15.4 课时1 角的平分线的作法与性质 课时作业（含答案） 2023-2024学年数学沪科版八年级上册
文档属性
| 名称 | 15.4 课时1 角的平分线的作法与性质 课时作业（含答案） 2023-2024学年数学沪科版八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 194.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-18 17:36:27 | ||
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文档简介
15.4 课时1 角的平分线的作法与性质
【练基础】
必备知识1 角的平分线的作法
1.如图,这是某同学尺规作图的结果,则根据此结果可判断此次作图是 ( )
A.尺规作线段的垂直平分线
B.尺规作一条线段等于已知线段
C.尺规作一个角等于已知角
D.尺规作一个角的平分线
2.如图,以∠AOB的顶点O为圆心,任意长为半径画弧交OA,OB于点C,D,再分别以C、D为圆心,大于CD的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点P,作射线OP,则下列说法错误的是 ( )
A.△OCP≌△ODP B.OC=DP
C.∠OCP=∠ODP D.∠OPC=∠OPD
3.如图,A是∠MON边OM上一点,AE∥ON.
(1)尺规作图:作∠MON的平分线OB,交AE于点B(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若∠MAE=48°,直接写出∠OBE的大小.
4.请在图中过点P分别画OA,OB的垂线.
必备知识2 角的平分线的性质
5.如图,在△ABC中,∠B=60°,∠C=50°,如果AD平分∠BAC,那么∠ADB的度数是 ( )
A.35° B.70° C.85° D.95°
6.如图,P是∠AOB的平分线上一点,过点P作PC⊥OA于点C,且PC=3,则点P到OB的距离为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的角平分线,若AD=3,CD=2,则点D到AB边的距离为 .
8.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,若△ABC的面积为21 cm2,AB=8 cm,AC=6 cm,则DE的长为 cm.
9.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC于点E,BF∥DE交CD于点F.求证:DE=BF.
【练能力】
10.用尺规作图作△ABC的BC边上的高,下列作法正确的是 ( )
A B
C D
11.如图,AD∥BC,BG,AG分别平分∠ABC与∠BAD,GH⊥AB,GH=5,则AD与BC之间的距离是 ( )
A.5 B.8 C.10 D.15
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=6,AB=17,则△ABD的面积是 .
13.如图,在Rt△ABC中,AB=2.5 cm,AC=6 cm,BC=6.5 cm,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,过点P作PD⊥BC,垂足为D,则线段PD的长为 cm.
14.如图,已知△ABC,∠BAC=90°.
(1)尺规作图:作AD⊥BC,垂足为D(保留作图痕迹,不写作法).
(2)求证:∠C=∠BAD.
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,且E为AB的中点,DE=3.求BC的长.
【练素养】
16.如图1,△ABC是直角三角形,∠C=90°,∠CAB的平分线AE与AB的垂直平分线DE相交于点E.
(1)如图2,若点E正好落在边BC上,求∠B的度数.
(2)在(1)的基础上,求证:BC=3DE.
(3)如图3,若点E满足C,E,D共线.线段AD,DE,BC之间是否满足AD+DE=BC,若满足请给出证明;若不满足,请说明理由.
参考答案
基础演练
1.D 2.B
3.【解析】(1)如图,OB为所作.
(2)156°.
提示:∵AE∥ON,
∴∠MON=∠MAE=48°.
∵OB平分∠MON,
∴∠NOB=∠MON=24°.
∵AB∥ON,
∴∠OBA=∠NOB=24°,
∴∠OBE=180°-∠OBA=180°-24°=156°.
4.【解析】如图,PC和PD即为所求.
5.C 6.A 7.2 8.3
9.【解析】
证明:如图,∵CD平分∠ACB,
∴∠1=∠2.
∵∠1=∠2,DE⊥AC,∠ABC=90°,
∴DE=BD.
∵∠3=90°-∠1,∠4=90°-∠2,
∴∠3=∠4.
∵BF∥DE,∴∠4=∠5,
∴∠3=∠5,∴BD=BF,
∴DE=BF.
能力生成
10.B 11.C 12.51 13.1
14.【解析】
(1)如图,AD即为所求.
(2)证明:∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAD=90°.
∵AD⊥BC,
∴∠CDA=90°.
在Rt△CAD中,∠C+∠CAD=90°,
∴∠C=∠BAD.
15.【解析】∵∠C=90°,
∴DC⊥AC.
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,
∴DC=DE=3,∠DAB=∠DAC.
又∵E为AB的中点,
∴DE垂直平分AB,
∴DB=AD,
∴∠DAB=∠B,
∴∠CAD=∠DAB=∠B=30°.
在Rt△BED中,BD=2DE=6,
∴BC=CD+BD=6+3=9.
素养通关
16.【解析】(1)∵AE平分∠CAB,
∴∠CAE=∠DAE.
又∵ED是AB的垂直平分线,
∴EA=EB,
∴∠B=∠DAE,
∴∠CAE=∠DAE=∠B.
又∵∠C=90°,
∴∠B=×90°=30°.
(2)∵AE平分∠CAB,且EC⊥AC,ED⊥AB,
∴EC=ED.
在Rt△EDB中,∠B=30°,
∴BE=2DE,
即BC=BE+CE=2DE+DE=3DE.
(3)线段AD、DE、BC之间满足AD+DE=BC,证明如下:
如图,过点E作EF⊥AC于点F.
∵ED是AB的垂直平分线,且C,E,D共线,
∴CD也是AB的垂直平分线,
∴CA=CB.
又∠ACB=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴∠ACD=45°,
∴△CEF是等腰直角三角形,
∴EF=CF.
∵AE平分∠CAB,且EF⊥AC,ED⊥AB,
∴EF=ED,∴ED=FC.
在Rt△ADE和Rt△AFE中,
∴Rt△ADE≌Rt△AFE(HL),
∴AD=AF,
∴BC=AC=AF+FC=AD+DE.
2
【练基础】
必备知识1 角的平分线的作法
1.如图,这是某同学尺规作图的结果,则根据此结果可判断此次作图是 ( )
A.尺规作线段的垂直平分线
B.尺规作一条线段等于已知线段
C.尺规作一个角等于已知角
D.尺规作一个角的平分线
2.如图,以∠AOB的顶点O为圆心,任意长为半径画弧交OA,OB于点C,D,再分别以C、D为圆心,大于CD的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点P,作射线OP,则下列说法错误的是 ( )
A.△OCP≌△ODP B.OC=DP
C.∠OCP=∠ODP D.∠OPC=∠OPD
3.如图,A是∠MON边OM上一点,AE∥ON.
(1)尺规作图:作∠MON的平分线OB,交AE于点B(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若∠MAE=48°,直接写出∠OBE的大小.
4.请在图中过点P分别画OA,OB的垂线.
必备知识2 角的平分线的性质
5.如图,在△ABC中,∠B=60°,∠C=50°,如果AD平分∠BAC,那么∠ADB的度数是 ( )
A.35° B.70° C.85° D.95°
6.如图,P是∠AOB的平分线上一点,过点P作PC⊥OA于点C,且PC=3,则点P到OB的距离为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的角平分线,若AD=3,CD=2,则点D到AB边的距离为 .
8.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,若△ABC的面积为21 cm2,AB=8 cm,AC=6 cm,则DE的长为 cm.
9.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC于点E,BF∥DE交CD于点F.求证:DE=BF.
【练能力】
10.用尺规作图作△ABC的BC边上的高,下列作法正确的是 ( )
A B
C D
11.如图,AD∥BC,BG,AG分别平分∠ABC与∠BAD,GH⊥AB,GH=5,则AD与BC之间的距离是 ( )
A.5 B.8 C.10 D.15
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=6,AB=17,则△ABD的面积是 .
13.如图,在Rt△ABC中,AB=2.5 cm,AC=6 cm,BC=6.5 cm,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,过点P作PD⊥BC,垂足为D,则线段PD的长为 cm.
14.如图,已知△ABC,∠BAC=90°.
(1)尺规作图:作AD⊥BC,垂足为D(保留作图痕迹,不写作法).
(2)求证:∠C=∠BAD.
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,且E为AB的中点,DE=3.求BC的长.
【练素养】
16.如图1,△ABC是直角三角形,∠C=90°,∠CAB的平分线AE与AB的垂直平分线DE相交于点E.
(1)如图2,若点E正好落在边BC上,求∠B的度数.
(2)在(1)的基础上,求证:BC=3DE.
(3)如图3,若点E满足C,E,D共线.线段AD,DE,BC之间是否满足AD+DE=BC,若满足请给出证明;若不满足,请说明理由.
参考答案
基础演练
1.D 2.B
3.【解析】(1)如图,OB为所作.
(2)156°.
提示:∵AE∥ON,
∴∠MON=∠MAE=48°.
∵OB平分∠MON,
∴∠NOB=∠MON=24°.
∵AB∥ON,
∴∠OBA=∠NOB=24°,
∴∠OBE=180°-∠OBA=180°-24°=156°.
4.【解析】如图,PC和PD即为所求.
5.C 6.A 7.2 8.3
9.【解析】
证明:如图,∵CD平分∠ACB,
∴∠1=∠2.
∵∠1=∠2,DE⊥AC,∠ABC=90°,
∴DE=BD.
∵∠3=90°-∠1,∠4=90°-∠2,
∴∠3=∠4.
∵BF∥DE,∴∠4=∠5,
∴∠3=∠5,∴BD=BF,
∴DE=BF.
能力生成
10.B 11.C 12.51 13.1
14.【解析】
(1)如图,AD即为所求.
(2)证明:∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAD=90°.
∵AD⊥BC,
∴∠CDA=90°.
在Rt△CAD中,∠C+∠CAD=90°,
∴∠C=∠BAD.
15.【解析】∵∠C=90°,
∴DC⊥AC.
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,
∴DC=DE=3,∠DAB=∠DAC.
又∵E为AB的中点,
∴DE垂直平分AB,
∴DB=AD,
∴∠DAB=∠B,
∴∠CAD=∠DAB=∠B=30°.
在Rt△BED中,BD=2DE=6,
∴BC=CD+BD=6+3=9.
素养通关
16.【解析】(1)∵AE平分∠CAB,
∴∠CAE=∠DAE.
又∵ED是AB的垂直平分线,
∴EA=EB,
∴∠B=∠DAE,
∴∠CAE=∠DAE=∠B.
又∵∠C=90°,
∴∠B=×90°=30°.
(2)∵AE平分∠CAB,且EC⊥AC,ED⊥AB,
∴EC=ED.
在Rt△EDB中,∠B=30°,
∴BE=2DE,
即BC=BE+CE=2DE+DE=3DE.
(3)线段AD、DE、BC之间满足AD+DE=BC,证明如下:
如图,过点E作EF⊥AC于点F.
∵ED是AB的垂直平分线,且C,E,D共线,
∴CD也是AB的垂直平分线,
∴CA=CB.
又∠ACB=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴∠ACD=45°,
∴△CEF是等腰直角三角形,
∴EF=CF.
∵AE平分∠CAB,且EF⊥AC,ED⊥AB,
∴EF=ED,∴ED=FC.
在Rt△ADE和Rt△AFE中,
∴Rt△ADE≌Rt△AFE(HL),
∴AD=AF,
∴BC=AC=AF+FC=AD+DE.
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