15.3 课时3 含30°角的直角三角形的性质 课时作业（含答案） 2023-2024学年数学沪科版八年级上册
文档属性
| 名称 | 15.3 课时3 含30°角的直角三角形的性质 课时作业（含答案） 2023-2024学年数学沪科版八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 126.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-18 17:35:56 | ||
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文档简介
15.3 课时3 含30°角的直角三角形的性质
【练基础】
必备知识 含30 °角的直角三角形的性质
1.已知在直角三角形中30°角所对的直角边为2,则斜边的长为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,交BC于点E,AE=6 cm,则AC= ( )
A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm
3.如图,在△ABC中,∠ACB为直角,∠A=30°,CD⊥AB于点D,若BD=1,则AD的长为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.【阜阳期末】如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为 .
5.如图,△ABC与△DCE都是等边三角形,B,C,E三点在同一条直线上,若AB=3,∠BAD=150°,则DE的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,D是BC上一点,BD=2,DE⊥BC交AB于点E,则AE= .
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D,AD=3,则BC= .
8.如图,在△ABC中.
(1)若∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1,求∠A的度数.
(2)在(1)的条件下,若AC=6,求BC边上的高.
【练能力】
9.如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,DE是AB的垂直平分线,线段DE=1 cm,则BC的长度为 ( )
A.8 cm B.4 cm C.6 cm D.10 cm
10.如图,在△ABC中,AB=AC=11,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,则DF的长为 ( )
A.4.5 B.5 C.5.5 D.6
11.如图,∠ACB=60°,PC=12,点M,N在边CB上,PM=PN.若MN=3,则CM的长为 ( )
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
12.含30°角的直角三角板与直线l1,l2的位置关系如图所示,已知l1∥l2,∠A=30°,∠1=60°,若AB=6,则CD的长为 .
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,AB=6,D,E分别是边BC,AC上的点,且BD=2CD,DE∥AB,则DE的长是 .
14.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,若AN=1,则BC的长为 .
15.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于点D,连接BD,若AC=6,则DE的长为 .
16.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=30°,∠ABC的平分线BE交AC于点E.D为AB上一点,且AD=AC,连接CD,CD,BE交于点M.
(1)求∠DMB的度数.
(2)若CH⊥BE于点H,AB=16,求MH的长.
【练素养】
17.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC于点F,交BC于点M,MF的长为2.
(1)求∠ADE的度数.
(2)△ADF是等边三角形吗 为什么
(3)求AB的边长.
参考答案
基础演练
1.B 2.D 3.B 4.1 5.D 6.2 7.9
8.【解析】(1)∵∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1,
∴设∠A=3x,则∠B=2x,∠C=x.
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴3x+2x+x=180°,
∴x=30°,∴∠A=90°.
(2)如图,过点A作AD⊥CB交BC于点D.
∵∠C=30°,AC=6,∴AD=AC=3.
能力生成
9.C 10.C 11.D 12.3 13.2 14.6 15.2
16.【解析】(1)∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°.
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE=30°.
∵∠A=30°,AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC=×(180°-30°)=75°,
∴∠DMB=∠ADC-∠ABE=45°.
(2)∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴AB=2BC.
∵CH⊥BE,∠CBE=30°,
∴BC=2CH,
∴AB=4CH.
∵∠CMH=∠DMB=45°,
在Rt△CHM中,∠HCM=90°-∠CMH=45°,
∴∠CMH=∠HCM,
∴CH=MH,
∴AB=4MH.
∵AB=16,
∴MH=AB=4.
素养通关
17.【解析】(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=×(180°-∠BAC)=30°.
∵BD=BE,
∴∠BDE=∠BED=×(180°-∠B)=75°.
∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=15°.
(2)△ADF是等边三角形.
理由:∵CD的垂直平分线MF交AC于点F,交BC于点M,
∴DF=CF.
∵∠C=30°,
∴∠FDC=∠C=30°,
∴∠AFD=∠C+∠FDC=60°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠DAF=90°-∠C=60°,
∴∠ADF=60°,即∠FAD=∠ADF=∠AFD=60°,
∴△ADF是等边三角形.
(3)∵CD的垂直平分线MF,
∴∠FMC=90°.
∵∠C=30°,MF=2,
∴FC=2MF=4.
∵DF=FC,∴DF=4.
∵△ADF是等边三角形,
∴AF=DF=4.
∵AC=AF+CF=4+4=8,AB=AC,
∴AB=8.
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【练基础】
必备知识 含30 °角的直角三角形的性质
1.已知在直角三角形中30°角所对的直角边为2,则斜边的长为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,交BC于点E,AE=6 cm,则AC= ( )
A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm
3.如图,在△ABC中,∠ACB为直角,∠A=30°,CD⊥AB于点D,若BD=1,则AD的长为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.【阜阳期末】如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为 .
5.如图,△ABC与△DCE都是等边三角形,B,C,E三点在同一条直线上,若AB=3,∠BAD=150°,则DE的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,D是BC上一点,BD=2,DE⊥BC交AB于点E,则AE= .
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D,AD=3,则BC= .
8.如图,在△ABC中.
(1)若∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1,求∠A的度数.
(2)在(1)的条件下,若AC=6,求BC边上的高.
【练能力】
9.如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,DE是AB的垂直平分线,线段DE=1 cm,则BC的长度为 ( )
A.8 cm B.4 cm C.6 cm D.10 cm
10.如图,在△ABC中,AB=AC=11,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,则DF的长为 ( )
A.4.5 B.5 C.5.5 D.6
11.如图,∠ACB=60°,PC=12,点M,N在边CB上,PM=PN.若MN=3,则CM的长为 ( )
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
12.含30°角的直角三角板与直线l1,l2的位置关系如图所示,已知l1∥l2,∠A=30°,∠1=60°,若AB=6,则CD的长为 .
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,AB=6,D,E分别是边BC,AC上的点,且BD=2CD,DE∥AB,则DE的长是 .
14.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,若AN=1,则BC的长为 .
15.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于点D,连接BD,若AC=6,则DE的长为 .
16.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=30°,∠ABC的平分线BE交AC于点E.D为AB上一点,且AD=AC,连接CD,CD,BE交于点M.
(1)求∠DMB的度数.
(2)若CH⊥BE于点H,AB=16,求MH的长.
【练素养】
17.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC于点F,交BC于点M,MF的长为2.
(1)求∠ADE的度数.
(2)△ADF是等边三角形吗 为什么
(3)求AB的边长.
参考答案
基础演练
1.B 2.D 3.B 4.1 5.D 6.2 7.9
8.【解析】(1)∵∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1,
∴设∠A=3x,则∠B=2x,∠C=x.
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴3x+2x+x=180°,
∴x=30°,∴∠A=90°.
(2)如图,过点A作AD⊥CB交BC于点D.
∵∠C=30°,AC=6,∴AD=AC=3.
能力生成
9.C 10.C 11.D 12.3 13.2 14.6 15.2
16.【解析】(1)∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°.
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE=30°.
∵∠A=30°,AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC=×(180°-30°)=75°,
∴∠DMB=∠ADC-∠ABE=45°.
(2)∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴AB=2BC.
∵CH⊥BE,∠CBE=30°,
∴BC=2CH,
∴AB=4CH.
∵∠CMH=∠DMB=45°,
在Rt△CHM中,∠HCM=90°-∠CMH=45°,
∴∠CMH=∠HCM,
∴CH=MH,
∴AB=4MH.
∵AB=16,
∴MH=AB=4.
素养通关
17.【解析】(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=×(180°-∠BAC)=30°.
∵BD=BE,
∴∠BDE=∠BED=×(180°-∠B)=75°.
∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=15°.
(2)△ADF是等边三角形.
理由:∵CD的垂直平分线MF交AC于点F,交BC于点M,
∴DF=CF.
∵∠C=30°,
∴∠FDC=∠C=30°,
∴∠AFD=∠C+∠FDC=60°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠DAF=90°-∠C=60°,
∴∠ADF=60°,即∠FAD=∠ADF=∠AFD=60°,
∴△ADF是等边三角形.
(3)∵CD的垂直平分线MF,
∴∠FMC=90°.
∵∠C=30°,MF=2,
∴FC=2MF=4.
∵DF=FC,∴DF=4.
∵△ADF是等边三角形,
∴AF=DF=4.
∵AC=AF+CF=4+4=8,AB=AC,
∴AB=8.
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