铁人中学23级高一下学期开学考试 数学 试题 考试时间： 年 月 日
铁人中学23级高一下学期开学考试
数学试题
试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若，，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
2. 函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
3. 设，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为 B. 图象关于点成中心对称
C. 在区间上单调递增 D. 图象关于直线成轴对称
5. 已知，则（ ）
A． B． C．1 D．
6．已知，，，，则，，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7．已知函数的定义域为，且，若，
则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数是减函数
8．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）
9．已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增
10. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若函数，且，则
B. 为偶函数，则的图象关于对称
C. 若函数与图象的任意连续三个交点构成边长为4的等边三角形，则正实数
D. 若，函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是
11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
第Ⅱ卷 非选择题部分
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分。）
12．已知集合，若，则的最小值为______．
13．函数的值域是______．
14. 已知，，且，
则的最大值为______．
三、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本小题13分）
已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）求不等式的解集；
（3）当为何值时，关于的方程在内的实根最多？最多有几个？
（直接给出答案即可，无需说明理由）
16．（本小题15分）
设 .
（1）求的值及的单调递增区间；
（2）若，，求 的值.
17．（本小题15分）
已知函数（且）．
（1）求的定义域；
（2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的范围；
（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．
18．（本小题17分）
在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦：.
（是自然对数的底数，）
（1）解方程：；
（2）求不等式：的解集；
（3）若对任意的 ，关于的方程 有解，求实数取值范围.
19．（本小题17分）
已知函数，.
（1）若的值域为，求满足条件的整数的值；
（2）若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，
，求的取值范围.
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)铁人中学2023级高一下学期开学考试 数学 试题 考试时间： 年 月 日
铁人中学23级高一下学期开学考试
数学试题（含答案）
试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】因函数在上单调递增，则，
而，当时，，可能是负数或者是，即或可能没有意义，所以“”是
“”的必要不充分条件.
2. 函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数是连续增函数，
因为，，可得，
所以函数的其中一个零点所在的区间是.
3. 设，则的最小值为（ ）
A. B. 7 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号，故选：B
4. 下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为 B. 图像关于点成中心对称
C. 在区间上单调递增 D. 图像关于直线成轴对称
【答案】B
【解析】函数，
当时，，所以图象关于点成中心对称，选项B正确；
函数的最小正周期为，所以A错误；
当时，，所以函数在上单调递减，所以C错误；
正切函数不是轴对称函数，所以D错误．
5. 已知，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由题，
得，
则或，
因为，所以，
.
6．已知，，，，则 ，，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即，
函数在单调递增，并且有，
则，
于是得，即，则，
又函数在单调递增，且，则有，
所以.故选：C
7．已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数是减函数
【答案】C
【解析】令、，则有，
又，故，即，
令、，则有，
即，由，可得，
又，故，故A正确；
令，则有，即，
故函数是奇函数，
有，即，即函数是减函数，
令，有，故B正确、C错误、D正确.
8．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知：或
∴或∴或
∵在上单调递减，∴∴
①当时，取知此时，当时，
满足在上单调递减，∴符合
取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合
当时，，舍去，当时，也舍去
②当时，取知此时，当时，
，此时在上单调递增，舍去
当时，，舍去，当时，也舍去
综上：或2，.
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）
9．已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增
【答案】BC
【解析】由题意，
所以的最小正周期，A错误；
当时，所以的图象关于直线对称，B正确；
当时，所以的图象关于点对称，C正确；
当时，，所以在上不具有单调性，D错误；
10. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若函数，且，则
B. 为偶函数，则的图象关于对称
C. 若函数与图像的任意连续三个交点构成边长为4的等边三角形，则正实数
D. 若，函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是
【答案】BC
【解析】对于A，因为，则，又，则，故A错误。对于B，由为偶函数，可得，所以，则的图象关于对称，故B正确；
对于C，作出函数与的图像，设两图像任意相邻的三个交点分别为A，B，C，如图所示．
由题意可知△ABC为等边三角形，且AC＝4，
所以函数的最小正周期T＝AC＝4.
因为|ω|＝＝＝，且ω为正实数，所以ω＝.
对于D，当时，，
因为，函数在区间上单调递减，
所以，所以，即，
当时，，
因为，在区间上存在零点，
所以，解，综上：.
11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】由可得，解得.
作出函数的图象如下图所示：
由图象可得，
由，可得，即，得，A选项正确；
令，解得，
当时，令，解得，由于，，
所以，函数的图象关于直线对称，
则点、关于直线对称，可得，B选项错误；
，C选项正确；
，下面证明函数在上为减函数，
任取、且，则，
，则，，所以，，
所以，函数在上为减函数，
，则，D选项正确.
第Ⅱ卷 非选择题部分
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分。）
12．已知集合，若，则的最小值为______．
【答案】
【解析】由，故， 由，得，
故有，即，即， 即的最小值为.
13．函数的值域是______．
【答案】
14. 已知，，且，则的最大值为______．
【答案】
【解析】由，
且，，可得.
因为函数，均在上单调递增，所以函数在上单调递增，
所以，所以.设，其中，
则
，
当时等号成立，且此时，所以.
又函数在上单调递减，在上单调递增，
，所以当时，，
所以当，时，则的最大值为.
三、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．本小题分
已知函数.
（1）求函数的值域.
（2）求不等式的解集.
（3）当为何值时，关于的方程在内的实根最多？最多有几个？
（直接给出答案即可，无需说明理由）
【解析】
（1）因为，
所以当时，，当时，，
所以函数的值域为.
（2）因为，所以，则 ，
所以，得的解集为.
（3）当时，方程在内的实根最多，最多有5个.
16．本小题分
设.
（1）求的值及的单调递增区间；
（2）若，，求的值.
【解析】函数
（1）令，则，
令，，
解得：，，
则函数的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，
因为，所以，则，
则
.
17．本小题分
已知函数（且）．
（1）求的定义域；
（2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的范围；
（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．
【解析】
（1）由，得或．的定义域为；
（2）令，
因函数在上单调递减，则在上为增函数，
又，在上为减函数；
函数在有且只有一个零点，
即在上有且只有一个解，
函数在上的值域为，的范围是．
（3）假设存在这样的实数，使得当的定义域为时，值域为，
由且，可得．
又由（2）知在上为增函数，在上为减函数．
则在上为减函数，得．
即在上有两个互异实根，
因，即，有两个大于3的相异零点．
则．
由此，的取值范围是.
18．本小题分
在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦：.
（是自然对数的底数，）
（1）解方程：；
（2）求不等式：的解集；
（3）若对任意的 ，关于的方程 有解，求实数取值范围.
【解析】
（1），故所求解为.
（2）因为，恒成立，故是奇函数；
又因为在上的严格增，在上的严格减，故是上的严格增函数，
所以，
即所求解集为.
（3）因为是上的严格增函数，所以当时，成立；
又因为，等号成立当且仅当，
而当时，，
所以函数的值域为，
所以若关于的方程有解，
只需对任意关于都成立，
故只需，即.
19．本小题分
已知函数，.
（1）若的值域为，求满足条件的整数的值；
（2）若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，
，求的取值范围.
【解析】
（1）因为函数的值域为，所以函数的值域包含，
，
当时，，其值域为，不满足条件，
当时，令，则函数的对称轴为，
当时，，即的值域为，
所以，解得，
当时，，则函数的值域为，
即函数的值域为，不满足条件，
综上所述，，所以满足条件的整数的值为；
（2）因为函数是定义域为的奇函数，
所以，即，解得或，
由函数不是常数函数，所以，经检验，符合题意，所以，即，
由，，，
得，，，
只要即可，
当时，，
所以函数，则，
，
令，因为，所以，
函数，
当时，，
则时，恒成立，符合题意；
当时，函数的对称轴为，
当时，则时，恒成立，符合题意；
当，即时，
则时，，所以，不等式组无解；
当，即时，
则时，恒成立，符合题意；
当，即时，
则时，，所以，解得，
综上所述，的取值范围为.
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铁人中学2023级高一下学期开学考试
数学答题卡 17.
考场/座位号：
姓名： 准考证号
班级：
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
注意事项 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]
1．答题前，请将姓名、班级、考
[2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2]
场、准考证号填写清楚。
2．客观题答题必须使用2B铅笔填 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3]
涂，修改时用橡皮擦干净。 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 16.
3．主观题使用黑色笔书写。
4．必须在题号对应的答题区内作 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5]
答，超出答题区书写无效。 [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6]
5．保持答卷清洁、完整。
[7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7]
正确填涂 缺考标记 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8]
[9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9]
客观题(1~8为单选题;9~11为多选题)
1 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]
填空题
12. 13.
14.
解答题
15.
18. 19.
