2023-2024学年第二学期甘肃省武威市凉州区清水镇九年制学校九年级数学第二十七章《相似》单元测试卷(含答案)

2023-2024学年第二学期甘肃省武威市凉州区清水镇九年制学校
九年级数学第二十七章《相似》单元测试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，连接CD，若∠ACD=2∠B，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF.将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时，则 为（　　）
A． B．2 C． D．4
4．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． = B． = C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
5． 如图所示，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为a∶b，则等于（　　）
A．1∶6 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶2
6． 如图所示，在△ABC中，AB=AC=4，BC=2，以AB为直径的☉O分别交AC，BC于点D，E，连接ED，则CD的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（　　）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
8．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高CP=1.2 m，在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4 m，通过测量知道BC的距离为1.5 m，则路灯AB的高度是（　　）
A．3 m B．3.6 m C．4.5 m D．6 m
10．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D． ：
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为100，则较小多边形的面积是　 　．
12．已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D'＝2：4，AB＝2，则A'B'＝　 　.
13．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，若AB＝3，BC＝5，则的值为　 　.
14． 如图所示，在矩形ABCD中，AD=8，AE⊥BD，垂足为E，ED=4BE，则AE的长为　 　.
15．如图所示，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶AD=2∶3，则△ABC与△DEF的周长比是　 　.
16．如图，在 ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于　 　．
17． 如图， 在 中， 是 B C 边上一点且满足 是 A C 边上一点且满足 ， 连接 B E 交 A D 于点 ， 则 　 　.
18．如图，与位似，位似中心是点O，则，的面积为3，则的面积是　 　．
三、作图题（共6分）
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣4）.
⑴画出△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△AB1C1；
⑵以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2∶1；
⑶若P（a，b）是△ABC边AB上任意一点，通过（2）的位似变换后，点P的对应点为P2，请写出点P2的坐标.
四、解答题（共60分）
20．（6分）如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
21．（6分）已知，如图， = = ，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？
22．（6分）如图所示，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE=∠B，点F在AD上，且AD2=AF·AB.求证：
（1）=；
（2）△AEF∽△ACD.
23．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC.
24．（8分）如图所示，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD.
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC∶S△DEC=4∶9，BC=6，求CE的长.
25．（8分）如图所示，∠C＝90°，BC＝8cm，cosA＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？
26.（8分）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
27.（10分）已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点处，使三角板绕点旋转.
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）若，点是边的中点，连结，与交于点，当三角板的边与边重合时（如图2），若，求的长.
答案
1-10 ABAAB BADCA
11．20 12． 13． 14．　　 15．2∶5 16． 17． 18．12
19．解：(1)如图所示，△AB1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；
(3)由于点P的坐标为（a，b），
根据题意得：点P2的坐标为（－2a，－2b）.
20．证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°.
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.
∴AE＝EG＝FG＝AF，
即四边形AFGE为正方形．
∴ ＝ ＝ ＝ ，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似
21．解：∵ = = ，
∴△ABC∽△DBE，
∴∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC，
即∠ABD=∠CBE，
∵ = ，
∴ = ，
∴△ABD∽△CBE
22．（1）解：∵∠ADE=∠B，
∴DE∥BC.
∴ =.
（2）证明：∵AD2=AF·AB，
∴ =.
由(1)，得 =.
∴ =.
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACD.
23．解：（1）证明： ∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC．
∴BD=CD，
∴D是BC的中点；
（2）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴△BEC∽△ADC；
24．（1）证明：∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE.
∴∠ACB=∠DCE.
∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEC.
（2）解：∵△ABC∽△DEC，
∴ =()2=.
∴ =.
∵BC=6，∴CE=9.
25．解：∵∠C＝90°，cosA＝3︰5，
∴ ，
∵BC＝8cm，
∴ ， ，
∵点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，设运动时间为t秒，则有： ，
∴ ，
①当 时，则 ，
∴ ，即 ，
解得： ，
②当 时，则 ，
∴ ，即 ，
解得： ；
综上所述：当运动时间为 s或 s时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似.
26．解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，
∴8米高旗杆DE的影子为：12m，
∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，
∴GH=12﹣3﹣1=8（m），
∴GM=MH=4m．
如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．
设小桥所在圆的半径为r，
∵MN=2m，
∴OM=（r﹣2）m．
在Rt△OGM中，由勾股定理得：
∴OG2=OM2+42，
∴r2=（r﹣2）2+16，
解得：r=5，
答：小桥所在圆的半径为5m．
27.（1）解： ，
在正方形 和等腰直角三角形 中，
， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：设 ，
∵
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，即
∴ 为直角三角形，
∴
∴
（3）解：∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ .