8 数学广角——找次品（讲义）-2023-2024学年五年级下册数学人教版
文档属性
| 名称 | 8 数学广角——找次品（讲义）-2023-2024学年五年级下册数学人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 23.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-18 15:24:30 | ||
图片预览
文档简介
五年级下册数学“数学广角——找次品”讲义
一、基础知识讲解
在日常生活和工业生产中，我们经常需要对一批产品进行检查，以找出其中的次品。这类问题在数学上通常被称为“找次品”问题。解决这类问题的关键是运用逻辑推理和数学方法，以最少的检测次数找出次品。
解决找次品问题的一般步骤是：
明确问题：了解产品的总数、次品的数量以及检测的条件。
制定策略：根据问题的特点，确定检测的顺序和方法。
执行检测：按照制定的策略进行检测，并记录结果。
分析结果：根据检测结果，分析并确定次品的位置。
在解决找次品问题时，常用的数学方法包括分组法、称重法等。这些方法需要根据具体问题的特点进行选择和应用。
二、例题解析
例1：有9个外观完全相同的乒乓球，其中一个是次品（次品较轻），现在有一架天平，你最少称几次一定能找出这个次品乒乓球？
解析：我们可以将9个乒乓球分为三组，每组3个。
第一次称重：选择两组各3个的乒乓球进行称重。
情况A：如果两边平衡，说明这6个乒乓球都是正常的，次品乒乓球一定在未被称重的那组3个里。
情况B：如果两边不平衡，说明次品乒乓球一定在较轻的那组3个里。
第二次称重：从第一次称重确定的那组3个乒乓球中任取2个进行称重。
情况A：如果两边平衡，说明这两个乒乓球都是正常的，次品乒乓球就是未被称重的那个。
情况B：如果两边不平衡，较轻的那个就是次品乒乓球。
因此，最少称2次一定能找出这个次品乒乓球。
例2：有12瓶矿泉水，其中有一瓶是次品（次品较重），现在有一架天平，你最少称几次一定能找出这个次品矿泉水？
解析：首先，我们可以将12瓶矿泉水分为三组，每组4瓶。
第一次称重：选择两组各4瓶的矿泉水进行称重。
情况A：如果两边平衡，说明这8瓶矿泉水都是正常的，次品矿泉水一定在未被称重的那组4瓶里。
情况B：如果两边不平衡，说明次品矿泉水一定在较重的那组4瓶里。
第二次称重：从第一次称重确定的那组4瓶矿泉水中再分为三组，分别为1瓶、1瓶、2瓶，将两组各1瓶的矿泉水进行称重。
情况A：如果两边平衡，说明这两瓶矿泉水都是正常的，次品矿泉水一定在剩下的那组2瓶里。
情况B：如果两边不平衡，较重的那一瓶就是次品矿泉水。
第三次称重（仅当第二次称重后次品在剩下的2瓶中时）：将剩下的2瓶矿泉水进行称重，较重的那瓶就是次品矿泉水。
因此，最少称3次一定能找出这个次品矿泉水。
三、表格汇总
以下是关于找次品问题的一些常见策略和方法的表格汇总：
表1：找次品问题常用策略
策略 描述 适用情况
分组法 将产品分成若干组进行称重比较 产品数量较多，且可以分组进行称重时
称重法 使用天平对产品进行称重，比较重量差异 次品与正常产品在重量上有明显差异时
逻辑推理法 根据已知信息进行逻辑推理，确定次品的位置 问题条件复杂，需要综合运用多种信息时
表2：找次品问题示例
示例编号 产品总数 次品数量 次品特征 称重次数 策略
1 9个乒乓球 1个 较轻 2次 分组法+称重法
2 12瓶矿泉水 1瓶 较重 3次 分组法+称重法
四、考法技法提炼
明确问题条件：在解决找次品问题时，首先要明确产品的总数、次品的数量以及次品的特征（如轻重、颜色等）。这些信息是制定检测策略的基础。
制定合理策略：根据问题的条件，制定合理的检测策略。一般来说，分组法和称重法是解决找次品问题的常用方法。在实际应用中，可以根据问题的特点灵活运用这两种方法。
注意逻辑推理：在解决找次品问题时，逻辑推理是非常重要的。通过逻辑推理，我们可以根据已知信息推断出未知信息，从而更快地找出次品。
总结规律：在解决多个找次品问题后，可以总结规律，以便在遇到类似问题时能够更快地找到解决方法。
五、易错题解析
例3：有27盒外观相同的巧克力，其中有一盒少了两块，如果用天平称，至少称几次可以找出少两块巧克力的那盒？
错误解法：有的学生可能会直接将27盒巧克力分为三组，每组9盒进行称重。然而，这样并不能在第一次称重中直接找出少两块巧克力的那盒，因为即使确定了哪一组较轻，也还需要进一步称重来找出具体的那一盒。
正确解法：首先，将27盒巧克力分为三组，每组9盒。第一次称重，选择两组各9盒的巧克力进行称重。确定出较轻的那一组后，再将这9盒巧克力分为三组，每组3盒。第二次称重，选择两组各3盒的巧克力进行称重。最后，将确定出的较轻的那组3盒巧克力中的任意两盒进行称重，如果平衡，则剩下的一盒就是少了两块巧克力的；如果不平衡，较轻的一盒就是目标。因此，至少称3次可以找出少两块巧克力的那盒。
易错点：未考虑到在确定了较轻的一组后，还需要进一步细分并进行称重。
六、针对练习
有15个零件，其中一个是次品（次品较轻），用天平至少称几次可以保证找出次品？请写出你的称重策略。
有28袋食盐，其中一袋是不合格的（不合格的那袋较轻），现在有一架天平，你至少称几次一定能找出这袋不合格的食盐？请说明你的称重步骤。
有一个外形完全相同的钢珠，其中有一个是空心的（比其他的轻），现有无砝码的天平一架，最少称几次能找出这个空心钢珠？
答案及解析
1.【答案】
至少称3次可以保证找出次品。
称重策略：首先，将15个零件分为三组，每组5个。第一次称重，选择两组各5个的零件进行称重。如果平衡，则次品在未被称重的那组5个里；如果不平衡，则次品在较轻的那组5个里。然后，将确定的那组5个零件再次分为三组，分别为2个、2个、1个。第二次称重，选择两组各2个的零件进行称重。如果平衡，则剩下的那1个零件就是次品；如果不平衡，则次品在较轻的那组2个里。最后，将确定的那组2个零件进行第三次称重，较轻的那个就是次品。
2.【答案】
至少称3次一定能找出这袋不合格的食盐。
称重步骤：首先，将28袋食盐分为三组，分别为9袋、9袋、10袋。第一次称重，选择两组各9袋的食盐进行称重。如果平衡，则不合格的食盐在未被称重的那组10袋里；如果不平衡，则不合格的食盐在较轻的那组9袋里。然后，根据第一次称重的结果，将确定的那组食盐再次分组并称重，直到找出不合格的食盐为止。
3.【答案】
最少称2次能找出这个空心钢珠。
首先，将钢珠分为三组，每组数量尽可能相等。如果总数是奇数，则有一组会比其他两组少一个。进行第一次称重，选择两组数量相同的钢珠进行称重。如果平衡，则空心钢珠在未被称重的那组中；如果不平衡，则空心钢珠在较轻的那组中。然后，从确定的那组钢珠中任选两个进行第二次称重，如果平衡，则剩下的那个就是空心钢珠；如果不平衡，则较轻的那个就是空心钢珠。
总结：解决找次品问题时，关键是要根据产品的数量和次品的特征制定合理的称重策略。通过分组和逐步缩小范围的方法，可以有效地找出次品。同时，要注意逻辑推理的运用，以便更快地确定次品的位置。
一、基础知识讲解
在日常生活和工业生产中，我们经常需要对一批产品进行检查，以找出其中的次品。这类问题在数学上通常被称为“找次品”问题。解决这类问题的关键是运用逻辑推理和数学方法，以最少的检测次数找出次品。
解决找次品问题的一般步骤是：
明确问题：了解产品的总数、次品的数量以及检测的条件。
制定策略：根据问题的特点，确定检测的顺序和方法。
执行检测：按照制定的策略进行检测，并记录结果。
分析结果：根据检测结果，分析并确定次品的位置。
在解决找次品问题时，常用的数学方法包括分组法、称重法等。这些方法需要根据具体问题的特点进行选择和应用。
二、例题解析
例1：有9个外观完全相同的乒乓球，其中一个是次品（次品较轻），现在有一架天平，你最少称几次一定能找出这个次品乒乓球？
解析：我们可以将9个乒乓球分为三组，每组3个。
第一次称重：选择两组各3个的乒乓球进行称重。
情况A：如果两边平衡，说明这6个乒乓球都是正常的，次品乒乓球一定在未被称重的那组3个里。
情况B：如果两边不平衡，说明次品乒乓球一定在较轻的那组3个里。
第二次称重：从第一次称重确定的那组3个乒乓球中任取2个进行称重。
情况A：如果两边平衡，说明这两个乒乓球都是正常的，次品乒乓球就是未被称重的那个。
情况B：如果两边不平衡，较轻的那个就是次品乒乓球。
因此，最少称2次一定能找出这个次品乒乓球。
例2：有12瓶矿泉水，其中有一瓶是次品（次品较重），现在有一架天平，你最少称几次一定能找出这个次品矿泉水？
解析：首先，我们可以将12瓶矿泉水分为三组，每组4瓶。
第一次称重：选择两组各4瓶的矿泉水进行称重。
情况A：如果两边平衡，说明这8瓶矿泉水都是正常的，次品矿泉水一定在未被称重的那组4瓶里。
情况B：如果两边不平衡，说明次品矿泉水一定在较重的那组4瓶里。
第二次称重：从第一次称重确定的那组4瓶矿泉水中再分为三组，分别为1瓶、1瓶、2瓶，将两组各1瓶的矿泉水进行称重。
情况A：如果两边平衡，说明这两瓶矿泉水都是正常的，次品矿泉水一定在剩下的那组2瓶里。
情况B：如果两边不平衡，较重的那一瓶就是次品矿泉水。
第三次称重（仅当第二次称重后次品在剩下的2瓶中时）：将剩下的2瓶矿泉水进行称重，较重的那瓶就是次品矿泉水。
因此，最少称3次一定能找出这个次品矿泉水。
三、表格汇总
以下是关于找次品问题的一些常见策略和方法的表格汇总：
表1：找次品问题常用策略
策略 描述 适用情况
分组法 将产品分成若干组进行称重比较 产品数量较多，且可以分组进行称重时
称重法 使用天平对产品进行称重，比较重量差异 次品与正常产品在重量上有明显差异时
逻辑推理法 根据已知信息进行逻辑推理，确定次品的位置 问题条件复杂，需要综合运用多种信息时
表2：找次品问题示例
示例编号 产品总数 次品数量 次品特征 称重次数 策略
1 9个乒乓球 1个 较轻 2次 分组法+称重法
2 12瓶矿泉水 1瓶 较重 3次 分组法+称重法
四、考法技法提炼
明确问题条件：在解决找次品问题时，首先要明确产品的总数、次品的数量以及次品的特征（如轻重、颜色等）。这些信息是制定检测策略的基础。
制定合理策略：根据问题的条件，制定合理的检测策略。一般来说，分组法和称重法是解决找次品问题的常用方法。在实际应用中，可以根据问题的特点灵活运用这两种方法。
注意逻辑推理：在解决找次品问题时，逻辑推理是非常重要的。通过逻辑推理，我们可以根据已知信息推断出未知信息，从而更快地找出次品。
总结规律：在解决多个找次品问题后，可以总结规律，以便在遇到类似问题时能够更快地找到解决方法。
五、易错题解析
例3：有27盒外观相同的巧克力，其中有一盒少了两块，如果用天平称，至少称几次可以找出少两块巧克力的那盒？
错误解法：有的学生可能会直接将27盒巧克力分为三组，每组9盒进行称重。然而，这样并不能在第一次称重中直接找出少两块巧克力的那盒，因为即使确定了哪一组较轻，也还需要进一步称重来找出具体的那一盒。
正确解法：首先，将27盒巧克力分为三组，每组9盒。第一次称重，选择两组各9盒的巧克力进行称重。确定出较轻的那一组后，再将这9盒巧克力分为三组，每组3盒。第二次称重，选择两组各3盒的巧克力进行称重。最后，将确定出的较轻的那组3盒巧克力中的任意两盒进行称重，如果平衡，则剩下的一盒就是少了两块巧克力的；如果不平衡，较轻的一盒就是目标。因此，至少称3次可以找出少两块巧克力的那盒。
易错点：未考虑到在确定了较轻的一组后，还需要进一步细分并进行称重。
六、针对练习
有15个零件，其中一个是次品（次品较轻），用天平至少称几次可以保证找出次品？请写出你的称重策略。
有28袋食盐，其中一袋是不合格的（不合格的那袋较轻），现在有一架天平，你至少称几次一定能找出这袋不合格的食盐？请说明你的称重步骤。
有一个外形完全相同的钢珠，其中有一个是空心的（比其他的轻），现有无砝码的天平一架，最少称几次能找出这个空心钢珠？
答案及解析
1.【答案】
至少称3次可以保证找出次品。
称重策略：首先，将15个零件分为三组，每组5个。第一次称重，选择两组各5个的零件进行称重。如果平衡，则次品在未被称重的那组5个里；如果不平衡，则次品在较轻的那组5个里。然后，将确定的那组5个零件再次分为三组，分别为2个、2个、1个。第二次称重，选择两组各2个的零件进行称重。如果平衡，则剩下的那1个零件就是次品；如果不平衡，则次品在较轻的那组2个里。最后，将确定的那组2个零件进行第三次称重，较轻的那个就是次品。
2.【答案】
至少称3次一定能找出这袋不合格的食盐。
称重步骤：首先，将28袋食盐分为三组，分别为9袋、9袋、10袋。第一次称重，选择两组各9袋的食盐进行称重。如果平衡，则不合格的食盐在未被称重的那组10袋里；如果不平衡，则不合格的食盐在较轻的那组9袋里。然后，根据第一次称重的结果，将确定的那组食盐再次分组并称重，直到找出不合格的食盐为止。
3.【答案】
最少称2次能找出这个空心钢珠。
首先，将钢珠分为三组，每组数量尽可能相等。如果总数是奇数，则有一组会比其他两组少一个。进行第一次称重，选择两组数量相同的钢珠进行称重。如果平衡，则空心钢珠在未被称重的那组中；如果不平衡，则空心钢珠在较轻的那组中。然后，从确定的那组钢珠中任选两个进行第二次称重，如果平衡，则剩下的那个就是空心钢珠；如果不平衡，则较轻的那个就是空心钢珠。
总结：解决找次品问题时，关键是要根据产品的数量和次品的特征制定合理的称重策略。通过分组和逐步缩小范围的方法，可以有效地找出次品。同时，要注意逻辑推理的运用，以便更快地确定次品的位置。