6.3.1二项式定理 课件(共44张PPT)-数学人教A版（2019）选择性必修第三册

(共44张PPT)
6.3.1 二项式定理
新课讲解
(a+b)2
(a+b)3
那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展开后，它们的各项是什么呢？
＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= a2 +2ab+b2
展开下面式子
新课讲解
(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数.
考虑b:
每个都不取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20
恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2
＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
对(a+b)2展开式的分析
a3
以 为例体会组合思想
新课讲解
a2b
a2b
a2b
新课讲解
ab2
ab2
ab2
新课讲解
b3
新课讲解
a3
a2b
ab2
b3
新课讲解
a3
新课讲解
a2b
新课讲解
ab2
新课讲解
b3
新课讲解
新课讲解
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
(1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？
(2)各项前的系数代表着什么？
a4 a3b a2b2 ab3 b4
各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数
问题
新课讲解
每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
则
(a+b)4 ＝C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
(3)你能分析说明各项前的系数吗？
a4 a3b a2b2 ab3 b4
(a+b)n=
新课讲解
二项式定理
每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0
恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1
恰有2个取b的情况有Cn2 种，则an-2b2前的系数为Cn2
......
恰有k个取b的情况有Cnk 种，则an-kbk前的系数为Cnk
......
恰有n个取b的情况有Cnn 种，则bn前的系数为Cnn
新课讲解
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式
Cnk an-kbk：二项展开式的通项，记作Tk+1
Cnk ： 二项式系数
①二项展开式共有n+1项
②各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，
各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止.
如(1+x)n = Cn0 + Cn1 x+ Cn2 x2+ … +Cnk xk +…+ xn
注
二项式定理
典型例题
例1
解：
典型例题
例2
求(1+2x)7的展开式的第4项
第4项的二项式系数
第4项的系数
解
(1+2x)7的展开式的第4项是
T3+1=C73 17-3 (2x)3 =35×23×x3 =280x3
第4项的二项式系数是C73 =35
第4项的系数是280
归纳小结
注：(1)注意对二项式定理的灵活应用
(2)注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数：Cnr；
项的系数：二项式系数与数字系数的积
(3)求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开
典型例题
例3
(1)第4项;
(2)第4项的二项式系数；
(3)第4项的系数；
(4)含x4项的系数；
(5)常数项；
(6)有理项.
求二项展开式的特定项的常见题型：
①求第k项，Tk＝Cnk－1an－k＋1bk－1；
②求含xk的项(或 xpyq 的项)；
③求常数项；
④求有理项．
方法：根据通项Tk＋1＝Cnkan－kbk，建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．
方法归纳
巩固训练
1. 求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解:
（1）(x+a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项
归纳小结
1）注意二项式定理中二项展开式的特征
2）区别二项式系数，项的系数
3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
例4
（1）(2017·卷1) 展开式中x2的系数为( ) A. 15 B. 20 C. 30 D. 35
多项式乘二项式
典型例题
（2）(2014·卷1) 的展开式中 系数为____.
（3）求 的展开式中的 系数。
求多项式乘二项展开式中的特定项的一般方法：
（1）将多项式中的每一项与二项展开式的通项相乘，得到符合要求的项；
（2）将所有符合要求的项加起来．
方法归纳
例5
(x+y+z)9 中含 x4y2z3 的项的系数是_____
三项式问题
典型例题
典型例题
三项式转化为二项式
解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式
再利用二项式定理逐项分析常数项得
例6
例7
(2015·卷1) 的展开式中， 系数为____.
典型例题
巩固训练
________
解：
原式化为
其通项公式为
240
括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二项式.
求三项展开式中的特定项的一般方法：
（1）利用组合原理，分组计算再求和；
（2）将三项式变成二项式，二次展开．
方法归纳
6.3.1 二项式定理
第二课时
温故知新
1.(a+b)n的二项展开式 是_________.
2.通项公式是 _______________.
Tr+1 =
5.在 展开式中的常数项是____
典型例题
例1、计算：
（1）
（2）
新课讲解
分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.
因为 由此分析求解
两式相加
新课讲解
典型例题
求多项式的展开式中特定的项(系数)
例3
的展开式中, 的系数等于___________
解:仔细观察所给已知条件可直接求得 的系
数是
解法2
运用等比数列求和公式得
在 的展开式中,含有 项的系数为
所以 的系数为-20
求复杂的代数式的展开式中某项(某项的系数),可以逐项分析求解,常常对所给代数式进行化简,可以减小计算量
典型例题
求展开式中系数最大(小)的项
解:
设 项是系数最大的项,则
二项式系数最大的项为第11项,即
所以它们的比是
解决系数最大问题，通常设第 项是系数最大的项，则有
由此确定r的取值
方法总结
变式训练
练习 在 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
所以当 时，系数绝对值最大的项为
新课讲解
例5：已知a,b∈N，m,n ∈Z ，且2m + n = 0，如果二项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a : b 的取值范围。
解：
令m (12 – r )+ nr = 0，将 n =﹣2m 代入，解得 r = 4
故T5 为常数项，且系数最大。
变式训练
2. 已知 的第5项的二项式系数与第3 项的二项式系数比为14：3，求展开式中不含x 的项。
3. 已知 的展开式中，第5项的系数与第3 项的系数比为56：3，求展开式中的常数项。
1. 已知 展开式中第2项大于它的相邻两项，求x的范围。
典型例题
例6 若 展开式中前三项系数成等差数列，
求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x 的有理项；
（3）展开式中系数最大的项。
巩固练习
1. 已知 的展开式中x3的系数
为 ，则常数a的值是_______　　
2. 在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（　　　）
A.-297 B.-252 C. 297 D. 207
3. (x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________
4.已知(1+　)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.
本节课你有哪些收获？请做一下总结！
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