男生（X=1）
523
331
192
女生（X=0）
经常（Y=1）
不经常（Y=0）
合计
锻炼
性别
在该校的学生中,性别对体育锻炼的经常性有影响,男生更经常性的锻炼.
＞
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在上面问题的两种解答中，使用了学校全部学生的调查数据，利用这些数据能够完全确定解答问题所需的比率和条件概率.然而,对于大多数实际问题，我们无法获得所关心的全部对象的数据，因此无法准确计算出有关的比率或条件概率.在这种情况下，上述古典概型和条件概率的观点为我们提供了一个解决问题的思路.比较简单的做法是利用随机抽样获得一定数量的样本数据，再利用随机事件发生的频率稳定于概率的原理对问题答案作出推断。
新课讲解
2×2列联表的概念
分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
2×2列联表给出成对分类变量数据的交叉分类频数
n=a+b+c+d
b+d
a+c
合计
c+d
d
c
X=1
a+b
b
a
X=0
Y=1
Y=0
合计
Y
X
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
典型例题
例1.为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生. 通过测验得到了如下数据:甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名数学成绩优秀.试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异.
解：用Ω表示两所学校的全体学生构成的集合.考虑以Ω为样本空间的古典概型.对于Ω中每一名学生，定义分类变量X和Y如下：
因此,甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为
乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为
我们可以用等高堆积条形图直观地展示上述计算结果：
通过比较发现,两个学校学生抽样数据中数学成绩优秀的频率存在差异，甲校的频率明显高于乙校的频率.依据频率稳定于概率的原理， 我们可以推断那么甲校学生数学成绩优秀的概率大于乙校学生数学成绩优秀的概率.因此，可以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异，甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高.
88
17
71
合计
45
7
38
乙校（X=1）
43
10
33
甲校（X=0）
优秀（Y=1）
不优秀（Y=0）
合计
数学成绩
学校
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
方法归纳
两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法：
(1)频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大小进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系.
如可以通过列联表中 值的大小粗略地判断分类变量x和Y之间有无关系.一般其值相差越大,分类变量有关系的可能性越大.
(2)图形分析法：与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变 量间是否互相影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征.将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高堆积条形图.
等高堆积条形图可以展示列联表数据的频率特征，能够直观地反映出两个分类变量间是否相互影响.
1.下列关于等高堆积条形图的叙述正确的是(　　)
A．从等高堆积条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系
B．从等高堆积条形图中可以看出两个变量频数的相对大小
C．从等高堆积条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系
D．以上说法都不对
C
2.观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是(　　)
D
巩固练习
y1 y2 总计
x1 a 21 73
x2 2 25 27
总计 b 46
3. 下面是一个2×2列联表：
则表中a、b处的分别为(　　)
A．94,96 B．52,50 C．52,54 D．54,52
C
巩固练习
4.成语“名师出高徒”可以解释为“知名老师指导出高水平学生的概率较大”,即老师的名声与学生的水平之间有关联,你能举出更多的描述生活中两种属性或现象之间关联的成语吗
水涨船高、登高望远
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问题2.你认为“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的？
有可能
“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这个结论是根据两个频率间存在差异推断出来的.有可能出现这种情况：在随机抽取的这个样本中，两个频率间确实存在差异，但两校学生的数学成绩优秀率实际上是没有差别的.对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大.因此，需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算.
独立性检验方法
“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这个结论是根据两个频率间存在差异推断出来的.有可能出现这种情况：在随机抽取的这个样本中，两个频率间确实存在差异，但两校学生的数学成绩优秀率实际上是没有差别的.对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大.因此，需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算.
考虑以Ω为样本空间的古典概型,设X和Y为定义在Ω上,取值于{0,1}的成对分类变量,我们希望判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联。注意到{X=0}和{X=1}, {Y=0}和{Y=1}都是互对立事件,与前面的讨论类似,我们需要判断下面的假定关系H0:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)是否成立,通常称H0为零假设或原假设(null hypothesis).
P(Y=1|X=0)表示从{X=0}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=0,Y=1}的概率;
P(Y=1|X=1)表示从{X=1}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=1,Y=1}的概率。由条件概率的定义可知,零假设H0等价于=
或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0). ①
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考虑以Ω为样本空间的古典概型,设X和Y为定义在Ω上,取值于{0,1}的成对分类变量,我们希望判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联。注意到{X=0}和{X=1}, {Y=0}和{Y=1}都是互对立事件,与前面的讨论类似,
我们需要判断下面的假定关系H0:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)是否成立,通常称H0为零假设或原假设(null hypothesis).
P(Y=1|X=0)表示从{X=0}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=0,Y=1}的概率;
P(Y=1|X=1)表示从{X=1}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=1,Y=1}的概率。由条件概率的定义可知,零假设H0等价于=
或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0). ①
注意到(X=0)和(X=1)为对立事件,于是P(X=0)=1-P(X=1).
再由概率的性质,我们有P(X=0,Y=1)=P(Y=1)-P(X=1,Y=1).
由此推得①式等价于P(X=1)P(Y=1)=P(X=1,Y=1).
因此,零假设H0等价于{X=1}与{Y=1}独立。
根据已经学过的概率知识,下面的四条性质彼此等价:
{X=0}与{Y=0}独立;{X=0}与{Y=1}独立;{X=1}与{Y=0}独立;{X=1}与{Y=1}独立。
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以上性质成立,我们就称分类变量X和Y独立,这相当于下面四个等式成立;
P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0); P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1);
P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0); P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1).
我们可以用概率语言,将零假设改述为H0:分类变量X和Y独立.
假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表,如下表所示。
n=a+b+c+d
b+d
a+c
合计
c+d
d
c
X=1
a+b
b
a
X=0
Y=1
Y=0
合计
Y
X
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
对于随机样本,表中的频数a,b,c,d 都是随机变量,而表中的相应数据是这些随机变量的一次观测结果。
表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表:
最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}的频数;
最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}的频数;
中间的四个数a,b,c,d是事件{X=x,Y=y}(x, y=0,1)的频数;
右下角格中的数n是样本容量。
②
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思考:如何基于②中的四个等式及列联表中的数据,构造适当的统计量,对成对分类变量X和Y是否相互独立作出推断
P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0); P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1);
P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0); P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1).
n=a+b+c+d
b+d
a+c
合计
c+d
d
c
X=1
a+b
b
a
X=0
Y=1
Y=0
合计
Y
X
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
在零假设H0成立的条件下,根据频率稳定于概率的原理,由②中的第一个等式,我们可以用概率P(X=0)和P(Y=0)对应的频率的乘积估计概率P(X=0,Y=0),而把视为事件{X=0.Y=0}发生的频数的期望值(或预期值).
这样,该频数的观测值a和期望值应该比较接近.
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综合②中的四个式子,如果零假设H0成立,下面四个量的取值都不应该太大:
|, |, |, | ③
反之,当这些量的取值较大时,就可以推断H0不成立。
分别考虑③中的四个差的绝对值很困难,我们需要找到一个既合理又能够计算分布的统计量,来推断H0是否成立.
一般来说,若频数的期望值较大,则③中相应的差的绝对值也会较大;
而若频数的期望值较小,则③中相应的差的绝对值也会较小.
为了合理地平衡这种影响,我们将四个差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和,得到如下的统计量:
该表达式可化简为
.
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统计学家建议,用随机变量取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据,当它比较大时推断H0不成立,否则认为H0成立.
那么,究竟大到什么程度,可以推断H0不成立呢 或者说,怎样确定判断大小的标准呢
根据小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律, 可以通过确定一个与H0相矛盾的小概率事件来实现,在假定H0的条件下,对于有放回简单随机抽样,当样本容量n充分大时,统计学家得到了的近似分布,忽略的实际分布与该近似分布的误差后,对于任何小概率值α,可以找到相应的正实数xα,使得下面关系成立:P(≥xα)=α ④
我们称xα为α的临界值,这个临界值就可作为判断大小的标准,概率值α越小,临界值xα越大,当总体很大时,抽样有、无放回对的分布影响较小.因此,在应用中往往不严格要求抽样必须是有放回的.
由④式可知,只要把概率值α取得充分小,在假设H0成立的情况下,事件不大可能发生的.根据这个规律,如果该事件发生,我们就可以推断H0不成立.不过这个推断有可能犯错误,但犯错误的概率不会超过α.
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独立性检验公式及定义 ：
提出零假设(原假设)H0：分类变量X和Y独立
假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，在列联表中，如果零假设H0成立，则应满足 ，即ad-bc≈0.因此|ad bc|越小,说明两个分类变量之间关系越弱;|ad bc|越大，说明两个分类变量之间关系越强.
χ2 =
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于上述分析,我们构造一个随机变量
用χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立。这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
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临界值的定义：
对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(x≥xα)=α成立，我们称xα为α的临界值，这个临界值可作为判断χ2大小的标准，概率值α越小，临界值xα越大.
χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
基于小概率值α的检验规则：
当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
当χ210.828
7.879
6.635
3.841
2.706
xα
0.001
0.005
0.01
0.05
0.1
α
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
新课讲解
例2:依据小概率值α=0.1的χ2独立性检验,分析例1中的抽样数据,能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？
例1.为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取88名学生. 通过测验得到了如下数据:甲校43名学生中有10名数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名数学成绩优秀.试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异.
解: 零假设为H0:分类变量X与Y相互独立,即两校学生的数学成绩优秀率无差异.因为
2 =
χ
＜
计算得到：
根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,
因此可以认为H0成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异.
88
17
71
合计
45
7
38
乙校（X=1）
43
10
33
甲校（X=0）
优秀（Y=1）
不优秀（Y=0）
合计
数学成绩
学校
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
新课讲解
例3:某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名,其中未治愈6名,治愈63名.试根据小概率值α=0.005的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.
解:零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异.
将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，
根据列联表中的数据，经计算得到
2 =
χ
＜
根据小概率值α=0.005的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为 H0成立，即认为两种疗法效果没有差异.
136
115
21
69
63
6
67
52
15
治愈
未治愈
合计
疗效
合计
乙
甲
疗法
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
新课讲解
思考: 若对调两种疗法的位置或对调两种疗效的位置,这
样做会 影响χ2取值的计算结果吗？
2 =
χ
2 =
χ
2 =
χ
不影响
136
115
21
合计
69
63
6
乙
67
52
15
甲
治愈
未治愈
合计
疗效
疗法
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
136
115
21
合计
67
52
15
甲
69
63
6
乙
治愈
未治愈
合计
疗效
疗法
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
136
21
115
合计
69
6
63
乙
67
15
52
甲
未治愈
治愈
合计
疗效
疗法
　
　
　
　
　
　
　
新课讲解
根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.
解：零假设为 H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异.
根据列联表中的数据，经计算得到
2 =
χ
＞
根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，我们推断 H0不成立，即
可以认为两种疗法效果有差异,该推断犯错误的概率不超过0.05.
136
115
21
69
63
6
67
52
15
治愈
未治愈
合计
疗效
合计
乙
甲
疗法
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
新课讲解
根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.
甲种疗法未治愈和治愈的频率分别是
因此可以推断乙种疗法的效果比甲种疗法好
乙种疗法未治愈和治愈的频率分别是
典型例题
例4：为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样，调查了9965人，得到如下结果（单位：人）依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险。
解：零假设为 H0： 吸烟和患肺癌之间没有关系
根据列联表中的数据，经计算的
2 =
χ
＞
根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为吸 烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001，即我们有99.9％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”.
吸烟 肺癌 合计
非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7775 42 7817
吸烟者 2099 49 2148
合计 9874 91 9965
典型例题
根据表中的数据计算不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为
吸烟者中不患肺癌和患肺癌的评率分别为
由
可见，在被调查者中，吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌频率的4倍以上。于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌概率，即吸烟更容易引发肺癌。
方法归纳
应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节;
(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释.
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较.
(3)根据检验规则得出推断结论.
(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.
上述几个环节的内容可以根据不同情况进行调整,
例如,在有些时候，分类变量的抽样数据列联表是问题中给定的.
课堂小结
1.分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
2.独立性检验的一般步骤：
(1)提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释. (2)根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较. (3)根据检验规则得出推断结论. (4)在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率, 分析X和Y间的影响规律.
n=a+b+c+d
b+d
a+c
合计
c+d
d
c
X=1
a+b
b
a
X=0
Y=1
Y=0
合计
Y
X
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
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