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第七章 复数（单元测试）
单元知识清单：
1.复数的除法 2.由纯虚数求参数 3.in的运算规律
4.复数的模、共轭复数的综合 5.复数、虚数、纯虚数的概念理解
6.复数的几何意义 7.复数的综合 8.复数的几何意义、模以及向量的综合
9.复数的简单运算 10.复数相等 11.由实数概念求参数
12.复数的概念、几何意义与运算结合 13. 复数的模与基本运算
14.复数的几何意义与三角函数结合 15.复数的概念与综合运算
16.复数的综合问题 17.复数的概念 18.复数的模与运算
19.复数的四则运算 20.共轭复数与实系数方程
21.复数的模与几何意义（所在象限）
22.复数的概念与几何意义（对应点、向量）的综合
一．选择题（共8道题，每题5分，共40分）
1．若，则复数
A． B． C． D．
【分析】根据题意，利用复数的四则运算法则加以计算，即可得到本题的答案．
【解答】解：因为，所以．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的概念与四则运算法则，考查计算能力，属于基础题．
2．已知复数为纯虚数，则实数的值为
A． B．0 C．1 D．2
【分析】化简后，得到方程与不等式，求出．
【解答】解：因为为纯虚数，
所以，解得．
故选：．
【点评】本题考查了纯虚数的定义，考查转化思想，是基础题．
3．已知复数，则
A．0 B．1 C． D．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：，，
则，
故，
故．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
4．已知复数满足为虚数单位），且，则
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：设，
则，
，
则，即，
则，
，
则，解得，或，，
故或，
．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．
5．设集合 为虚数，为纯虚数，为复数，则，，间的关系为
A． B． C． D．
【分析】根据虚数，纯虚数，复数的定义即可求解．
【解答】解：由题意可知．
故选：．
【点评】本题考查了虚数，纯虚数，复数的定义，属于基础题．
6．设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则
A． B． C．1 D．4
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：在复平面内对应的点位于虚轴上，
则，解得．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
7．设，为虚数单位）为复数，则下列说法正确的是
A．若是纯虚数，则或
B．复数模长的平方值等于复数的平方值
C．若的模长为1，则的最大值为2
D．若，则
【分析】利用复数的概念可判断选项；利用特殊值法可判断选项；利用复数模的三角不等式可判断选项；设，利用复数的模长公式可判断选项．
【解答】解：选项，若是纯虚数，则且，错；
选项，取，则，，则，错；
选项，因为，则，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为2，对；
选项，因为，设，则，
所以，，错．
故选：．
【点评】本题考查复数的概念，考查复数模长的求法，属于中档题．
8．已知为坐标原点，复数，，在复平面内对应的向量分别为，，，若，则
A． B． C． D．
【分析】根据复数与向量的关系结合向量垂直的坐标运算即可解出值，再根据向量的模以及向量除法运算即可得到答案．
【解答】解：复数，，在复平面内对应的向量分别为，
则，
故，因为，所以，解得，
则，所以，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的运算，属中档题．
二．填空题（共4道题，每题5分，共20分）
9．设为虚数单位，则复数 ．
【分析】根据所给的复数，需要分子分母同乘以，再进行化简．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 的幂运算性质，两个复数相除时，需要分子和分母同时除以分母的共轭复数，属基础运算题．
10．是虚数单位，则，则的值为 ．
【分析】利用复数运算法则、复数相等的定义直接求解．
【解答】解：是虚数单位，则，
，
，，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查复数运算法则、复数相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．当复数为实数时，实数 ．
【分析】利用复数的虚部为0，实部有意义，求解即可．
【解答】解：复数为实数时，
可得，解得或（舍去）
故答案为：3．
【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题，注意实部有意义是易错点．
12．已知是复数，，均为实数为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上，则实数的值是 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实数的定义，求出，再结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：设，
为实数，则，解得，
为实数，
则，
，即，
故，
，
复数在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题．
三．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
13．已知复数，，则下列结论中正确的是
A．若，则
B．若，则或
C．若且，则
D．若，则
【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及复数模公式，复数的运算，即可求解．
【解答】解：对于，令，，满足，但，故错误；
对于，，
则，即或，故正确；
对于，且，
则，
，
则，故正确；
对于，，
则，即，
故，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的运算，以及复数模公式，属于基础题．
14．若，则复数在复平面内对应的点可能在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】分与两种情况下得到余弦和正弦值的正负，得到答案．
【解答】解：当时，，，故复数在复平面内对应的点在第三象限，
当时，，，故复数在复平面内对应的点在第四象限．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
15．已知复数，，则
A．的虚部为
B．
C．为纯虚数
D．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数的性质和几何含义，即可求解．
【解答】解：，，
的虚部为，故选项错误，
，故选项正确，
是纯虚数，故选项正确，
，
在复平面内，复数所对应的点为，位于第四象限，故选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的性质和几何含义，属于中档题．
16．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是
A．
B．若，则的最大值为
C．若，则复平面内对应的点位于第二象限
D．若是关于的方程的一个根，则
【分析】设出复数的代数形式计算判断；利用复数的几何意义判断；求出复数判断；利用复数相等求出判断．
【解答】解：对于，设，则，，，错误；
对于，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作该单位圆上的点到点的距离，则距离最大值为，正确；
对于，，则复平面内对应的点位于第二象限，正确；
对于，依题意，，整理得，
而，，因此，解得，，错误．
故选：．
【点评】本题考查复数的模长的应用，考查复数的几何意义，属于中档题．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/9 15:51:58
四．解答题（共6道题，共70分，17题10分，18~22题每题12分）
17．求实数的值或取值范围，使得复数分别是：
（1）纯虚数；
（2）0．
【分析】（1）利用纯虚数的定义，列式计算即得．
（2）利用复数为0的充要条件，列式计算即得．
【解答】解：（1）由复数是纯虚数，且，得，解得，
所以实数的值为．
（2）由复数是0，且，得，解得，
所以实数的值为1．
【点评】本题主要考查复数的概念，属于基础题．
18．已知复数满足．
（1）求；
（2）比较与的大小．
【分析】（1）设，代入化简，再根据复数相等的条件列方程组可求出，，从而可求出复数；
（2）将分别代入计算即可．
【解答】解：（1）设，
则由，得，
即，所以
解得，，
所以；
（2），
，
因为，
所以，
所以．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于中档题．
19．已知复数．
（1）求；
（2）若，求；
（3）若，且是纯虚数，求．
【分析】（1）根据复数的模长公式求解；
（2）根据复数的四则运算法则求解；
（3）设，根据题意得到关于，的方程组，求出，的值即可．
【解答】解：（1）复数，
；
（2）复数，
；
（3）设，
，
①，
又，
，②，
由①②联立，解得或，
或．
【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了复数的模长公式，以及纯虚数的定义，属于基础题．
20．已知复数，为的共轭复数，且．
（1）求的值；
（2）若是关于的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
【分析】（1）结合共轭复数的定义，即可求解；
（2）将代入一元二次方程，再结合复数相等的条件，即可求解．
【解答】解：（1），
则，
由于，得，解得：；
（2）由（1）可知，，
将代入方程可得：，化简整理可得，，
，解得，，
代入一元二次方程中得：，解得，，
故方程另外一个复数根为．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
21．已知，复数，在复平面上对应的点分别为、、，为坐标原点．
（1）求的取值范围；
（2）当、、三点共线时，求三角形的面积．
【分析】（1）由复数模的定义，结合基本不等式即可求出模的取值范围；
（2）首先根据复数的几何意义找出，，三点坐标，根据三点共线求出参数，再解出三角形的面积即可．
【解答】解：（1）因为，，
所以，当且仅当时等号成立，
故的取值范围是，．
（2）由题意有，，三点共线，
，即，解得，
，，即，，
所以，
，
所以
．
【点评】本题考查复数模的计算、基本不等式、三点共线以及求三角形面积等知识，属基础题．
22．已知复数．
（1）若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围；
（2）若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为，，求向量在向量上的投影向量的坐标．
【分析】（1）根据在复平面内的对应点位于第二象限的特征进行求解即可；
（2）根据纯虚数的定义，结合复数的乘方运算法则、投影向量的定义进行求解即可．
【解答】解：（1）在复平面内的对应点为，
因为点位于第二象限，所以，解得，
所以的取值范围为；
（2）因为为纯虚数，所以，解得，
所以，所以，，，
由复数几何意义知：，，
所以，
即向量在向量上的投影向量的坐标为．
【点评】本题考查复数及其几何意义，复数的基本运算，投影向量的概念，属于基础题．
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第七章 复数（单元测试）
一．选择题（共8道题，每题5分，共40分）
1．若，则复数
A． B． C． D．
2．已知复数为纯虚数，则实数的值为
A． B．0 C．1 D．2
3．已知复数，则
A．0 B．1 C． D．
4．已知复数满足为虚数单位），且，则
A． B． C． D．
5．设集合 为虚数，为纯虚数，为复数，则，，间的关系为
A． B． C． D．
6．设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则
A． B． C．1 D．4
7．设，为虚数单位）为复数，则下列说法正确的是
A．若是纯虚数，则或
B．复数模长的平方值等于复数的平方值
C．若的模长为1，则的最大值为2
D．若，则
8．已知为坐标原点，复数，，在复平面内对应的向量分别为，，，若，则
A． B． C． D．
二．填空题（共4道题，每题5分，共20分）
9．设为虚数单位，则复数 ．
10．是虚数单位，则，则的值为 ．
11．当复数为实数时，实数 ．
12．已知是复数，，均为实数为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上，则实数的值是 ．
三．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
13．已知复数，，则下列结论中正确的是
A．若，则
B．若，则或
C．若且，则
D．若，则
14．若，则复数在复平面内对应的点可能在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．已知复数，，则
A．的虚部为
B．
C．为纯虚数
D．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限
16．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是
A．
B．若，则的最大值为
C．若，则复平面内对应的点位于第二象限
D．若是关于的方程的一个根，则
四．解答题（共6道题，共70分，17题10分，18~22题每题12分）
17．求实数的值或取值范围，使得复数分别是：
（1）纯虚数；
（2）0．
18．已知复数满足．
（1）求；
（2）比较与的大小．
19．已知复数．
（1）求；
（2）若，求；
（3）若，且是纯虚数，求．
20．已知复数，为的共轭复数，且．
（1）求的值；
（2）若是关于的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
21．已知，复数，在复平面上对应的点分别为、、，为坐标原点．
（1）求的取值范围；
（2）当、、三点共线时，求三角形的面积．
22．已知复数．
（1）若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围；
（2）若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为，，求向量在向量上的投影向量的坐标．
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