13.1 课时2 三角形中角的关系 课时作业（含答案） 2023-2024学年数学沪科版八年级上册
文档属性
| 名称 | 13.1 课时2 三角形中角的关系 课时作业（含答案） 2023-2024学年数学沪科版八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 168.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-18 17:04:47 | ||
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文档简介
13.1 课时2 三角形中角的关系
【练基础】
必备知识1 判断三角形的形状
1.图中的三角形被木板遮住了一部分,这个三角形是 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上都有可能
必备知识2 三角形按角分类
2.在△ABC中,∠A比∠B大100°,则△ABC的形状是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法判断
3.一个三角形三个内角的度数之比为3∶4∶5,则这个三角形一定是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
必备知识3 三角形的内角和
4.如图,这是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=100°,∠B=40°,则这块三角形木板另外一个角∠C的度数为 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
5.一副三角板拼成如图所示图形,则∠BAC的度数为 ( )
A.75° B.60° C.105° D.120°
6.在△ABC中,若∠A=30°,∠B=50°,则∠C= .
7.如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠BAC=65°,则∠APB= .
8.如图,在Rt△ABE中,∠AEB=90°,C为AE延长线上的一点,D为AB边上的一点,DC交BE于点F,若∠ADC=80°,∠B=30°,求∠C的度数.
必备知识4 借助方程求三角形的角
9.在△ABC中,∠B=3∠A,∠C=2∠B,则∠B的度数为 ( )
A.18° B.36° C.54° D.90°
10.在△ABC中,∠B+∠C=2∠A,∠A∶∠B=4∶5,求三角形中各角的度数.
必备知识5 直角三角形的判定
11.下列选项中,不能确定△ABC是直角三角形的是 ( )
A.∠A+∠B=90°
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.∠A-∠B=∠C
D.∠A-∠B=90°
【练能力】
12.如图,CE是△ADC的边AD上的高.若∠BAD=40°,∠ECD=25°,则∠B的度数为 ( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
13.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,DE∥BC.
(1)求∠AED的度数.
(2)点F在直线AB上,连接EF,若△AEF为直角三角形,则∠DEF的度数为 .
14.在一个三角形中,如果一个角是另一个角的3倍,这样的三角形我们称之为“智慧三角形”.如三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“智慧三角形”.
如图,∠MON=60°,在射线OM上取一点A,过点A作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C.
(1)∠ABO的度数为 °,△AOB (填“是”或“不是”)智慧三角形.
(2)当△ABC为“智慧三角形”时,求∠OAC的度数.
【练素养】
15.已知线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB.
(1)如图1,运用三角形内角和定理说明:∠A+∠D=∠B+∠C.
(2)如图2,∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E,并且与AB、CD分别相交于点M、N,∠A=28°,∠C=32°,求∠E的度数.
(3)如图3,∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E,并且与AB、CD分别相交于点M、N,∠CDE=∠ADC,∠CBE=∠ABC,试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系,并说明理由.
参考答案
基础演练
1.D 2.C 3.A 4.B 5.A 6.100° 7.115°
8.【解析】∵在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∠B=30°,∴∠A=90°-∠B=60°.
∵在△ADC中,∠A=60°,∠ADC=80°,
∴∠C=180°-60°-80°=40°.
9.C
10.【解析】设∠A=4x,∠B=5x,
则∠C=180°-4x-5x=180°-9x.
∵∠B+∠C=2∠A,
∴5x+180°-9x=2×4x,解得x=15°,
∴∠A=4×15°=60°,∠B=5×15°=75°,∠C=180°-60°-75°=45°.
综上所述,三角形中各角的度数为∠A=60°,∠B=75°,∠C=45°.
11.D 12.B
13.【解析】
(1)∵∠A=60°,∠B=40°,
∴∠C=180°-60°-40°=80°.
∵DE∥BC,
∴∠AED=∠C=80°.
(2)10°或50°.
提示:分两种情况,
①如图1,当∠AEF=90°时,
∴∠DEF=90°-80°=10°;
②如图2,当∠AFE=90°时.
∵∠A=60°,
∴∠AEF=30°,
∴∠DEF=80°-30°=50°.
综上所述,∠DEF的度数为10°或50°.
14.【解析】(1)30;是.
(2)∵△ABC为“智慧三角形”,当点C在线段OB上时,∠ABO=30°,
∴∠BAC+∠BCA=150°,∠ACB>60°,∠BAC<90°.
①当∠ABC=3∠BAC时,∠BAC=10°,
∴∠OAC=80°;
②当∠ABC=3∠ACB时,∠ACB=10°,
∴此种情况不存在;
③当∠BCA=3∠BAC时,∠BAC+3∠BAC=150°,
∴∠BAC=37.5°,
∴∠OAC=52.5°;
④当∠BCA=3∠ABC时,∠BCA=90°,
∴∠BAC=60°,
∴∠OAC=90°-60°=30°;
⑤当∠BAC=3∠ABC时,∠BAC=90°,
∴此种情况不成立;
⑥当∠BAC=3∠ACB时,3∠ACB+∠ACB=150°,
∴∠ACB=37.5°,
∴此种情况不存在.
综上所述,当△ABC为“智慧三角形”时,∠OAC的度数为80°或52.5°或30°.
素养通关
15.【解析】(1)∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC,
∴∠A+∠D=∠C+∠B.
(2)∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E,
∴∠ADE=∠CDE,∠ABE=∠CBE.
由(1)可得∠A+∠ADE=∠E+∠ABE,∠C+∠CBE=∠E+∠CDE,
∴∠A+∠C=2∠E.
∵∠A=28°,∠C=32°,
∴∠E=30°.
(3)∠A+2∠C=3∠E.
理由:∵∠CDE=∠ADC,∠CBE=∠ABC,
∴∠ADE=2∠CDE,∠ABE=2∠CBE.
由(1)可得∠A+∠ADE=∠E+∠ABE,∠C+∠CBE=∠E+∠CDE,
∴2∠C+2∠CBE=2∠E+2∠CDE,
∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE=3∠E+∠ABE+2∠CDE,
即∠A+2∠C=3∠E.
2
【练基础】
必备知识1 判断三角形的形状
1.图中的三角形被木板遮住了一部分,这个三角形是 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上都有可能
必备知识2 三角形按角分类
2.在△ABC中,∠A比∠B大100°,则△ABC的形状是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法判断
3.一个三角形三个内角的度数之比为3∶4∶5,则这个三角形一定是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
必备知识3 三角形的内角和
4.如图,这是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=100°,∠B=40°,则这块三角形木板另外一个角∠C的度数为 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
5.一副三角板拼成如图所示图形,则∠BAC的度数为 ( )
A.75° B.60° C.105° D.120°
6.在△ABC中,若∠A=30°,∠B=50°,则∠C= .
7.如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠BAC=65°,则∠APB= .
8.如图,在Rt△ABE中,∠AEB=90°,C为AE延长线上的一点,D为AB边上的一点,DC交BE于点F,若∠ADC=80°,∠B=30°,求∠C的度数.
必备知识4 借助方程求三角形的角
9.在△ABC中,∠B=3∠A,∠C=2∠B,则∠B的度数为 ( )
A.18° B.36° C.54° D.90°
10.在△ABC中,∠B+∠C=2∠A,∠A∶∠B=4∶5,求三角形中各角的度数.
必备知识5 直角三角形的判定
11.下列选项中,不能确定△ABC是直角三角形的是 ( )
A.∠A+∠B=90°
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.∠A-∠B=∠C
D.∠A-∠B=90°
【练能力】
12.如图,CE是△ADC的边AD上的高.若∠BAD=40°,∠ECD=25°,则∠B的度数为 ( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
13.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,DE∥BC.
(1)求∠AED的度数.
(2)点F在直线AB上,连接EF,若△AEF为直角三角形,则∠DEF的度数为 .
14.在一个三角形中,如果一个角是另一个角的3倍,这样的三角形我们称之为“智慧三角形”.如三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“智慧三角形”.
如图,∠MON=60°,在射线OM上取一点A,过点A作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C.
(1)∠ABO的度数为 °,△AOB (填“是”或“不是”)智慧三角形.
(2)当△ABC为“智慧三角形”时,求∠OAC的度数.
【练素养】
15.已知线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB.
(1)如图1,运用三角形内角和定理说明:∠A+∠D=∠B+∠C.
(2)如图2,∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E,并且与AB、CD分别相交于点M、N,∠A=28°,∠C=32°,求∠E的度数.
(3)如图3,∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E,并且与AB、CD分别相交于点M、N,∠CDE=∠ADC,∠CBE=∠ABC,试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系,并说明理由.
参考答案
基础演练
1.D 2.C 3.A 4.B 5.A 6.100° 7.115°
8.【解析】∵在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∠B=30°,∴∠A=90°-∠B=60°.
∵在△ADC中,∠A=60°,∠ADC=80°,
∴∠C=180°-60°-80°=40°.
9.C
10.【解析】设∠A=4x,∠B=5x,
则∠C=180°-4x-5x=180°-9x.
∵∠B+∠C=2∠A,
∴5x+180°-9x=2×4x,解得x=15°,
∴∠A=4×15°=60°,∠B=5×15°=75°,∠C=180°-60°-75°=45°.
综上所述,三角形中各角的度数为∠A=60°,∠B=75°,∠C=45°.
11.D 12.B
13.【解析】
(1)∵∠A=60°,∠B=40°,
∴∠C=180°-60°-40°=80°.
∵DE∥BC,
∴∠AED=∠C=80°.
(2)10°或50°.
提示:分两种情况,
①如图1,当∠AEF=90°时,
∴∠DEF=90°-80°=10°;
②如图2,当∠AFE=90°时.
∵∠A=60°,
∴∠AEF=30°,
∴∠DEF=80°-30°=50°.
综上所述,∠DEF的度数为10°或50°.
14.【解析】(1)30;是.
(2)∵△ABC为“智慧三角形”,当点C在线段OB上时,∠ABO=30°,
∴∠BAC+∠BCA=150°,∠ACB>60°,∠BAC<90°.
①当∠ABC=3∠BAC时,∠BAC=10°,
∴∠OAC=80°;
②当∠ABC=3∠ACB时,∠ACB=10°,
∴此种情况不存在;
③当∠BCA=3∠BAC时,∠BAC+3∠BAC=150°,
∴∠BAC=37.5°,
∴∠OAC=52.5°;
④当∠BCA=3∠ABC时,∠BCA=90°,
∴∠BAC=60°,
∴∠OAC=90°-60°=30°;
⑤当∠BAC=3∠ABC时,∠BAC=90°,
∴此种情况不成立;
⑥当∠BAC=3∠ACB时,3∠ACB+∠ACB=150°,
∴∠ACB=37.5°,
∴此种情况不存在.
综上所述,当△ABC为“智慧三角形”时,∠OAC的度数为80°或52.5°或30°.
素养通关
15.【解析】(1)∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC,
∴∠A+∠D=∠C+∠B.
(2)∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E,
∴∠ADE=∠CDE,∠ABE=∠CBE.
由(1)可得∠A+∠ADE=∠E+∠ABE,∠C+∠CBE=∠E+∠CDE,
∴∠A+∠C=2∠E.
∵∠A=28°,∠C=32°,
∴∠E=30°.
(3)∠A+2∠C=3∠E.
理由:∵∠CDE=∠ADC,∠CBE=∠ABC,
∴∠ADE=2∠CDE,∠ABE=2∠CBE.
由(1)可得∠A+∠ADE=∠E+∠ABE,∠C+∠CBE=∠E+∠CDE,
∴2∠C+2∠CBE=2∠E+2∠CDE,
∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE=3∠E+∠ABE+2∠CDE,
即∠A+2∠C=3∠E.
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