13.2 课时2 定理与证明 课时作业（含答案） 2023-2024学年数学沪科版八年级上册

13.2 课时2 定理与证明
【练基础】
必备知识1 基本事实和定理
1.下列命题不是基本事实的是 ( )
A.两点之间,线段最短
B.过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等
D.同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
2.下列各语句属于定理的是 ( )
A.三角形三条中线相交于一点,这一点叫做三角形的重心
B.过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
C.若∠A,∠B都是锐角,则∠A+∠B<180°
D.内错角相等,两直线平行
3.命题“直角三角形的两个锐角互余”是 ( )
A.角的定义 B.假命题
C.基本事实 D.定理
必备知识2 推理与证明
4.某同学的作业如下框,其中※处填的依据是 ( )
如图,已知直线l1,l2,l3,l4.若∠1=∠2,则∠3=∠4. 请完成下面的说理过程. 解:已知∠1=∠2, 根据(内错角相等,两直线平行),得l1∥l2. 再根据(※),得∠3=∠4.
A.两直线平行,内错角相等
B.内错角相等,两直线平行
C.两直线平行,同位角相等
D.两直线平行,同旁内角互补
5.如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠1.请说明AD平分∠BAC的理由.下面是部分推理过程,请你将其补充完整:
∵AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G(已知),
∴∠ADC=∠EGC=90°(　 　),
∴AD∥EG(同位角相等,两直线平行),
∴∠1=∠2(　 　),
∠E=∠3(　 　).
又∵∠E=∠1(　 　),
∴∠2=∠3(　 　),
∴AD平分∠BAC(　 　).
必备知识3 证明简单的几何问题
6.如图,下列结论不正确的是 ( )
A.若∠2=∠C,则AE∥CD
B.若AD∥BC,则∠1=∠B
C.若AE∥CD,则∠1+∠3=180°
D.若∠1=∠2,则AD∥BC
7.完成下面的证明.
已知:如图,∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°.求证:AB∥EF.
证明:∵∠1+∠2=180°,
∴AB∥　 　(　 　).
∵∠3+∠4=180°,
∴　 　∥　 　,
∴AB∥EF(　 　).
8.如图,直线AB、CD相交于点O,∠EOC=90°,OF是∠AOE的平分线,∠COF=34°,求∠BOD的度数.
9.如图,已知∠ADE=∠B,∠1+∠2=180°,CD⊥AB.求证:GF⊥AB.
必备知识4 推理求值
10.如图,直线EF分别与直线AB,CD相交于点G,H,已知∠1=∠2=50°,GM平分∠HGB交直线CD于点M,则∠GMD= ( )
A.120° B.115° C.130° D.110°
11.如图,在四边形ABCD中,∠C+∠D=180°,∠A比∠B大40°,则∠B=　 　.
12.【宣城期末】如图,已知EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°,求∠AGD的度数.
【练能力】
13.如图,OA⊥OC,OB⊥OD,证明∠AOB=∠COD的理论依据是 ( )
A.垂直的定义
B.同角的补角相等
C.同角的余角相等
D.角平分线的定义
14.已知:如图,AB⊥BC,DC⊥BC,∠1=∠2.
求证:BE∥CF.
现有下列步骤:①∵∠2=∠1;②∴∠ABC=∠BCD=90°;③∴BE∥CF;④∵AB⊥BC,DC⊥BC;⑤∴∠EBC=∠FCB.
那么正确的证明顺序是 ( )
A.①②③④⑤
B.③④⑤②①
C.④②①⑤③
D.⑤②③①④
15.如图,已知∠BAE+∠AED=180°,∠1=∠2,求证:∠M=∠N.
16.在∠ABC和∠DEF中,AB∥DE,BC∥EF.试探究:
(1)如图1,∠B与∠E的关系是　 　.
(2)如图2,写出∠B与∠E的关系,并说明理由.
(3)根据上述探究,请归纳得到一个真命题.
【练素养】
17.(1)阅读并回答:
科学实验证明,平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等.如图1,一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射,此时∠1=∠2,∠3=∠4.
①由条件可知:∠1=∠3,依据是　 　;∠2=∠4,依据是　 　;
②反射光线BC与EF平行,依据是　 　.
(2)解决问题:
如图2,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b镜反射,若b反射出的光线n平行于m,且∠1=40°,求∠2和∠3的度数.
参考答案
基础演练
1.C　2.D　3.D　4.C
5.垂直的定义　两直线平行,内错角相等　两直线平行,同位角相等　已知　等量代换　角平分线的定义
6.B
7.CD　同旁内角互补,两直线平行　CD　EF　平行于同一条直线的两条直线互相平行
8.【解析】∵∠EOC=90°,∠COF=34°,
∴∠EOF=90°-34°=56°.
又∵OF平分∠AOE,
∴∠AOF=∠EOF=56°.
∵∠COF=34°,
∴∠AOC=56°-34°=22°,
则∠BOD=∠AOC=22°.
9.【解析】∵∠ADE=∠B(已知),
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行),
∴∠1=∠3(两直线平行,内错角相等).
∵∠1+∠2=180°(已知),
∴∠2+∠3=180°(等量代换),
∴CD∥FG(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠FGB=∠CDB(两直线平行,同位角相等).
∵CD⊥AB(已知),
∴∠CDB=90°(垂直的定义),
∴∠FGB=90°,
∴GF⊥AB(垂直的定义).
10.B　11.70°
12.【解析】∵EF∥AD,
∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等).
∵∠1=∠2,∴∠1=∠3(等量代换),
∴AB∥DG(内错角相等,两直线平行),
∴∠BAC+∠AGD=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵∠BAC=70°,
∴∠AGD=110°.
能力生成
13.C　14.C
15.【解析】证明:∵∠BAE+∠AED=180°(已知),
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠BAE=∠AEC(两直线平行,内错角相等).
又∵∠1=∠2(已知),
∴∠BAE-∠1=∠AEC-∠2(等式的性质),
即∠MAE=∠NEA,∴AM∥NE(内错角相等,两直线平行),
∴∠M=∠N(两直线平行,内错角相等).
16.【解析】
(1)∠B=∠E.
提示:如图1,∵AB∥DE,
∴∠B=∠1.
∵BC∥EF,
∴∠1=∠E,
∴∠B=∠E.
(2)∠B+∠E=180°.
如图2,∵AB∥DE,
∴∠B+∠1=180°.
∵BC∥EF,
∴∠E=∠1,
∴∠B+∠E=180°.
(3)如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或者互补.
素养通关
17.【解析】(1)①两直线平行,同位角相等;等量代换.
②同位角相等,两直线平行.
提示:①由条件可知∠1=∠3,依据是两直线平行,同位角相等;∠2=∠4,依据是等量代换;
②反射光线BC与EF平行,依据是同位角相等,两直线平行.
故答案为①两直线平行,同位角相等;等量代换.②同位角相等,两直线平行.
(2)如图.
∵∠1=40°,
∴∠4=∠1=40°,
∴∠6=180°-40°-40°=100°.
∵m∥n,
∴∠2+∠6=180°,
∴∠2=80°,
∴∠5=∠7==50°,
∴∠3=180°-50°-40°=90°.
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