第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 课时作业（含答案） 2023-2024学年数学沪科版八年级上册

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 自我评估
(建议用时:120分钟　分值:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.如图,一个三角形只剩下一个角,这个三角形为 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上都有可能
2.下列各图中,正确画出边上的高的是 ( )
A B
C D
3.如图,CM是△ABC的中线,△BCM的周长比△ACM的周长大3 cm,BC=8 cm,则AC的长为 ( )
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
4.下列长度的三条线段,不能组成三角形的是 ( )
A.3,7,5 B.4,8,5
C.5,12,7 D.7,13,8
5.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1,则△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
6.如图,在△ABC中,∠B=32°,将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,则∠1-∠2的度数是 ( )
A.32° B.45°
C.60° D.64°
7.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高线,CE是一条角平分线,且AD与CE相交于点P.已知∠APE=55°,∠AEP=80°,则∠B为 ( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
8.下列选项中,可以用来证明命题“若a>b,则<”是假命题的反例是 ( )
A.a=2,b=1
B.a=2,b=-1
C.a=-2,b=1
D.a=-2,b=-1
9.定理:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
如图,∠ACD是△ABC的外角.求证:∠ACD=∠A+∠B.
　　证法1:如图. ∵∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理), 又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角定义), ∴∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB(等量代换), ∴∠ACD=∠A+∠B(等式性质). 证法2:如图. ∵∠A=76°,∠B=59°, 且∠ACD=135°(量角器测量所得), 又∵135°=76°+59°(计算所得), ∴∠ACD=∠A+∠B(等量代换).
下列说法正确的是 ( )
A.证法1还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整
B.证法1用严谨的推理证明了该定理
C.证法2用特殊到一般法证明了该定理
D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证,就能证明该定理
10.如图,∠ABC=∠ACB,BD,CD分别平分△ABC的内角∠ABC,外角∠ACP,BE平分∠MBC交DC的延长线于点E.有下列结论:①∠MAN=2∠BDE;②∠BDE+∠BED=90°;③∠ABC=∠BEC;④∠BEC=90°-∠BAC,其中正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…,那么…”的形式:
　.
12.在△ABC中,∠C=90°,如果∠A比∠B小24°,则∠A=　 　°.
13.如图,直线AB∥CD,∠B=70°,∠D=30°,则∠E的度数是　 　.
14.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD中点,过点E作垂线交BC于点F,已知BC=10,△ABD的面积为12,则EF的长为　 　.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.写出下列命题的逆命题,并指出其真假.
(1)如果a,b都是偶数,那么a+b是偶数.
(2)两个锐角的和是钝角.
(3)直角三角形的两个锐角互余.
16.已知三角形的两条边长为4和6,第三条边长x最小.
(1)求x的取值范围.
(2)当x为何值时,组成三角形的周长最大 最大值是多少
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.在锐角△ABC中,∠BAC=50°,将∠α的顶点P放置在BC边上,使∠α的两边分别与边AB,AC交于点E,F(点E不与点B重合,点F不与点C重合).设∠BEP=x,∠CFP=y.
(1)【发现】若∠α=40°,
①如图1,当点F与点A重合,x=60°时,y=　 　°;
②如图2,当点E,F均不与点A重合时,x+y=　 　°.
(2)【探究】判断x,y和∠α之间满足怎样的数量关系 并写出你的理由.
18.如图,点C在射线BE上,∠ABE的平分线与∠ACE的平分线交于点A1.
(1)若∠A=60°,求∠A1的度数.
(2)若∠A=α,求∠A1的度数.
(3)在(2)的条件下,作∠A1BE,∠A1CE的平分线交于点A2;作∠A2BE,∠A2CE的平分线交于点A3,…,依此类推,则∠A2,∠A3,…,∠An分别为多少度
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,EF∥GH,Rt△ABC的两个顶点A,B分别在直线GH,EF上,∠C=90°,AC交EF于点D,若BD平分∠ABC,∠BAH=32°,求∠BAC的度数.
20.如图,B,C,E三点在同一直线上,A,F,E三点在同一直线上,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AD∥BE.
六、(本题满分12分)
21.互动学生课堂上,某小组同学对一个课题展开了探究.
小亮:如图,D是三角形ABC内一点,连接BD,CD,试探究∠BDC与∠A、∠1、∠2之间的关系.
小明:可以用三角形内角和定理去解决.
小丽:用外角的相关结论也能解决.
(1)请你在横线上补全小明的探究过程:
∵∠BDC+∠DBC+∠BCD=180°(　 　),
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD(等式性质).
∵∠A+∠1+　　　　+∠DBC+∠BCD=180°,
∴∠A+∠1+∠2=180°-　　　　　-∠BCD,
∴∠BDC=∠A+∠1+∠2(　　　　).
(2)请你按照小丽的思路完成探究过程.
七、(本题满分12分)
22.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B=35°,∠E=25°,求∠BAC的度数.
(2)求证:∠BAC=∠B+2∠E.
八、(本题满分14分)
23.(1)阅读并填空:如图1,BD,CD分别是△ABC的内角∠ABC,∠ACB的平分线.试说明∠D=90°+∠A的理由.
解:∵BD平分∠ABC(已知),
∴∠1=　 　(角平分线定义).
同理,∠2=　　　　　.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠1+∠2+∠D=180°(　　　　　),
∴∠D=　　　　　(等式性质).
即∠D=90°+∠A.
(2)探究,请直接写出结果,并任选一种情况说明理由:
(i)如图2,BD,CD分别是△ABC的两个外角∠EBC,∠FCB的平分线.试探究与之间的等量关系.
答:∠D与∠A之间的等量关系是　　　　　　　.
(ii)如图3,BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线.试探究∠D与∠A之间的等量关系.
答:∠D与∠A之间的等量关系是　　　　　　　.
参考答案
1.B　2.D　3.C　4.C　5.C　6.D　7.B　8.B　9.B
10.D　【解析】∵BD,CD分别平分△ABC的内角∠ABC,外角∠ACP,
∴∠ABD=∠CBD,∠ACD=∠PCD,
∴2∠PCD=2∠CBD+∠MAN,∠PCD=∠CBD+∠BDE,
由以上两式得∠MAN=2∠BDE,故①正确;
∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC,
∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=∠ABC+∠MBC=×180°=90°,
∴∠BDE+∠BED=90°,故②正确;
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠CBM=∠NCB.
∵BE平分∠MBC,DE平分∠BCN,
∴∠EBC=∠ECB,
∴∠BEC=180°-2∠CBE.
又∵∠ABC=180°-2∠CBE,
∴∠ABC=∠BEC,故③正确;
∵∠BEC=180°-(∠MBC+∠NCB)=180°-(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°-(180°+∠BAC),
∴∠BEC=90°-∠BAC,故④正确.
11.如果两条直线都与同一条直线平行,那么这两条直线互相平行
12.33　13.40°　14.2.4
15.【解析】(1)逆命题:如果a+b是偶数,那么a,b都是偶数.这是假命题.
(2)逆命题:如果两个角的和是钝角,那么这两个角是锐角.这是假命题.
(3)逆命题:如果一个三角形的两个锐角互余,那么这个三角形是直角三角形.这是真命题.
16.【解析】(1)由题意得2∵x为最小,∴x的取值范围是2(2)当x=4时,三角形的周长最大.
三角形周长的最大值是4+6+4=14.
17.【解析】(1)30;90.
(2)x+y=50°+∠α.
理由:在△BEP中,∠B+∠BEP+∠BPE=180°①,
在△PFC中,∠C+∠CFP+∠CPF=180°②,
由①+②,得∠B+∠C+∠CPF+∠BPE+∠BEP+∠CFP=360°,
即130°+180°-∠α+x+y=360°,
∴x+y=50°+∠α.
18.【解析】(1)∵∠ACE=∠A+∠ABC,∠ABE的平分线和∠ACE的平分线交于点A1,
∴∠A1BC=∠ABC,∠A1CE=∠ACE,
∴∠A1CE=∠ACE=(∠A+∠ABC)=∠ABC+∠A.
又∵∠A1CE=∠A1+∠A1BC=∠A1+∠ABC,
∴∠A1=∠A=30°.
(2)∠A1=α.
(3)∠A2=α,∠A3=α,∠An=α.
19.【解析】∵∠BAH=32°,EF∥GH,
∴∠DBA=∠BAH=32°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠DBA=32°,
即∠ABC=64°.
∵∠C=90°,
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-64°=26°.
20.【解析】证明:∵AB∥CD(已知),
∴∠4=∠BAF(两直线平行,同位角相等).
∵∠3=∠4(已知),
∴∠3=∠BAF(等量代换).
∵∠1=∠2(已知),
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(等式的性质),
即∠BAF=∠CAD,
∴∠3=∠CAD(等量代换),
∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行).
21.【解析】(1)∵∠BDC+∠DBC+∠BCD=180°(　三角形内角和定理　),
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD(等式性质).
∵∠A+∠1+　∠2　+∠DBC+∠BCD=180°,
∴∠A+∠1+∠2=180°-　∠DBC　-∠BCD,
∴∠BDC=∠A+∠1+∠2(　等量代换　).
(2)如图,延长BD交AC于点E.
由三角形的外角性质可知,∠BEC=∠A+∠1,∠BDC=∠BEC+∠2,
∴∠BDC=∠A+∠1+∠2.
22.【解析】(1)∵∠B=35°,∠E=25°,
∴∠ECD=∠B+∠E=60°.
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠ECD=60°,
∴∠BAC=∠ACE+∠E=85°.
(2)证明:∵CE平分∠ACD,
∴∠ECD=∠ACE.
∵∠BAC=∠E+∠ACE,
∴∠BAC=∠E+∠ECD.
∵∠ECD=∠B+∠E,
∴∠BAC=∠E+∠B+∠E,
∴∠BAC=2∠E+∠B.
23.【解析】(1)∵BD平分∠ABC(已知),
∴∠1= ∠ABC　(角平分线定义).
同理,∠2= ∠ACB　.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠1+∠2+∠D=180°(三角形的内角和等于180°),
∴∠D=180°-(∠ABC+∠ACB)(等式性质).
即∠D=90°+∠A.
(2)(i)∠D与∠A之间的等量关系是∠D=90°-∠A.
理由:∵BD,CD分别是△ABC的两个外角∠EBC,∠FCB的平分线,
∴∠EBD=∠DBC,∠BCD=∠DCF.
∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,
∴∠A+∠ABC+∠ACB=180°.
而∠ABC=180°-2∠DBC,
∠ACB=180°-2∠DCB,
∴∠A+180°-2∠DBC+180°-2∠DCB=180°,
∴∠A-2(180°-∠D)=-180°,
∴∠A+2∠D=180°,
∴∠D=90°-∠A.
(ii)∠D与∠A之间的等量关系是∠D=∠A.
理由:∵BD,CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线,
∴∠DCE=∠DBC+∠D.
∵∠A+∠ABC=∠ACE,
∴∠A+2∠DBC=2∠DCE,
∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D,
∴∠A=2∠D.
即∠D=∠A.
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