6.2.3组合、6.2.4组合数 课件(共33张PPT)-数学人教A版（2019）选择性必修第三册

(共33张PPT)
6.2.3 组合
第一课时
新课引入
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
3
新课引入
从已知的3个不同元素中每次取出2个元素 ,并成一组
问题2
从已知的3 个不同元素中每次取出2个元素 ,按照一定的顺序排成一列.
问题1
排列
组合
有
顺
序
无
顺
序
新课讲解
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关，
而组合则与元素的顺序无关.
组合和排列有什么共同和不同点？
概念辨析
判断下列问题是组合问题还是排列问题
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票
有多少种不同的火车票价？
组合问题
排列问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法
组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法
排列问题
组合问题
组合是选择的结果，排列
是选择后再排序的结果.
新课讲解
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.
组合数:
注意：
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
课堂探究
组合
排列
abc
abd
acd
bcd
abc bac cab
acb bca cba
abd bad dab
adb bda dba
acd cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bdc cdb dcb
你发现了什么
1.（1）写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的排列数。
（2）写出从 a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的组合数。
课堂探究
根据分步计数原理，得到：
因此：
一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ．
第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数 ．
这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式．
新课讲解
组合数公式:
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
典型例题
例1：一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情
典型例题
例2：(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条
新课探究
问题1 计算
猜想
猜想
m
n
m
n
m
n
C
C
C
1
1
＋
－
＝
＋
问题2、一个口袋内装有7个不同的白球和1个黑球．
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，其中含有1个黑球，共有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，没有黑球，共有多少种不同的取法？
新课引入
组合数的两个性质
性质1
m
n
n
m
n
C
C
－
＝
性质2
m
n
m
n
m
n
C
C
C
1
1
＋
－
＝
＋
规定：
1
0
＝
n
C
注: 1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．
2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．
巩固练习
1、计算
2、解方程
4、计算
3、 ＝________
巩固训练
1．方程 的解集为（ ）
2．式子 的值的个数为 （ ）
A ．1 B ．2 C．3 D． 4
3．化简
4．
5、 ＝______________
6、已知 成等差数列，则 _____
7、 ＝_____________
6.2.3 组合
第二课时
典型例题
一、等分组与不等分组问题
例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（1）分成三份，每份两本；
（2）分成三份，一份4本，一份1本，一份1本；
（3）分成三份，一份3本，一份2本，一份1本；
（4）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（5）如果按照4，1，1分给三个同学，问有多少种分法？
（6）分给甲、乙、丙3人，一人3本，一人2本，一人1本；
（7）分给三个同学，每个同学至少有一本，问有多少种分法？
（8）分给5个人，每人至少一本；
（9）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
典型例题
一、等分组与不等分组问题
例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（1）分成三份，每份两本；
分析：每堆两本，分三步完成，
第一步从六本中任取两本作为第一堆，有 种取法，
第二步从剩下的四本中任取两本作为第二堆，有 种取法，
第三步剩下的两本作为第三堆，有 种取法.
据分步乘法原理，分堆方法数是 种.
思考：这样分堆会有重复吗？
典型例题
一、等分组与不等分组问题
例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（1）平均分成三份，每份两本；
思考：这样分堆会有重复吗？
怎么样才能去掉重复的分堆呢？
答：这样分堆会造成重复分堆，例如可以假设这六本书编号为1，2，3，4，5，6号，先取两本，取到3，4作为第一堆，再取5，6两本作为第二堆，剩下1，2作为第三堆，这是一种分堆的方法.
然后第二次分堆时，先取到1，2作为第一堆，再取到5，6作为第二堆，剩下3，4作为第三堆，很显然这种分堆方法跟第一种分堆方法是一样的.而且继续下去，这种分堆方法会重复3次，即 次.
6次只算1次，可以除以 得到，所以六本不同的书，平均分成三堆，
最后的分堆方法数是 种.
典型例题
一、等分组与不等分组问题
分析：例如，可以假设这六本书编号为1，2，3，4，5，6号，先取四本，取到1，2，3，4作为第一堆，再取到5作为第二堆，剩下6作为第三堆，这是一种分堆的方法。然后第二次分堆时，先取到1，2，3，4作为第一堆，再取到6作为第二堆，剩下5作为第三堆，这两种分堆方法是一样的，所以有重复.会重复几次呢？
分析：同样分三步，先取4本，再取1本，剩1本，所以有 种分法.
思考：这样分堆会有重复吗？
怎么样才能去掉重复的分堆呢？
我们观察发现会重复两次，原因是5与6那两堆.按照先5作为一堆后6作为一堆与先6一堆后5作为一堆是一样的分堆方法.1，2，3，4因为个数跟他们个数不一样，所以不会产生重复，所以按照4，1，1分堆，有种分法 .
例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（2）按4，1，1，分成三份；
只剩单个的时候，自动分组；
典型例题
一、等分组与不等分组问题
例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（3）按3，2，1，分成三份；
解：有 种分法.
典型例题
一、等分组与不等分组问题
法1：边取边分，有 种分法.
法2：分析，可以考虑先分组， 再分配给三个同学，所以
有 分法.
例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（4）平均分给甲，乙，丙，三个同学 ；
典型例题
一、等分组与不等分组问题
例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（5）如果按照4，1，1分给三个同学，问有多少种分法？
（6）如果按照3，2，1分给三个同学，问有多少种分法？
（7）分给三个同学，每个同学至少有一本，问有多少种分法？
解：先分组，后分配
解：先分组，后分配
解：可以考虑，先分组，再分配.
分组可以按2，2，2分，4，1，1分，3，2，1分，所以有
典型例题
一、等分组与不等分组问题
例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（8）分给5个人，每人至少一本；
（9）若改为6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
解：先分组，后分配
解：插空法
巩固训练
1.今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法
2.今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法
解: (1)
(2)
典型例题
例2、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）
（A） 种（B） 种 （C） 种 （D） 种
二、不相邻问题插空法
典型问题
三、混合问题，先“组”后“排”
例3 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有： 种可能。
巩固练习
1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.
解：采用先组后排方法:
2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种
解法一：先组队后分校（先分堆后分配）
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
新课引入
四、分类组合,隔板处理
例4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法 这类问可用“隔板法”处理.
解:采用“隔板法” 得:
巩固训练
1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？
典型例题
五、多面手问题
例6、某车间有11名工人，其中钳工5人，车工4人，还有2人既能当钳工也能当车工，现在要从这11名工人中选择4名钳工和4名车工修理一台机床，共有多少种选法
课堂练习
2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。
3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（ ）
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种 。
9
9
C
D
课堂练习
5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形）
（1）其中有多少个矩形？
（2）其中有多少个正方形？