黑龙江省大庆实验中学实验二部2023-2024学年高二下学期开学考试 数学（解析版）

大庆实验中学实验二部2022级高（二）下学期开学考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设不同的直线，若，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 4
2. 某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（ ）
A. 28 B. 30 C. 32 D. 36
3. 已知，则＝ （　　）
A. B.
C. D.
4. 设是公差不为0的等差数列，成等比数列，则（ ）
A. 3 B. C. D. 2
5. 一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中三个红色，两个绿色，一个黄色．若从中任取两个小球，则下列说法错误的是（ ）
A. 恰有一个红球的概率为
B. 两个球都是红球的概率为
C. “至少一个黄球”和“两个都是红球”为互斥事件
D. “至少一个绿球”和“至多一个绿球”为对立事件
6. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（ ）
A. B. 2 C. D. 3
8. “”表示实数整除实数，例如：，已知数列满足：，若，则，否则，那么下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 对任意，都有 D. 存
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 直方图中的值为0.030
B. 估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分
C. 估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为90分
D. 估计该市普法知识竞赛成绩众数为95分
10. 已知等差数列的前项和为，公差.若，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 若函数在处取得极值，则（ ）
A.
B. 为定值
C. 当时，有且仅有一个极大值
D. 若有两个极值点，则是的极小值点
12. 已知双曲线的左焦点为，直线经过左焦点与双曲线的左支分别交于两点，点是右支上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当直线存在斜率时，则
B. 线段的最小值为2
C. 的面积
D. 当点的纵坐标为1时，的垂心一定满足
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若圆关于直线对称，则______．
14. 某居民小区有两个相互独立安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则 _______.
15. 谢尔宾斯基三角形由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出一种分形，它是按照如下规则得到的：在等边三角形中，连接三边的中点，得到四个小三角形，然后去掉中间的那个小三角形，最后对余下的三个小三角形重复上述操作，便可获得谢尔宾斯基三角形.记操作次后，该三角中白色三角形的个数为，则_______，若黑色三角形个数为，则_______.
16. 已知对任意实数都有，且，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设数列满足，等比数列满足，.
（1）求、的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18 已知函数（）．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值．
19. 某学校为举办庆祝建党100周年演讲比赛活动，需要2名同学担任主持人．经过初选有甲、乙、丙、丁、戊5名同学进入了最后的主持人选拔．
（1）若这5名同学通过选拔的可能性相同，求甲和乙都通过选拔的概率；
（2）已知甲、乙、丙是男生，丁、戊是女生，要求主持人为一男一女，男生和女生分成两组分别选拔．若每个男生通过选拔的可能性相同，每个女生通过选拔的可能性也相同，求男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率．
20. 已知数列的前项和为，，给出以下三个命题：
①；②是等差数列；③
（1）从三个命题中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并进行证明；
（2）利用（1）中的条件，证明数列的前项和.
21. 已知函数.
（1）若，且与函数的图象相切，求的值；
（2）若对成立，求实数的取值范围.
22. 已知椭圆经过，且离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于四个点，若该两条直线的斜率分别为，且，求的面积；
（3）如图，在（2）的条件下，椭圆上一点，位于之间，求四边形面积的最大值.
大庆实验中学实验二部2022级高（二）下学期开学考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设不同的直线，若，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由直线平行的性质列方程求解即可.
【详解】由题意，解得，经检验，符合题意.
故选：D.
2. 某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（ ）
A. 28 B. 30 C. 32 D. 36
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽样比即可求解.
【详解】由题意可知抽取到的男性职工人数为，女性职工人数为，
则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多．
故选：A
3. 已知，则＝ （　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由导数的运算法则验算即可.
【详解】由题意.
故选：C.
4. 设是公差不为0的等差数列，成等比数列，则（ ）
A. 3 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，运算可得，再根据等差数列通项可求得得解.
【详解】设等差数列的公差为，，由题意可得，
即，解得，又，
，则，，
.
故选：B.
5. 一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中三个红色，两个绿色，一个黄色．若从中任取两个小球，则下列说法错误的是（ ）
A. 恰有一个红球的概率为
B. 两个球都是红球的概率为
C. “至少一个黄球”和“两个都是红球”为互斥事件
D. “至少一个绿球”和“至多一个绿球”为对立事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据古典概型，分别计算样本空间和事件空间，再根据相关定义逐项分析.
【详解】从6个球中任取2个球共有种取法，
设三个红球记为1，2，3，两个绿球记为，，一个黄球记为，
记事件A为恰有一个红球，
，即，A正确；
记事件B为两个球都是红球，，，B正确；
记事件为至少一个是黄球，表示2个球中有1个是黄球，另一个是红球或绿球，
2个球都是红球，则不可能包含黄球，即C和B不可能同时发生，是互斥事件，C正确；
记事件为至少一个绿球，则D包含恰有1个绿球， 记事件为至多一个绿球， 则E也包含恰有1个绿球，
所以，所以“至少一个绿球”和“至多一个绿球”不是对立事件，D错误；
故选：D．
6. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数导数与函数单调性的关系将问题转化为恒成立问题，构造函数，利用导数求得的最大值，从而得解.
【详解】因为，则，
由题意知在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
令，，所以，
因为，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以，则，即的取值范围是.
故选：C.
7. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的定义可得动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1，由点到直线的距离公式计算可得选项.
【详解】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则，
所以动点到的距离等于到的距离加1，即动点到的距离等于.
所以动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1，
即其最小值.
故选：D
8. “”表示实数整除实数，例如：，已知数列满足：，若，则，否则，那么下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 对任意，都有 D. 存在
【答案】C
【解析】
【分析】根据递推关系可计算，，故可判断AB的正误，利用数学归纳法可证：除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数，故可判断CD的正误.
【详解】因为，故，故，
而，故，故A错误.
但，故，此时，故B错误.
下面用数学归纳法证明：除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数.
当时，，此时除3余1，除3余2，
且，为奇数，为偶数.
设当时，除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数.
则当时，为奇数，为偶数，
为奇数，
又与除3余数相同，故除3余1，故除3余2，
故除3余2，
由数学归纳法可得除3余1，除3余2，且，奇数，为偶数.
故除3余1，除3余2，故除3余0，即，
故C正确.
由C的分析可得没有项使得，否则除以3的余数为0，故D错误.
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于给定的数列的递推关系，要研究数列的若干性质，注意从而特殊情况总结出一般规律，再 利用数学归纳法证明即可.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 直方图中的值为0.030
B. 估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分
C. 估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为90分
D. 估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分
【答案】AD
【解析】
【分析】根据直方图面积为1可判断A，再根据直方图中平均数、中位数与众数的求法判断BCD.
【详解】对A，，故，解得，故A正确；
对B，该市普法知识竞赛成绩的平均数为，故B错误；
对C，由表可得小于90分的人数频率，故竞赛成绩中位数不为90，故C错误；
对D，由表可得估计该市普法知识竞赛成绩的众数为分，故D正确；
故选：AD
10. 已知等差数列的前项和为，公差.若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知得到等差数列的首项一定为正数，且公差小于零，然后利用条件逐一判断即可.
【详解】若，即等差数列前项和达到最大，
则等差数列的首项一定为正数，且公差小于零，故A错误，B正确；
又，故C错误，
，
，D正确；
故选：BD.
11. 若函数在处取得极值，则（ ）
A.
B. 为定值
C. 当时，有且仅有一个极大值
D. 若有两个极值点，则是极小值点
【答案】ABC
【解析】
【分析】求导，由题意可知，是方程的一个变号实数根，则，即可判断A；由判断 B；当时，可得，当时，当时，即可判断C；将代入整理得，则方程有不相等的实数根与，分类讨论，结合极值点的定义可判断D.
【详解】的定义域为，则，
，
由题意可知，是方程的一个变号实数根，
则，故A正确；
由得，，故B正确；
当时，因为，
所以函数开口向下，且与轴正半轴只有一个交点，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则有且仅有一个极大值，故C正确；
将代入整理得，
则方程有不相等的实数根与，即，
当时，时，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则是的极大值点，是的极小值点，
当时，时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则是的极大值点，是的极小值点，故D错误，
故选：ABC.
12. 已知双曲线的左焦点为，直线经过左焦点与双曲线的左支分别交于两点，点是右支上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当直线存在斜率时，则
B. 线段的最小值为2
C. 的面积
D. 当点的纵坐标为1时，的垂心一定满足
【答案】BCD
【解析】
【分析】取特值说明判断A；设直线方程，与双曲线方程联立求出弦长及面积的最小值判断BC；求出垂心的位置判断D.
【详解】双曲线的左焦点为，
对于A，当或时，直线与双曲线的渐近线之一平行，直线与只有一个交点，
因此，A错误；
对于B，显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，由消去得：
，显然，设，
则，即，则，
，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，由选项B知，，点到直线的距离，
因此的面积
，当且仅当时取等号，
（函数对单调递减，函数对单调递增），
因此的面积，C正确；
对于D，令点是双曲线上任意一点，有
将向量绕原点逆时针旋转得，点，
则，于是，
因此，即双曲线绕原点逆时针旋转后得双曲线，
令是双曲线上任意三点，为的垂心，
则，而，
，，
于是，解得，因此，
即的垂心在双曲线上，从而双曲线上任意三点构造的三角形垂心仍在双曲线上，
所以当点的纵坐标为1时，的垂心一定满足，即，D正确.
故选：BCD
【点睛】结论点睛：等轴双曲线上任意三点构造的三角形垂心仍在该双曲线上.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若圆关于直线对称，则______．
【答案】
【解析】
【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值.
【详解】圆的圆心为，由题意可知，圆心在直线上，
则，解得，当时，此时方程表示圆，满足题意.
故答案为：.
14. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则 _______.
【答案】
【解析】
【分析】利用独立事件同时发生的概率求解.
【详解】由题意得，解得.
故答案为：
15. 谢尔宾斯基三角形由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的一种分形，它是按照如下规则得到的：在等边三角形中，连接三边的中点，得到四个小三角形，然后去掉中间的那个小三角形，最后对余下的三个小三角形重复上述操作，便可获得谢尔宾斯基三角形.记操作次后，该三角中白色三角形的个数为，则_______，若黑色三角形个数为，则_______.
【答案】 ①. ②. .
【解析】
【分析】根据题设条件可得两个数列的递推关系，故可求.
【详解】由题设每次操作，前一个图形中的每一个白色三角形均可以得到下一个图形中的3个小白色三角形，故，
而，故为等比数列，故，则，
而每一个图形中的黑色三角形是前个图形中的黑色三角形与白色三角形截得的小黑色三角形构成，
故，而，
故，
而也符合该式，故.
故答案为：，.
16. 已知对任意实数都有，且，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】由题设中导数与原函数的关系可求得，利用导数讨论其符号后可得其图象，结合图象可求参数的取值范围.
【详解】设，则，
故即即，
而，故，所以，故，
当时，，当，，
故在上单调递减，在上单调递增，，
而时，，时，，
令，则的图象如图所示，
因为不等式的解集中恰有两个整数，且，
故结合图象可得即，故
故答案为：.
【点睛】方法点睛：不等式的整数解个数问题，应利用导数刻画函数的单调性后刻画函数的图象，结合不同图象的位置求出参数的取值范围.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设数列满足，等比数列满足，.
（1）求、的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由可求得数列的通项公式，求出等比数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【小问1详解】
解：当时，，
当时，，
也满足，
所以，对任意的，.
设等比数列的公比为，则，所以，，
因此，.
【小问2详解】
解：因为，
所以，，
，
两式相减：
，
于是.
18. 已知函数（）．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）
（2）单调递减区间为，单调递增区间为，
极大值为，没有极小值.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，
（2）对函数求导，由导数的正负来判断函数的单调区间，从而可求出函数的极值
【小问1详解】
，
，
，而，
，
曲线在点处的切线方程为.．
【小问2详解】
由（1）知（）
易得时，，函数在上单调递减，
当时，， 函数在上单调递增，
所以函数（）的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以函数（）在处取得极大值，没有极小值.
19. 某学校为举办庆祝建党100周年演讲比赛活动，需要2名同学担任主持人．经过初选有甲、乙、丙、丁、戊5名同学进入了最后的主持人选拔．
（1）若这5名同学通过选拔的可能性相同，求甲和乙都通过选拔的概率；
（2）已知甲、乙、丙是男生，丁、戊是女生，要求主持人为一男一女，男生和女生分成两组分别选拔．若每个男生通过选拔的可能性相同，每个女生通过选拔的可能性也相同，求男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据古典概型，计算出基本事件和所求事件的种类即可；
（2）理解“男生甲女生丁至少有一人通过选拔”所表达的含义，
即是或者是甲通过丁不通过，或是丁通过甲不通过，或者是二者都通过，
分别计算每种情形的概率相加即可.
【小问1详解】
可知从5人中选出2人的样本空间为
甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、 乙丁、乙戊、丙丁、丙戊、丁戊，
共10个基本事件，
记事件“甲和乙都通过选拔”，则甲乙，
由古典概型公式知．
【小问2详解】
记“男生甲通过选拔”，“女生丁通过选拔”，
“男生甲和女生丁至少有一人通过选拔”．
易知B、C是相互独立事件，
又可知，
由古典概型知，
所以
即男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率是；
综上，甲乙都通过的概率为 ，男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率是.
20. 已知数列的前项和为，，给出以下三个命题：
①；②是等差数列；③
（1）从三个命题中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并进行证明；
（2）利用（1）中的条件，证明数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由①②作为条件，求出等差数列的通项公及前项和，即可求证③成立；
由①③作为条件，根据，得出
及联立，即可求出数列的通项公式，根据等差数列定义即可证明②成立.
由②③作为条件，设等差数列的公差，用表示等差数列通项公及前项和，代入
，求出等差数列的公差，进而求出等差数列的通项公式，即可证明①成立；
（2）由（1）求出等差数列通项公，进而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消求出进行放缩
证明即可.
【小问1详解】
（1）将①②作为条件，③作为结论；
设等差数列的公差为，则由得，，解得，
因为，所以等差数列的通项公式为.所以，
所以，
又因为，
所以，即证；所以③成立；
将①③作为条件，②作为结论；
由及，得，
联立，解得，所以，
所以，
所以数列是以首项为，公差为1的等差数列. 所以②成立；
将②③作为条件，①作为结论；
设等差数列的公差为，则，，
由，得，
解得，所以等差数列的通项公式为.
所以，即证，所以①成立；
小问2详解】
由（1）知，，
所以，
因为数列的前项和为，
所以
，
当时，，，
所以，
即证数列的前项和.
21. 已知函数.
（1）若，且与函数的图象相切，求的值；
（2）若对成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切点横坐标即可得解.
（2）根据给定条件构造函数，按，分类讨论求解.
【小问1详解】
函数，求导得，
设直线与函数的图象相切的切点横坐标为，于是，
而，，解得，又，解得，
所以.
【小问2详解】
依题意，对恒成立，
设，显然，恒成立，
当时，，不符合题意，
当时，求导得，
由得，函数在上单调递减，
由得，函数在上单调递增，则，
于是，解得，因此；
所以所求实数的取值范围是.
22. 已知椭圆经过，且离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于四个点，若该两条直线的斜率分别为，且，求的面积；
（3）如图，在（2）的条件下，椭圆上一点，位于之间，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题设可得关于基本量的方程组，求出后可得标准方程.
（2）设，则可得的面积为，再根据点在椭圆上和可求，故可求面积.
（3）利用三角换元结合（2）的面积公式可得，利用同角的三角函数基本关系和基本不等式可求最大值.
小问1详解】
由题设由，解得，
故椭圆标准方程为：.
【小问2详解】
设，
因为，故的斜率存在且不为零，所以，
故即，故到的距离为，
故的面积为，
而，故，故，
故，故，
故，故.
【小问3详解】
设，不失一般性，设在第一象限，在第二象限，
由（2）的面积公式可得：，
设，，，
由可得，故，
故，
故
，
而
，
故，
可取使得等号成立，此时在之间，
故的最大值为.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系中，当我们考虑定值问题或最值问题时，可联立直线方程和椭圆方程，把目标表示为与斜率或截距有关的代数式，利用函数方法或基本不等式求解定点或最值，也可以利用三角换元把目标表示为与角有关的代数式，从而可得定值或最值.