【同步备课】2015秋人教版九年级数学上册教案：22.3实际问题与二次函数（3课时）

22.3　实际问题与二次函数
第1课时　面积问题
教学目标
1.能根据实际问题列出函数关系式.
2.使学生能根据问题的实际情况,确定函数自变量x的取值范围.
3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生应用数学的意识.
教学重难点
重点:用函数知识解决面积最大问题.
难点:建立二次函数模型.
教学过程
一、教师导学
给你长8cm的铝合金条,问:
①你能用它制成一矩形窗框吗
②怎样设计,窗框的透光面积最大
③如何验证
这就是我们下面要讨论的问题.
二、合作探究
我们先看下面一道例题.
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【例】用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框.应做成长、宽各为多少时,才能使做成的窗框的透光面积最大 最大透光面积是多少
分析:先思考解决以下问题:
(1)若设做成的窗框的宽为xm,则长为多少m 　　m
(2)根据实际情况,x有没有限制 若有限制,请指出它的取值范围,并说明理由.让学生讨论、交流,达成共识:根据实际情况,应有x>0,且>0,即解不等式组,解这个不等式组,得到不等式组的解集为0(3)你能说出面积y与x的函数关系式吗
y=x·,即y=-x2+3x
(4)求当x取何值时,窗框的透光面积最大 最大面积为多少
y=-(x-1)2=即当x=1时,y最大值=
从在上面的例题中我们可以看出,要求最大透 ( http: / / www.21cnjy.com )光面积,首先要求出面积与边之间的函数关系式,根据实际情况得出自变量的取值范围,利用二次函数的性质在取值范围内得出最大值.
三、巩固练习
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星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗 ( http: / / www.21cnjy.com )圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.
(1)若平行于墙的一边的长为y米,直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围.
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大 并求出这个最大值.
(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时,试
结合函数图象,直接写出x的取值范围.
解:(1)y=30-2x(6≤x<15).
(2)设矩形苗圃园的面积为S,
则S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x,
∴S=-2(x-7.5)2+112.5.
由(1)知6≤x<15,
∴当x=7.5时,S最大值=112.5,
即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时,这个苗圃园的面积最大,最大值为112.5平方米.
(3)6≤x≤11.
四、总结提升
本节课应掌握:
分析问题中的数量关系,建立二次函数模型,注意实际问题中自变量的取值范围以及二次函数性质的实际应用.
五、布置作业
教材P52　习题22.3　4、5、6、7.
第2课时　销售利润问题
教学目标
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力和应用数学的意识.
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程,深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
3.通过学习和合作交流,了解数学带给人们的价值及美感.
教学重难点
重点:用函数知识解决销售利润问题
难点:建立二次函数模型
教学过程
一、教师导入
商场的服装,经常出现涨价、降价,这其中有何 ( http: / / www.21cnjy.com )奥妙呢 商家的利润是否随涨价而增大,随降价而减小 要想使商家获得最大利润,该如何定价 这些就是我们本节课要解决的问题.
二、合作探究
某商店将每件进价8元的某种 ( http: / / www.21cnjy.com )商品按每件10元出售,一天可销出约100件,该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大
分析:可设每件商品降价x元,该商品每天 ( http: / / www.21cnjy.com )的利润为y元,可先根据题意列出y与x之间的函数关系式,此时应特别注意x的取值范围,然后再在自变量的取值范围内利用二次函数的性质求出最大值.
解:设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元.
商品每天的利润y与x的函数关系式是:
y=(10-x-8)(100+100x)
即y=-100x2+100x+200
配方得y=-100(x-)2+225
因为x=时,满足0≤x≤2.
所以当x=时,函数取得最大值,最大值y=225.
所以将这种商品的售价降低0.5元时,能使销售利润最大.
从上面的例题中,我们可以看出,解有关销售利润的问题首先还是要根据题意列出二次函数关系式,再利用二次函数的性质求解.
三、巩固练习
某公司营销A,B两种产品,根据市场调研,发现如下信息:
信息1:销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系y=ax2+bx.
当x=1时,y=1.4;当x=3时,y=3.6.
信息2:销售B种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y=0.3x.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求二次函数解析式;
(2)该公司准备购进A,B两种产品共10吨,请设计一个营销方案,使销售A,B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是多少
解:(1)由题意,得解得∴二次函数的解析式为:y=-0.1x2+1.5x.
(2)设A种产品购进x吨,则B种产品购进(10-
x)吨,销售这两种产品所获得的利润 ( http: / / www.21cnjy.com )之和为W万元.则W=(-0.1x2+1.5x)+0.3(10-x)=-0.1x2+1.2x+3=-0.1(x-6)2+6.6.
∴x=6时,W有最大值6.6.∴10-6=4(吨).
答:A,B两种产品的进货量分别为6吨和4吨时,获得的销售利润之和最大,最大利润是6.6万元.
四、总结提升
本节课应掌握:
根据题意列出二次函数关系式,注意自变量的取值范围以及二次函数性质的实际应用.
五、布置作业
教材P51　习题22.3　2、8
第3课时　拱桥问题与二次函数
教学目标
1.经历探索实际问题中两个变量的变化过程,使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.
2.初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题.
3.在解决实际问题过程中使学生体验数学建模思想,培养学生分析问题、解决实际问题的能力.
教学重难点
用抛物线知识解决实际问题.
教学过程与方法
1.情境引入(2分钟)
多媒体放映现实生活中形似抛物线形的 ( http: / / www.21cnjy.com )实物,如跳绳、掷铅球、水池喷射出的水花、拱桥,引出问题:水面宽度3米时,水面离拱顶多高 水面宽度是4米时呢 拱顶离水面2米时,水面宽度是多少 引入新课.
2.探索新知(8分钟)
(1)学生自学:教材P51探究3
(2)交流思想:欲解决这类问题应该怎么办
3.拓展性探究(20分钟)
【例】善于不断改进学习方法的小迪发现,对解题 ( http: / / www.21cnjy.com )进行回顾反思,学习效果更好.某一天小迪有20分钟时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间x(单位:分钟)与学习收益量y的关系如图(1)所示,用于回顾反思的时间x(单位:分钟)与学习收益量y的关系如图(2)所示(其中OA是抛物线的一部分,A为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.
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(1)求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式;
(2)求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式;
(3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这20分钟的学习收益总量最大
解:(1)由图(1)设y=kx.当x=1时,y=2,解得k=2,∴y=2x(0≤x≤20).
(2)由图(2)知当0≤x≤4时,设y=a(x-4)2+16.当x=0时,y=0,∴0=16a+16,∴a=-1.∴y=-(x-4)2+16,即y=-x2+8x,当4≤x≤10时,y=16.因此y=
(3)设小迪用于回顾反思的 ( http: / / www.21cnjy.com )时间为x(0≤x≤10)分钟,学习收益总量为y,则他用于解题的时间为(20-x)分钟.当0≤x≤4时,y=-x2+8x+2×(20-x)=-x2+6x+40=-(x-3)2+49,x=3时,y最大=49.当4≤x≤20时,y=16+2(20-x)=56-2x.y随x的增大而减小,因此当x=4时,y最大=48,综上所述,当x=3时,y最大=49,此时20-x=17,即小迪用17分钟解题,3分钟用于反思,学习收益量最大.
4.小结升华(3分钟)
解答抛物线形实际问题的一般思路:
(1)把实际问题中的已知条件转化为数学问题.
(2)建立适当的平面直角坐标系,把已知条件转化为坐标系中点的坐标.
(3)求抛物线的解析式.
(4)利用抛物线解析式结合图象解决实际问题.
5.独立作业(7分钟)
如图所示,三孔桥横截面的 ( http: / / www.21cnjy.com )三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同,正常水位时,大孔水面宽度AB=20m,顶点M距水面6m(即MO=6m),小孔顶点N距水面4.5m(即NC=4.5m).当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的直角坐标系,求此时大孔的水面宽度EF.
( http: / / www.21cnjy.com )
解:EF=10米.