第三章 质量评估检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．21cnjy.com
1．(2014·嘉兴高一检测)点A(2，－3)关于点B(－1,0)的对称点A′的坐标是( )
A．(－4,3) B．(5，－6)
C．(3，－3) D.
解析：设A′(x′，y′)，由题意得
即
答案：A
2.过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
解析：∵直线x－2y＋3＝0的斜率为，
∴所求直线的方程为y－3＝(x＋1)，
即x－2y＋7＝0.
答案：A
3.若直线ax＋2y＋a－1＝0与直线2x＋3y－4＝0垂直，则a的值为( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：由a·2＋2·3＝0，得a＝－3.
答案：B
4．光线从点A(－2,1)射到y轴上，经反射以后经过点B(－1，－2)，则光线从A到B的路程为( )
A．3 B．2
C．3 D.
答案：C
5．等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是( )2·1·c·n·j·y
A．(2,0)或(4,6) B．(2,0)或(6,4)
C．(4,6) D．(0,2)
解析：设B为(x，y)，
根据题意可得
即
解得或所以B(2,0)或B(4,6)．
答案：A
6.若直线l与直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A、B两点，且AB的中点为P(1，－1)，则直线l的斜率等于( )2-1-c-n-j-y
A. B．－
C. D．－
解析：设A(m,1)，B(a，b)，则
∴b＝－3，又点B在直线x－y－7＝0上，
∴a－(－3)－7＝0.
∴a＝4，
∴m＝2－a＝－2，故A(－2,1)，B(4，－3)．
∴直线l的斜率k＝＝－.
答案：D
7．若点M和N都在直线l：x＋y＝1上，则点P，Q和直线l的关系是( )
A．P和Q都在l上
B．P和Q都不在l上
C．P在l上，Q不在l上
D．P不在l上，Q在l上
解析：∵M和N都在直线l：x＋y＝1上，∴??＝?c＝1－?c＋＝1，即点P在直线l上．同理，点Q也在直线l上．故选A.21·cn·jy·com
答案：A
8．若直线l1：y－2＝(k－1)x和直线l2关于直线y＝x＋1对称，那么直线l2恒过定点( )
A．(2,0) B．(1，－1)
C．(1,1) D．(－2,0)
解析：∵l1：kx＝x＋y－2，由得l1恒过定点(0,2)，记为点P，∴与l1关于直线y＝x＋1对称的直线l2也必恒过一定点，记为点Q，且点P和Q也关于直线y＝x＋1对称．令Q(m，n)，则?即Q(1,1)，∴直线l2恒过定点(1,1)，故选C.21·世纪*教育网
答案：C
9．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P到直线l的距离d的最大值为( )【出处：21教育名师】
A．2 B.
C. D．2
解析：由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，此方程是过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0交点的定点直线系方程．解方程组可知两直线的交点为Q(1,1)，故直线l恒过定点Q(1,1)，如图所示，可知d＝|PH|≤|PQ|＝，即d≤， 故选B.
答案：B
10．到直线y＝x的距离与到x轴的距离相等的点P的轨迹方程为( )
A．y＝x
B．y＝－x
C．y＝x或y＝－x
D．y＝(2＋)x或y＝(－2)x
解析：设P(x，y)，则点P到直线y＝x的距离为＝，点P到x轴的距离为|y|，由题意得＝|y|，整理得y＝x或y＝－x，故选C.【版权所有：21教育】
答案：C
11．已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )
A．b＝a3
B．b＝a3＋
C．(b－a3)＝0
D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0
解析：根据直角三角形的直角的位置求解．
若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；
若∠A＝，则b＝a3≠0.
若∠B＝，根据斜率关系可知a2·＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－＝0.
以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件．
答案：C
12．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．(0,1) B.
C. D.
解析：根据题意画出图形，根据面积相等得出a，b的关系式，然后求出b的取值范围．
由题意画出图形，如图(1)．
由图可知，直线BC的方程为x＋y＝1.
由解得M.
可求N(0，b)，D.
∵直线y＝ax＋b将△ABC分割为面积相等的两部分，
∴S△BDM＝S△ABC.
又S△BOC＝S△ABC，
∴S△CMN＝S△ODN，
即×|－|×b＝(1－b)×.
整理得＝.
∴＝，
∴－1＝，∴＝＋1，
(1) (2)
即b＝，可以看出，当a增大时，b也增大．
当a→＋∞时，b→，即b＜.
当a→0时，直线y＝ax＋b接近于y＝b.
当y＝b时，如图(2)，＝＝＝.
∴1－b＝，∴b＝1－.
∴b＞1－.
由上分析可知1－＜b＜，故选B.
答案：B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，a，b，c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为________．www.21-cn-jy.com
解析：点(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，且m2＋n2为直线上的点到原点的距离的平方，当两直线垂直时，距离最小．故d＝＝＝＝2，∴m2＋n2≥4. 21*cnjy*com
答案：4
14．已知点A(－1,1)，B(2，－2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段AB相交(包含端点的情况)，则实数m的取值范围是__________．【来源：21cnj*y.co*m】
解析：直线l：x＋my＋m＝0恒过定点M(0，－1)，而kAM＝＝－2，kBM＝＝－.要使直线l：x＋my＋m＝0与线段AB相交，观察图象(图略)，当m＝0时，l与线段AB相交；当m≠0时，显然有k≥－或k≤－2，而k＝－，得m≥2或0＜m≤或m＜0.所以m≥2或m≤.21教育名师原创作品
答案：∪[2，＋∞)
15．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)(点P与点A，B不重合)，则|PA|2＋|PB|2＝__________.
解析：由动直线x＋my＝0知定点A的坐标为(0,0)，由动直线mx－y－m＋3＝0知定点B的坐标为(1,3)，且两直线相互垂直，故△PAB是直角三角形，且PA⊥PB，因此|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.21*cnjy*com
答案：10
16．在函数y＝4x2的图象上求一点P，使P到直线y＝4x－5的距离最短，则P点坐标为__________．
解析：直线方程化为4x－y－5＝0.
设P(a,4a2)，则点P到直线的距离为
d＝＝
＝.
当a＝时，点P到直线的距离最短，最短距离为.
答案：
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)(1)求与直线3x＋4y－7＝0垂直，且与原点的距离为6的直线方程；
(2)求经过直线l1∶2x＋3y－5＝0与l2∶7x＋15y＋1＝0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0的直线方程．21教育网
解析：(1)设所求的直线方程为4x－3y＋c＝0.由已知＝6，解得c＝±30，
故所求的直线方程为4x－3y±30＝0.(5分)
(2)设所求的直线方程为2x＋3y－5＋λ(7x＋15y＋1)＝0，即(2＋7λ)x＋(3＋15λ)y＋λ－5＝0，由已知－＝－，解得λ＝1.www-2-1-cnjy-com
故所求的直线方程为9x＋18y－4＝0.(10分)
18．(本小题满分12分)点P(x，y)到x轴、y轴和直线x＋y－2＝0的距离相等，求点P的横坐标．
解析：由题意可知|x|＝|y|＝.
(2分)
当x＝y时，|x|＝，
即x2－4x＋2＝0，
解得x＝2＋或x＝2－；(6分)
当x＝－y时，|x|＝，
解得x＝或x＝－.(10分)
所以点P的横坐标为2＋，2－，或－.
(12分)
19．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点A(3，－1)，AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程．21世纪教育网版权所有
解析：设点B的坐标为(4y1－10，y1)，则AB的中点坐标为.(2分)
∵AB的中点在直线6x＋10y－59＝0上，
∴6×＋10×－59＝0，(4分)
解得y1＝5，∴B(10,5)．(6分)
设点A关于直线x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)，
则有
解得即A′(1,7)．(8分)
而BC边所在的直线经过点A′，B，
∴BC边所在直线的方程为＝，
整理得2x＋9y－65＝0.(12分)
20．(本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点为A(4,0)，B(8,10)，C(0,6)．
(1)求过A点且平行于BC的直线方程；
(2)求过B点且与点A，C距离相等的直线方程．
解析：(1)kBC＝，过A点且平行于BC的直线方程为y－0＝(x－4)，即x－2y－4＝0.(5分)
(2)设过B点的直线方程为y－10＝k(x－8)，
即kx－y－8k＋10＝0，
由＝，
即k＝或k＝－.
所求的直线方程为y－10＝(x－8)或y－10＝－(x－8)，即7x－6y＋4＝0或3x＋2y－44＝0.
(12分)
21．(本小题满分12分)如图，在平行四边形OABC中，点C(1,3)，过点C作CD⊥AB于点D.
(1)求CD所在直线的方程；
(2)求D点坐标．
解析：(1)直线OC的斜率为3，因为CD⊥OC，
所以直线CD的斜率是－，直线CD的方程为：y－3＝－(x－1)，化简得x＋3y－10＝0.
(5分)
(2)A(3,0)，因为OC∥AB，所以AB斜率与OC斜率相等，
所以直线AB的方程为：y＝3(x－3)，
联立方程解得
∴D.(12分)
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明．
解析：四边形OPQR是矩形，
OP边所在直线的斜率kOP＝t，
QR边所在直线的斜率kQR＝＝t，
OR边所在直线的斜率kOR＝－，
PQ边所在直线的斜率kPQ＝＝－.
∴kOP＝kQR，kOR＝kPQ，
∴OP∥QR，OR∥PQ，
∴四边形OPQR是平行四边形．
又kQR·kOR＝t×＝－1，
∴QR⊥OR，
∴四边形OPQR是矩形．(6分)
又∵kOQ＝，kPR＝，
令kOQ·kPR＝－1，得t不存在，
∴OQ与PR不垂直，四边形OPQR不能为菱形．
∴四边形OPQR不为正方形，
故四边形OPQR是矩形．(12分)
课件27张PPT。课件29张PPT。课件28张PPT。课件32张PPT。课件33张PPT。课件33张PPT。课件28张PPT。课件29张PPT。课时作业(十五) 倾斜角与斜率
A组 基础巩固
1．过点P(－2，m)、Q(m,4)的直线的斜率为1，那么m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
答案：A
2．已知直线l的倾斜角为α，且0°≤α≤135°，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[0，＋∞)
B．(－∞，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
答案：D
3．若直线经过点P(1,1)和点Q，其中t＞0，则该直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：由直线的斜率公式、基本不等式得k＝＝＋t－1≥2－1＝1(当且仅当＝t，即t＝1时取等号)，所以直线的倾斜角的范围是.
答案：B
4．给出下列说法，正确的个数是( )
①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；
②一条直线的倾斜角为－30°；
③倾斜角为0°的直线只有一条；
④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．
答案：A
5．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．m＜1 B．m＞－1
C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1
解析：∵直线l的倾斜角为锐角，
∴斜率k＝＞0，∴－1＜m＜1.
答案：C
6．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是( )
A．0 B．1
C. D．2
解析：如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k∈[0,2]．故直线l的斜率k的最大值为2.21世纪教育网版权所有
答案：D
7．已知A(－1,2)，B(3,2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和－2，则点P的坐标是__________．
解析：设点P(x，y)，则有＝2且＝－2，解得x＝1，y＝6，即点P坐标是(1,6)．
答案：(1,6)
8．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________．
解析：由已知得kAB＝<0，∴－2答案：－29．在下列叙述中：
①一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα；
②若直线斜率k＝－1，则它的倾斜角为135°；
③若A(1，－3)、B(1,3)，则直线AB的倾斜角为90°；
④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过(3,4)点；
⑤若直线斜率为，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．所有正确命题的序号是________．
解析：①当α＝90°，斜率k不存在，故错误；
②倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故正确；
③直线AB与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故正确；
④直线过定点(1,2)，斜率为1，又＝1，故直线必过(3,4)，命题正确；
⑤斜率为的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，命题错误．
答案：②③④
10．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P使直线PA的倾斜角为60°.
解析：(1)当点P在x轴上时，设点P(a,0)，
∵A(1,2)，∴k＝＝.
又∵直线PA的倾斜角为60°，
∴tan60°＝.解得a＝－＋1.
∴点P的坐标为.
(2)当点P在y轴上时，设点P(0，b)，
同理可得b＝2－，
∴点P的坐标为(0,2－)．
由(1)(2)知，点P的坐标为或
(0,2－)．
B组 能力提升
11．下列各组中能三点共线的是( )
A．(1,4)，(－1,2)，(3,5)
B．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3)
C．(1,0)，，(7,2)
D．(0,0)，(2,4)，(－1,3)
解析：对于A，∵≠，故三点不共线；
对于B，∵≠，故三点不共线；
对于C，∵＝，故三点共线；
对于D，∵≠，故三点不共线．
答案：C
12．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，求＋的值．
解析：由于A，C两点横坐标不相等，故直线AC的斜率存在，
又A，B，C三点共线，于是有＝，
由此可得a＋b＝ab，
两边同时除以ab(ab≠0)，得＋＝.
13．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图像上，当x∈[2，
5]时，求的取值范围．
解析：＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．
∵点M在函数y＝－2x＋8的图像上，且x∈[2,5]，
∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)．
∵kNA＝，kNB＝－，
∴－≤≤.
∴的取值范围为.
14．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．
解析：由的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知kPA≤k≤kPB，由已知可得A(1,1)，B(－1,5)．
则kPA＝＝，kPB＝＝8.
∴≤k≤8，∴的最大值为8，最小值为.
课时作业(十六) 两条直线平行与垂直的判定
A组 基础巩固
1．若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1、α2，斜率分别为k1、k2，有下列命题：
①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；
②若k1＝k2，则l1∥l2；
③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；
④若α1＝α2，则l1∥l2.
其中真命题的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①错，两直线不一定有斜率．
答案：C
2．已知点M(4,2)，N(1，－2)，在x轴上求一点Q，使∠MQN＝90°，则点Q的坐标为( )
A．(3,0) B．(0,0)
C．(5,0) D．(0,0)或(5,0)
解析：设Q的坐标为(t,0)，由∠MQN＝90°知kQM·kQN＝－1，∴·＝－1，即t2－5t＝0，解得t＝0或5，即点Q的坐标为(0,0)或(5,0)．
答案：D
3．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过C(3，a)，D(6,5)，若l1⊥l2，则a的值为( )
A．0 B．5
C．0或5 D．3
解析：由题意可知，直线l2的斜率一定存在，而直线l1的斜率有可能不存在，故要对l1的斜率进行讨论：①若a－2＝3，即a＝5，k1不存在，k2＝0，则l1⊥l2；②若a≠5，k1＝，k2＝，由l1⊥l2得k1·k2＝－1，即·＝－1，解得a＝0.故实数a的值是0或5.21教育网
答案：C
4．下列各对直线不互相垂直的是( )
A．l1的倾斜角为60°，l2过点P(1,0)，Q(4，－)
B．l1的斜率为－，l2过点M(1,1)，N
C．l1的倾斜角为30°，l2过点A(3，)，B(4,2)
D．l1过点A(1,0)，B(－2,2)，l2过点P(－6,0)，Q(－4，3)
解析：选项C中，直线l1的斜率k1＝tan30°＝，l2的斜率k2＝＝，k1·k2≠－1，所以l1与l2不垂直．21cnjy.com
答案：C
5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：如图所示，易知kAB＝－，kBC＝0，kCD＝－，kAD＝0，kBD＝－，kAC＝，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直．所以四边形ABCD为平行四边形．【来源：21·世纪·教育·网】
答案：B
6．已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为( )
A．(0，－6) B．(0,7)
C．(0，－6)或(0,7) D．(－6,0)或(7,0)
解析：由题意可设点P的坐标为(0，y)．因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP，且直线AP与直线BP的斜率都存在．又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1，即·＝－1，解得y＝－6或y＝7.所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7)．www.21-cn-jy.com
答案：C
7．若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
解析：由两点的斜率公式可得：kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
答案：－1
8．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，给出下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD.其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上)2·1·c·n·j·y
解析：∵kAB＝－，kCD＝－，kAC＝，kBD＝－4，
∴AB∥CD，AC⊥BD.
答案：①④
9．若过点P(1,1)，Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是__________．21·世纪*教育网
解析：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系．因为kPQ＝＝，由于kPQ＝tanα，90°＜α＜180°，∴tanα＜0，即＜0，∴a＜.www-2-1-cnjy-com
答案：
10．求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．
解析：设所求直线的斜率为k.
当m＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为α＝90°.
当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝.
此时分两种情况分析：
①当m＞1时，k＝＞0，所以直线的倾斜角的取值范围是(0°，90°)；
②当m＜1时，k＝＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是(90°，180°)．
B组 能力提升
11．已知两点M(－1,0)，N(1,0)，若直线y＝k(x－2)上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是( )21世纪教育网版权所有
A．[－5,5]
B.
C.∪
D.∪
解析：当k＝0时，M，N，P三点共线，不能构成三角形，故k≠0，由题意，由于直径对的圆周角是直角，可知只要直线y＝k(x－2)和以MN为直径的圆有公共点即可，此时，≤1?－≤k≤，(k≠0)，故选C.2-1-c-n-j-y
答案：C
12．已知函数f(x)＝log3(x＋2)，若a＞b＞c＞0，则，，的大小关系为( )
A.＞＞
B.＜＜
C.＞＞
D.＜＜
解析：本题考查斜率与对数函数图象相结合的综合问题．作出函数f(x)＝log3(x＋2)的大致图象，如图所示．由图象可知曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a＞b＞c＞0，所以＜＜，故选B. 21*cnjy*com
答案：B
13．已知在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(2,1)，中心E(3,3)．
(1)判断平行四边形ABCD是否为正方形；
(2)点P(x，y)在平行四边形ABCD的边界及内部运动，求的取值范围．
解析：(1)∵平行四边形的对角线互相平分，
∴由中点坐标公式得C(5,4)，D(4,5)．
∴kAB＝－1，kBC＝1.
∴kAB·kBC＝－1，
∴AB⊥BC，即平行四边形ABCD为矩形．
又|AB|＝，|BC|＝3，
∴|AB|≠|BC|，即平行四边形ABCD不是正方形．
(2)∵点P在矩形ABCD的边界及内部运动，
∴的几何意义为直线OP的斜率．
作出大致图象，如图所示，
由图可知kOB≤kOP≤kOA，
∵kOB＝，kOA＝2，∴≤kOP≤2，
∴的取值范围为.
14．如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直？21·cn·jy·com
解析：如图所示，以点B为坐标原点，BC、BA所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系．由AD＝5，AB＝3，可得C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．
设点M的坐标为(x,0)，因为AC⊥DM，所以kAC·kDM＝－1，所以·＝－1，即x＝＝3.2，
即BM＝3.2 m时，两条小路所在直线AC与DM相互垂直．
课时作业(十七) 直线的点斜式方程
A组 基础巩固
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(－1,2)，斜率为1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1
解析：结合直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)得C选项正确．
答案：C
2．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析：由a＝2－a，得a＝1.
答案：B
3．经过点(0，－1)且与直线2x＋3y－4＝0平行的直线方程为( )
A．2x＋3y＋3＝0 B．2x＋3y－3＝0
C．2x＋3y＋2＝0 D．3x－2y－2＝0
解析：∵直线2x＋3y－4＝0的斜率为－，与直线2x＋3y－4＝0平行的直线的斜率也为－，∴经过点(0，－1)且斜率为－的直线，其斜截式方程为y＝－x－1，整理得2x＋3y＋3＝0，故选A.
答案：A
4．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
解析：因为所求直线与y＝2x＋1垂直，所以设直线方程为y＝－x＋b.又因为直线在y轴上的截距为4，所以直线的方程为y＝－x＋4.21教育网
答案：D
5．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a，正确的是( )
A B
C D
解析：当a＞0时，四个选项都不成立，当a＜0时，选项C成立．
答案：C
6．若AC＜0，BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：将Ax＋By＋C＝0化为斜截式为y＝－x－，∵AC＜0，BC＜0，∴AB＞0，∴k＜0，b＞0.
故直线不通过第三象限，选C.
答案：C
7．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标为__________．
解析：将直线方程化为点斜式，得y－3＝k(x－2)，可知过定点(2,3)．
答案：(2,3)
8．已知直线l的倾斜角为120°，在y轴上的截距为－2，则直线l的斜截式方程为________．
解析：由题意可知直线l的斜率k＝tan120°＝－，
又l在y轴上的截距为－2，
故l的斜截式方程为y＝－x－2.
答案：y＝－x－2
9．直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为__________．
解析：直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan135°＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．
答案：y－4＝－(x－3)
10．求过点P(2,3)，且满足下列条件的直线方程：
(1)倾斜角等于直线x－3y＋4＝0的倾斜角的二倍；
(2)在两坐标轴上的截距相等．
解析：(1)由题意，设已知直线的倾斜角为α，可知tanα＝，
当所求直线的倾斜角为已知直线的倾斜角的二倍时，k＝tan2α＝＝＝，
∴所求直线的方程为y－3＝(x－2)，整理得3x－4y＋6＝0.
(2)当直线过原点时，可设直线方程为y＝kx，
又直线过点P(2,3)，代入得k＝，
∴此时直线的方程为y＝x，整理得3x－2y＝0.
当直线不过原点时，可设直线的方程为＋＝1，
又直线过点P(2,3)，代入得m＝5，
∴此时直线的方程为＋＝1，整理得x＋y－5＝0.
∴所求直线的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
B组 能力提升
11．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程．
(1)经过点(，－1)；
(2)在y轴上的截距是－5.
解析：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，
∴其倾斜角α＝120°，
由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，
故所求直线的斜率k1＝tan30°＝，
(1)∵所求直线经过点(，－1)，斜率为，
∴所求直线方程是y＋1＝(x－)．
(2)∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，
∴所求直线的方程为y＝x－5.
12．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总过第一象限；
(2)为了使直线l不过第二象限，求a的取值范围．
解析：(1)证明：直线l的方程可化为y－＝a，由点斜式方程可知直线l的斜率为a，且过定点A，由于点A在第一象限，所以直线一定过第一象限．21世纪教育网版权所有
(2)如图，直线l的倾斜角介于直线AO与AP的倾斜角之间，
kAO＝＝3，直线AP的斜率不存在，故a≥3.
13．(1)已知直线l过点M(－2,3)且与直线x＋3y－5＝0垂直，求直线l的方程．
(2)已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且平行于直线x－3y－1＝0.求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．21cnjy.com
解析：(1)由题意可设所求直线l的方程为3x－y＋m＝0，由于直线l过点M(－2,3)，代入解得m＝9，
故直线l的方程为3x－y＋9＝0.
(2)由解得则点P(－2,2)，
又因为所求直线l与直线x－3y－1＝0平行，可设l为x－3y＋C＝0(C≠－1)将点P(－2,2)代入得C＝8，故直线l的方程为x－3y＋8＝0.21·cn·jy·com
令x＝0得直线l在y轴上的截距为，令y＝0得直线l在x轴上的截距为－8，
所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S＝××8＝.
14．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l的方程．
解析：设直线l的点斜式方程为y＝x＋b.
则x＝0时，y＝b，y＝0时，x＝－6b.
由已知可得|b|·|－6b|＝3，即b2＝1，
所以b＝±1.
从而所求直线l的方程为y＝x－1或y＝x＋1.
课时作业(十八) 直线的两点式方程
A组 基础巩固
1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或两点式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
解析：当直线过原点时，不能写成截距式，故C正确．
答案：C
2．直线＋＝1过一、二、三象限，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
解析：直线过一、二、三象限，所以它在x轴上的截距为负，在y轴上的截距为正，所以a＜0，b＞0.
答案：C
3．已知M，A(1,2)，B(3,1)，则过点M和线段AB的中点的直线方程为( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
解析：AB的中点坐标为即，又点M，由两点式可得＝，即4x－2y＝5.
答案：B
4．过A(1,1)，B(0，－1)两点的直线方程是( )
A.＝x B.＝
C.＝ D．y＝x
解析：因为过A(1,1)，B(0，－1)两点的直线方程可写成：＝，整理得＝x，故选A.
答案：A
5．过点P(1，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：显然过点P(1，－2)的直线的斜率存在，设斜率为k，且k≠0，∴直线的方程为y＋2＝k(x－1)，即kx－y－k－2＝0，其在x轴上的截距为，在y轴上的截距为－k－2，又||＝|－k－2|?|k＋2|(|k|－1)＝0，解得k＝－2或k＝±1，∴符合条件的直线有3条，故选B.2·1·c·n·j·y
答案：B
6．下列命题中正确的是( )
A．经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示
D．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
解析：A中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x＝x0；B中经过定点A(0，b)的直线x＝0无法用y＝kx＋b表示；D中不经过原点但斜率不存在的直线不能用方程＋＝1表示．只有C符合，故选C.
答案：C
7．直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝__________.
解析：线段AB的中点坐标是(1,1)，代入直线方程得m＋3－5＝0，所以m＝2.
答案：2
8．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)，(ab≠0)共线，则＋＝__________.21世纪教育网版权所有
解析：直线BC方程为＋＝1，
由A在直线BC上，∴＋＝1，∴＋＝.
答案：
9．经过点A(2,1)，在x轴上的截距为－2的直线方程是__________．
解析：由题意知直线过两点(2,1)，(－2,0)，由两点式方程可得所求直线的方程为＝，即x－4y＋2＝0.21教育网
答案：x－4y＋2＝0
10．求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．
解析：设直线l的方程为＋＝1.
由题意
∴4b＋2a＝ab，即4(12－a)＋2a＝a(12－a)，
∴a2－14＋48＝0，解得a＝6或a＝8.
因此或
∴所求直线l的方程为x＋y－6＝0或x＋2y－8＝0.
B组 能力提升
11．两直线－＝1与－＝1的图象可能是图中的( )
A B
C D
解析：由－＝1，得到y＝x－n；
又由－＝1，得到y＝x－m.
即k1与k2同号且互为倒数．
答案：B
12．若直线x＋2y－3＝0，kx＋y－1＝0，x轴的正半轴与y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，且k＜0，则实数k的值为__________．21cnjy.com
解析：根据所围成的四边形有外接圆，且k＜0，可知直线x＋2y－3＝0和kx＋y－1＝0相互垂直，因此，－·(－k)＝－1，即k＝－2.21·cn·jy·com
答案：－2
13．求经过点P(－5，－4)，且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程．
解析：设所求直线方程为＋＝1.
∵直线过点P(－5，－4)，
∴＋＝1，得4a＋5b＝－ab，①
又由已知得|a|·|b|＝5，即|ab|＝10，②
由①②
解得或
∴所求方程为＋＝1或＋＝1.
即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.
14．一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射后，通过点B(－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．www.21-cn-jy.com
解析：如图所示，作A点关于x轴的对称点A′，显然，A′坐标为(3，－2)，连接A′B，则A′B所在直线即为反射光线．【来源：21·世纪·教育·网】
∴由两点式可得直线A′B的方程为＝，即2x＋y－4＝0.
同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，
由两点式可得直线AB′的方程为＝，
即2x－y－4＝0，
∴入射光线所在直线方程为2x－y－4＝0，
反射光线所在直线方程为2x＋y－4＝0.
课时作业(十九) 直线的一般式方程
A组 基础巩固
1.在直角坐标系中，直线x－y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．120°
C．60° D．150°
解析：直线的斜率k＝，设倾斜角为θ，则tanθ＝，∴θ＝60°.
答案：C
2．已知过点A(－5，m－2)和B(－2m,3)的直线与直线x＋3y－1＝0平行，则m的值为( )
A．4 B．－4
C．10 D．－10
解析：∵kAB＝，直线x＋3y－1＝0的斜率为k＝－，∴由题意得＝－，解得m＝4.
答案：A
3．已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图所示，则( )
A．若c＞0，则a＞0，b＞0
B．若c＞0，则a＜0，b＞0
C．若c＜0，则a＞0，b＜0
D．若c＜0，则a＞0，b＞0
解析：由ax＋by＋c＝0，斜率k＝－，直线在x、y轴上的截距分别为－、－.
如题图，k＜0，即－＜0，∴ab＞0.
∵－＞0，－＞0，∴ac＜0，bc＜0.
若c＜0，则a＞0，b＞0；若c＞0，则a＜0，b＜0.
答案：D
4．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( )21·cn·jy·com
A．2y－x－4＝0 B．2x－y－1＝0
C．x＋y－5＝0 D．2x＋y－7＝0
解析：由x－y＋1＝0得A(－1,0)，又P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，∴P为线段AB中垂线上的点，且B(5,0)．www.21-cn-jy.com
PB的倾斜角与PA的倾斜角互补，
则斜率互为相反数，故PB的斜率kPB＝－1，则方程为y＝－(x－5)即x＋y－5＝0.
答案：C
5．两直线l1∶mx－y＋n＝0和l2∶nx－y＋m＝0在同一坐标系中，则正确的图形可能是( )
A. B.
C. D.
解析：直线l1的斜率k1＝m，在y轴上截距b1＝n.
直线l2的斜率k2＝n，在y轴上截距b2＝m.
∴根据m、n的符号的几何意义知选B.
答案：B
6．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为，则m、n的值分别为( )
A．4,3 B．－4,3
C．－4，－3 D．4，－3
解析：将方程mx＋ny＋1＝0化为斜截式得
y＝－x－.
由题意得－＝－，且－＝，
解得m＝－4，n＝－3
答案：C
7．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都通过点P(2,3)，则经过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程为________．2·1·c·n·j·y
解析：依题意得：2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，这说明Q1、Q2在直线2x＋3y＋1＝0上，因为两点确定一直线，所以经过两点Q1、Q2的直线方程为2x＋3y＋1＝0.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：2x＋3y＋1＝0
8．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________．
解析：由2x－3y＋12＝0知，斜率为，在y轴上截距为4.根据题意，直线l的斜率为，在y轴上截距为8，所以直线l的方程为x－3y＋24＝0.
答案：x－3y＋24＝0
9．已知直线x－2y＋2k＝0与两坐标轴围成的三角形面积不大于1，则实数k的取值范围是__________．21教育网
解析：令x＝0，则y＝k；令y＝0，则x＝－2k，所以直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是S＝|－2k|·|k|≤1，即k2≤1，所以－1≤k≤1.21·世纪*教育网
答案：[－1,1]
10．已知两直线方程l1：mx＋2y＋8＝0和l2：x＋my＋3＝0，当m为何值时：
(1)两直线互相平行？
(2)两直线互相垂直？
解析：(1)当m＝0时，l1与l2显然不平行．
当m≠0时，l1的斜率k1＝－，在y轴上的截距b1＝－4，
l2的斜率k2＝－，在y轴上的截距b2＝－.
∵l1∥l2，∴k1＝k2，且b1≠b2，
即－＝－，且－4≠－，∴m＝±.
综上可知，当m＝±时，两直线互相平行．
(2)当m＝0时，l1显然与l2垂直．
当m≠0时，l1的斜率为k1＝－，l2的斜率为k2＝－，
∵l1⊥l2，∴－·＝－1，此时无解．
综上可知，当m＝0时，两直线垂直．
B组 能力提升
11．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足( )
A．m≠0
B．m≠－
C．m≠1
D．m≠1且m≠－且m≠0
解析：∵当2m2＋m－3＝0时，m＝1或m＝－；当m2－m＝0时，m＝0或m＝1.要使方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则2m2＋m－3，m2－m不能同时为0，∴m≠1，故选C.
答案：C
12．若方程x2－my2＋2x＋2y＝0表示两条直线，则m的值是__________．
解析：∵方程x2－my2＋2x＋2y＝0表示两条直线，可设其分别为x＋b1y＋c1＝0，x＋b2y＋c2＝0，
∴(x＋b1y＋c1)(x＋b2y＋c2)＝x2－my2＋2x＋2y，整理得，
∴b1＝－b2，或∴b1b2＝－1，m＝1，则x2－my2＋2x＋2y＝x2－y2＋2x＋2y＝(x＋y)(x－y＋2)＝0，此时两条直线分别为x＋y＝0和x－y＋2＝0.21cnjy.com
答案：1
13．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值．
(1)在x轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P(－1，－1)．
解析：(1)∵直线过点P′(1,0)，
∴m2－2m－3＝2m－6.
解得m＝3或m＝1.
又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，
∴m＝1.
(2)由斜率为1，得解得m＝.
(3)直线过定点P(－1，－1)，
则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，
解得m＝或m＝－2.
14．直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：21世纪教育网版权所有
(1)△AOB的周长为12；
(2)△AOB的面积为6.
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
解析：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
若满足条件(1)，则a＋b＋＝12.①
又∵直线过点P，∴＋＝1.②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得或
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
若满足条件(2)，则ab＝12，③
由题意得，＋＝1，④
由③④整理得a2－6a＋8＝0，
解得或
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.
课时作业(二十) 两条直线的交点坐标、
两点间的距离
A组 基础巩固
1．直线2x－y＝7与直线3x＋2y－7＝0的交点坐标为( )
A．(3，－1) B．(－1,3)
C．(－3，－1) D．(3,1)
解析：联立两直线的方程，得解得即交点坐标为(3，－1)，故选A.
答案：A
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1或5
解析：由|AB|＝＝5?a＝1或a＝－5，故选C.
答案：C
3．已知三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝，∴|AC|＝|BC|≠|AB|，且|AC|2＋|BC|2≠|AB|2，∴△ABC是等腰三角形，故选C.www-2-1-cnjy-com
答案：C
4．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C. D．(－2,0)
解析：将直线方程化为(x＋2)a＋(－x－y＋1)＝0，由得故直线过定点(－2,3)．
答案：B
5．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是( )www.21-cn-jy.com
A．(2,3) B．(－2，－1)
C．(－4，－3) D．(0,1)
解析：由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0.直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程组解得即N点坐标为(2,3)
答案：A
6．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2,10)，则光线从A走到B的距离为( )
A．5 B．2
C．5 D．10
解析：如图所示，作A(－3,5)点关于x轴的对称点A′(－3，－5)，连接A′B，则光线从A到B走过的路程等于|A′B|，即＝5.
答案：C
7．若直线l∶y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．21教育网
解析：如图，直线2x＋3y－6＝0过点A(3,0)，B(0,2)，直线l∶y＝kx－必过点(0，－)．当直线l过A点时，两直线的交点在x轴上；当直线l绕C点逆时针(由位置AC到位置BC)旋转时，交点在第一象限．根据kAC＝＝，21·cn·jy·com
得到直线l的斜率k＞.∴倾斜角α的范围为(30°，90°)．
答案：30°＜α＜90°
8．已知点A(－1,4)，B(2,5)，点C在x轴上，且|AC|＝|BC|，则点C的坐标为__________．
解析：设C(x,0)，则由|AC|＝|BC|，得＝，解得x＝2，所以点C的坐标为(2,0)．
答案：(2,0)
9．直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围为__________．
解析：联立解得即两直线的交点坐标为.又交点在第四象限，则解得－＜a＜2.
答案：
10.在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，求点P的坐标．21cnjy.com
解析：设P点的坐标是(a，a＋4)，由题意可知|PM|＝|PN|，即＝，解得a＝－，故P点的坐标是.【来源：21·世纪·教育·网】
B组 能力提升
11．已知一个矩形的两边所在的直线方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则m的值为__________．21·世纪*教育网
解析：由题意，可知两直线平行或垂直，则＝≠或(m＋1)·4m2＋1·(m＋1)＝0，解得m＝－或－1.2-1-c-n-j-y
答案：－或－1
12．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程． 21*cnjy*com
解析：若l与y轴平行，则l的方程为x＝1，
由得B点坐标(1,4)，此时|AB|＝5，
∴x＝1为所求直线方程；
当l不与y轴平行时，可设其方程为y＋1＝k(x－1)．
解方程组
得交点B(k≠－2)．
由已知 ＝5，
解得k＝－.
∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.
综上可得，所求直线l的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
13．过点M(0,1)作直线，使它被两已知直线l1∶x－3y＋10＝0和l2∶2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程．21世纪教育网版权所有
解析：方法一 过点M与x轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y＝kx＋1，若与两已知直线分别交于A、B两点，2·1·c·n·j·y
则解方程组和
可得xA＝，xB＝.
由题意＋＝0，
∴k＝－.故所求直线方程为x＋4y－4＝0.
方法二 设所求直线与两已知直线分别交于A、B两点，点B在直线2x＋y－8＝0上，故可设(t,8－2t)，由中点坐标公式得A(－t,2t－6)．【来源：21cnj*y.co*m】
又因为点A在直线x－3y＋10＝0上，
所以(－t)－3(2t－6)＋10＝0，得t＝4，即B(4,0)．
由两点式可得所求直线方程为x＋4y－4＝0
14．设直线l1：y＝2x与直线l2：x＋y－3＝0交于点P，求过点P且与直线l1垂直的直线l的方程．
解析：方法一：由得故P(1,2)．
又直线l1的斜率为2，
∴所求直线l的斜率为－，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
方法二：设直线l的方程为(x＋y－3)－λ(2x－y)＝0，
即(1－2λ)x＋(1＋λ)y－3＝0.
∵该直线与2x－y＝0垂直，
∴2(1－2λ)－(1＋λ)＝0，
解得λ＝.
故所求直线方程为x＋2y－5＝0.
课时作业(二十一) 点到直线的距离、
两条平行直线间的距离
A组 基础巩固
1.点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为( )
A．2 B.
C. D.
解析：d＝＝＝.
答案：C
2．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为( )
A．3x－4y－1＝0
B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0
C．3x－4y＋1＝0
D．3x－4y－21＝0
解析：设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.
答案：B
3．过点A(1,2)且与点P(3,2)距离最大的直线方程是( )
A．x＋2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．y＝1 D．x＝1
解析：如图，当过点A的直线恰好与直线AP垂直时，距离最大，故所求直线方程为x＝1.
答案：D
4．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
解析：方法一：设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，由题意可知
＝.
∴C＝－6(舍)或C＝8.
故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0.
方法二：令(x0，y0)为所求直线上任意一点，则点(x0，y0)关于(1，－1)的对称点为(2－x0，－2－y0)，此点在直线2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.21教育网
答案：D
5．两平行线分别经过点A(5,0)，B(0,12)，它们之间的距离d满足的条件是( )
A．0＜d≤5 B．0＜d≤13
C．0＜d＜12 D．5≤d≤12
解析：当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|＝13，所以0＜d≤13.
答案：B
6．已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么x2＋y2的最小值为( )
A．5 B．10
C．2 D．2
解析：x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2可以看作直线2x＋y＋5＝0上的动点(x，y)与原点的距离的平方，又原点与该直线上的点的最短距离，即为原点到该直线的距离d＝＝，即x2＋y2的最小值为d2＝5，故选A.21·cn·jy·com
答案：A
7．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为__________．
解析：因为直线斜率为tan60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5?|b|＝10.所以b＝±10，所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.21cnjy.com
答案：x－y＋10＝0或x－y－10＝0
8．已知x＋y－3＝0，则的最小值为__________．
解析：设P(x，y)为直线x＋y－3＝0上一点，A(2，－1)，则＝|PA|，
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.
答案：
9．已知点A(－2,4)与直线l∶x＋y＋4＝0.P是直线l上一动点，则|PA|的最小值为________．
解析：当PA⊥l时，PA最小，即为点A到直线l的距离，所以|PA|的最小值为＝3.
答案：3
10．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解析：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，
整理得所求直线方程为
3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为
3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式得＝3，即＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
B组 能力提升
11．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1∶x＋y－7＝0和l2∶x＋y－5＝0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为( )www.21-cn-jy.com
A．3 B．2
C．3 D．4
解析：由题意知，点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则＝，即c＝－6.2·1·c·n·j·y
∴点M在直线x＋y－6＝0上．
∴M点到原点的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.
答案：A
12．直角坐标平面上4个点A(1,2)，B(3,1)，C(2,3)，D(4,0)到直线y＝kx的距离的平方和为S，当k变化，S的最小值为________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析：点A、B、C、D到直线y＝kx的距离为d1，d2，d3，d4；
∴d1＝，d2＝，d3＝，d4＝；
∴S＝d＋d＋d＋d＝
＝，
整理得(30－S)k2－22k＋(14－S)＝0，
关于k的一元二次方程有解，则(－22)2－4(30－S)(14－S)≥0，
即S2－44S＋299≤0，
∴22－≤S≤22＋，
∴S的最小值为22－；
故答案为：22－.
答案：22－
13．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.21世纪教育网版权所有
解析：由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，
即x－2y＋3＝0，由两点间距离公式得
|BC|＝＝2，
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
d＝＝，
所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，即△ABC的面积为4.
14．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由．
解析：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x＝2符合题意；
②当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程应为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
根据题意，得＝2，解得k＝.
则直线方程为3x－4y－10＝0.
故符合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.
(2)过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线．
则其斜率k＝2，所以其方程为
y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.
最大距离为，
(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为，而6＞，故不存在这样的直线．
