高中数学学业水平考试练习试卷（必修一） (原卷版+解析版)

第1讲 集合与常用逻辑用语
一、选择题
1.已知集合A＝{x∈R|1A.1∈A B.2 A C.3∈A D.4 A
答案：D
2.已知集合A＝{0，2，4}，B＝{－2，0，2}，则A∪B＝( )
A.{0，2} B.{－2，4} C.[0，2] D.{－2，0，2，4}
答案：D
3.已知集合A＝，B＝，则A∩B＝( )
A.{1} B.{2} C.{1，2} D.{－2，0，1，2}
答案：C
解析：集合A＝，B＝，则A∩B＝.故选C.
4.下列命题中的假命题是( )
A. x∈R，|x|＝0 B. x∈R，2x－10＝1
C. x∈R，x3>0 D. x∈R，x2＋1>0
答案：C
解析：当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题，故选C.
5.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则 UA＝( )
A.{1，3，5，6} B.{2，3，7} C.{2，4，7} D.{2，5，7}
答案：C
解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，所以 UA＝{2，4，7}.
6.已知集合A＝，B＝，则A∩B＝( )
A.(－∞，2) B.(0，2) C.[0，2) D.(0，＋∞)
答案： B
解析：集合B表示对数函数y＝lg x的定义域，故而B＝{x|x>0}，又因为A＝，可得A∩B＝(0，2).故选B.
7.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
答案： A
解析：因为A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A B，
所以a∈B且a≠1，所以a＝2或3，即a＝3 A B，
所以“a＝3”是“A B”的充分不必要条件，故选A.
二、填空题
8.已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝__________.
答案：{－1，0，1，2}
9.若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是__________.
答案：a≤110.设集合M＝{x|x是小于5的质数}，则M的真子集的个数为__________.
解析：由题意可知M＝{2，3}，所以M的真子集有 ，{2}，{3}，共3个.
答案：3
三、解答题
11.判断下列命题的真假.
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立.
解析：(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示.
(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解.
12.已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，U＝R.求：
(1)A∪B；
(2)( UA)∩B.
解析：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6}＝{x|1＜x≤8}.
(2) UA＝{x|x＜2，或x＞8}，所以( UA)∩B＝{x|1＜x＜2}.
13.已知命题p： x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，求实数m的取值范围.
解析：令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5≥－5，
因为 x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，
所以只要m<－5即可.所以所求m的取值范围是{m|m<－5}.
14.设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}.
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系.
(2)若B A，求实数a组成的集合C.
解析：(1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5，3}，
当a＝时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5，3}中的元素，
又因为集合A＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以B A.
(2)当a＝0时，由题意得B＝ ，又A＝{3，5}，故B A；
当a≠0时，B＝{}，又A＝{3，5}，B A，此时＝3或5，则有a＝或a＝.
所以C＝{0，，}.
第2讲 一元二次函数、方程和不等式
一、选择题
1.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为( )
A.a＋b<0 B.a＋b>0 C.a＋b≤0 D.a＋b≥0
答案：C
解析：a与b的和是非正数，即a＋b≤0.
2.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以x≥95，y>380，z>45.
3.已知a>b>0，则下列不等式中正确的是( )
A.|a|<|b| B.< C.－a>－b D.a2答案：B
解析： 因为a>b>0，所以|a|>|b|，<，－a<－b，a2>b2.故选B.
4.已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则xy的最大值是( )
A.1 B. C. D.
答案：D
解析： 因为x2＋y2＝1，则xy≤＝，当且仅当x＝y＝时取等号.
5.已知x>0，当x＋取最小值时，x的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.16
答案：C
解析：由基本不等式取等号条件可知当x＝时取等号，即x＝4.
6.若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( )
A.－n＜m＜n＜－m B.－n＜m＜－m＜n
C.m＜－n＜－m＜n D.m＜－n＜n＜－m
答案：D
解析：法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2，分别代入各选项检验，可知D正确.
法二：m＋n＜0 m＜－n n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立.
7.下列不等式的解集是空集的是( )
A.x2－x＋1>0 B.－2x2＋x＋1>0 C.2x－x2>5 D.x2＋x>2
答案：C
解析：根据题意，依次分析选项，
对于A，x2－x＋1＝(x－)2＋，则x2－x＋1>0恒成立，其解集为R，A不符合题意；
对于B，－2x2＋x＋1>0 2x2－x－1<0，有Δ>0，其解集不是空集，B不符合题意；
对于C，2x－x2>5 x2－2x＋5<0，有Δ＝—16<0，其解集为 ，符合题意；
对于D，x2＋x>2 x2＋x－2>0，有Δ>0，其解集不是空集，D不符合题意.故选C.
二、填空题
8.设A＝x2＋2，B＝2x，则A与B的大小关系是A__________(填“>”“<”或“＝”)B.
解析：因为A－B＝x2＋2－2x＝(x－1)2＋1>0，所以A>B.
答案：A>B
9.给出下列命题：①a>b ac2>bc2；②a>|b| a2>b2；③a>b a3>b3；④|a|>b a2>b2.其中正确命题的序号是__________.
解析：①当c2＝0时不成立；②一定成立；③当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·[(a＋)2＋b2]>0成立；④当b<0时，不一定成立.如|2|>－3，但22<(－3)2.
答案：②③
10.若mn＝2，那么m＋n的最小值是__________.
解析：由基本不等式可得m＋n≥2＝2，当且仅当m＝n＝时，等号成立，故m＋n的最小值是2.
答案：2
三、解答题
11.已知集合A＝{x|(x－a)(x＋a＋1)≤0}，B＝{x|x≤3或x≥6}.
(1)当a＝4时，求A∪B；
(2)当a>0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.
解析：(1)当a＝4时，由不等式(x－4)(x＋5)≤0，得－5≤x≤4，故A＝，
又B＝或，所以A∪B＝或.
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，等价于A B，
因为a>0，由不等式(x－a)(x＋a＋1)≤0，得A＝，
又B＝或，
要使A B，则a≤3或－a－1≥6，综合可得a的取值范围为(0，3].
12.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0解析：依题意有(t＋10)·(－t＋35)≥500，即t2－25t＋150≤0，
解得10≤t≤15，t∈N，
所以t的取值范围为{t|10≤t≤15，t∈N}.
13.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a m，房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用.
(1)把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域.
(2)若a≥4，当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？
解析：(1)由题意可得，y＝3(2x×150＋×400)＋5800＝900(x＋)＋5800(0＜x≤a).
(2)y＝900(x＋)＋5800≥900×2＋5800＝13000，当且仅当x＝即x＝4时取等号.
若a≥4，当x＝4时，有最小值13000.
故当x为4时，总造价最低，最低总造价为13000元.
14.已知函数f(x)＝x2＋3x＋m.
(1)当m＝－4时，解不等式f(x)≤0；
(2)对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数m的取值范围.
解析： (1)当m＝－4时，将其代入f(x)≤0，得x2＋3x－4≤0，解得－4≤x≤1，
所以不等式的解集为{x|－4≤x≤1}.
(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，
则m>－x2－3x在x∈[1，＋∞)恒成立.
设g(x)＝－x2－3x，则g(x)在[1，＋∞)上为减函数，g(x)max＝g(1)＝－4，
所以m的取值范围是(－4，＋∞).
函数的概念和性质（一）
一、选择题
1.区间(0，1]等于( )
A.{0，1} B.{(0，1]} C.{x|0答案：C
2.下列函数中定义域为R的是( )
A.y＝ B.y＝(x－1)0 C.y＝x2＋3 D.y＝
答案：C
解析：A中x≥0，B中要求x≠1，C中x∈R，D中x≠0.故选C.
3.下列图象中表示函数图象的是( )
答案：C
4.已知四组函数：
①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；
④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
其中是同一个函数的是( )
A.没有 B.仅有② C.②④ D.②③④
答案：C
解析：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同.
5.已知函数f(x)＝，且f(t)＝6，则t＝( )
A. B.－ C. D.－
答案：B
解析：由f(t)＝6，得＝6，即t＝－.
6.购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为( )
A.y＝2x B.y＝2x(x∈R)
C.y＝2x(x∈{1，2，3，…}) D.y＝2x(x∈{1，2，3，4})
答案：D
解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}，故选D.
7.已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是( )
A.f(x)＝x2＋6x B.f(x)＝x2＋8x＋7
C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10
答案：A
解析：(方法一)设t＝x－1，则x＝t＋1.
因为f(x－1)＝x2＋4x－5，所以f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
所以f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x.
(方法二)因为f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，所以f(x)＝x2＋6x，
所以f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x.
二、填空题
8.已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5，4)，则实数m的值为__________.
解析：将点(5，4)代入f(x)＝x－，即5－＝4，解得m＝5.
答案：5
9.已知函数f(x)＝则f(3)＝__________.
解析：由3>0，故当x＝3时，f(3)＝32＝9.
答案：9
10.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是__________.
解析：由题图可知，图象是由两条线段组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，得
所以所以f(x)＝x＋1；
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，得k＝－1，所以f(x)＝－x.
综上，f(x)＝
答案：f(x)＝
三、解答题
11.已知函数y＝f(x)(x∈[0，6.5])的图象如图所示.根据图象写出：
(1)函数y＝f(x)的解析式；
(2)使f(x)＝125的x值.
解析：(1)由图可得，当0≤x≤2.5时，一次函数f(x)经过点(0，0)，(2.5，150)，所以f(x)＝60x；
当2.5当3.5≤x≤6.5时，一次函数f(x)经过点(3.5，150)，(6.5，0)，所以f(x)＝－50x＋325.
综上，函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝
(2)因为f(x)＝125，所以当0≤x≤2.5时，60x＝125，解得x＝，符合题意；
当3.5≤x≤6.5时，－50x＋325＝125，解得x＝4，符合题意.
综上，x＝或4.
12.若函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－1)，f[f(－1)]的值；
(2)若f(a)＝3，求a的值.
解析：(1)由题意可得，f(－5)＝－5＋2＝－3，f(－1)＝(－1)2＝1，
f[f(－1)]＝f(1)＝12＝1.
(2)因为f(a)＝3，
所以当a≤－2时，a＋2＝3，解得a＝1，不符合题意，舍去；
当－2当a≥2时，2a＝3，解得a＝，不符合题意，舍去.
综上，a＝±.
13.已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(12)的值.
解析：(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，所以x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为{x|x≥－4且x≠1}.
(2)f(－1)＝－＝－3－，f(12)＝－＝－4＝－.
14.画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)求函数f(x)的值域.
解析：f(x)＝－(x－1)2＋4的图象如图所示.
(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(1)>f(0)>f(3).
(2)由图象可知，二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4，
则函数f(x)的值域为(－∞，4].
函数的概念和性质（二）
一、选择题
1.函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是( )
A.[－4，4] B.[－4，－3]∪[1，4] C.[－3，1] D.[－3，4]
答案：C
解析：由图象知单调递增区间为[－3，1].
2.若函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A.f(3)f(5) D.f(3)≥f(5)
答案：C
解析：因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5).
3.下列函数中，在区间(0，2)上单调递增的是( )
A.y＝5－x B.y＝x2＋2 C.y＝ D.y＝－|x|
答案：B
解析：选项A，C，D中的函数在(0，2)上单调递减，只有函数y＝x2＋2在(0，2)上单调递增.
4.已知函数f(x)＝－x＋4，x∈[－5，1]，则f(x)的最小值为( )
A.－5 B.9 C.1 D.3
答案：D
解析：由题意可得，函数f(x)在[－5，1]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(1)＝－1＋4＝3.
5.下列函数中是奇函数的为( )
A.y＝2x B.y＝－x2 C.y＝()x D.y＝log3x
答案：A
解析： 对于A，函数y＝2x的定义域为R，且f(－x)＝－2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数；
对于B，函数y＝－x2的定义域为R，且f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数；
对于C，由函数y＝()x的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，所以函数y＝()x是非奇非偶函数；
对于D，由函数y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，所以函数y＝log3x是非奇非偶函数.
6.下列函数为奇函数，且在(－∞，0)上单调递增的函数是( )
A.f(x)＝x－2 B.f(x)＝x－1 C.f(x)＝ D.f(x)＝x3
答案：D
解析： 根据题意，依次分析选项，对于A，f(x)＝x－2＝，函数为偶函数，不符合题意；对于B，f(x)＝x－1＝，函数为奇函数，在(－∞，0)上单调递减，不符合题意；对于C，f(x)＝，函数不是奇函数，不符合题意；对于D，f(x)＝x3，为奇函数，且在(－∞，0)上单调递增，符合题意.故选D.
7.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，则a的取值范围是( )
A.[－3，＋∞) B.(－∞，－3] C.(－∞，5] D.[3，＋∞)
答案：B
解析： 由－≥4得a≤－3.
二、填空题
8.函数f(x)＝x2的单调递减区间为__________.
答案：(－∞，0]
9.已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝__________.
解析：当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－x＋1，
又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x－1.
答案：x－1
10.已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是__________.
解析：由题意可知|a|<3，解得－3答案：(－3，3)
三、解答题
11.已知函数f(x)＝
(1)画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间.
解析：(1)函数f(x)的大致图象如图所示.
(2)由函数f(x)的图象得f(x)的单调递减区间为(2，4]，最大值f(x)max＝f(2)＝2.
12.(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象，并求出f(3)的值；
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象，并比较f(1)与f(3)的大小.
解析：(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，－f(－x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.
(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(－x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3).
　　　
13.已知函数f(x)＝log2|x|.
(1)求f(－)的值；
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明.
解析：(1)f(－)＝log2＝.
(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝log2|x1|－log2|x2|＝log2.
因为0所以log2<0，即f(x1)所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
14.函数f(x)＝x＋.
(1) 判断并证明函数的奇偶性；
(2) 若a＝2，证明函数在(2，＋∞)上单调递增；
(3) 对任意的x∈(1，2)，f(x)>3恒成立，求a的取值范围.
解析：(1)证明：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
对于任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f(－x)＝－x＋＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数.
(2)证明：若a＝2，则f(x)＝x＋.
设任意x1，x2∈(2，＋∞)，且2则f(x2)－f(x1)＝x2＋－x1－ ＝(x2－x1)＋＝，
因为20，x1x2>4，即x1x2－4>0，
所以>0，即f(x2)>f(x1)，
所以函数在(2，＋∞)上单调递增.
(3)由题意，对于任意x∈(1，2)，x＋>3恒成立.
从而对于任意x∈(1，2)，>3－x恒成立， 即对于任意x∈(1，2)，a>恒成立.
设g(x)＝，则当x＝时g(x)有最大值，所以a>.
第5讲 指数函数、对数函数与幂函数
一、选择题
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y＝log2x B.y＝ln(x＋1) C.y＝logxe D.y＝logxx
答案：A
2.函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是( )
A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1]
答案：B
3.对数函数的图象过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为( )
A.y＝log5x B.y＝x C.y＝x D.y＝log3x
答案：A
解析：设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1).由于对数函数的图象过点M(125，3)，
所以3＝loga125，得a＝5.
所以对数函数的解析式为y＝log5x.
4.若函数f(x)＝2x，x∈[0，3]，则f(x)的值域是( )
A.[0，8] B.[0，6] C.[1，6] D.[1，8]
答案：D
5.指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则( )
A.a<0，b<0 B.a<0，b>0 C.01 D.0答案：C
解析：结合指数函数图象的特点可知01.
6.函数y＝ax－3＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点( )
A.(0，1) B.(2，1) C.(3，1) D.(3，2)
答案：D
解析： 指数函数的图象必过点(0，1)，即a0＝1，由此变形得a3－3＋1＝2，所以所求函数图象必过点(3，2).故选D.
7.已知函数f(x)＝设f(0)＝a，则f(a)＝( )
A.2 B.1 C. D.0
答案：C
解析： 因为函数f(x)＝f(0)＝03－1＝－1＝a，则a＝－1，
所以f(a)＝f(－1)＝2－1＝，故选C.
二、填空题
8.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，则f()＝______.
解析：幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，则2α＝4，解得α＝2，所以f(x)＝x2，所以f()＝()2＝2.
答案：2
9.函数y＝ax＋2－3(a>0且a≠1)的图象过定点__________.
答案：(－2，－2)
10.已知a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系是__________.
解析： 因为a＝log0.70.8＞0，b＝log1.10.9＜0，c＝1.10.9＞0，又c＝1.10.9＞1.10＞1，a＝log0.70.8＜log0.70.7＝1，所以c＞a＞B.
答案：c＞a＞b
三、解答题
11.计算与化简：
(1)()0＋2－2×()－－(0.01)0.5；
(2)lg 500＋lg－lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2.
解析：(1)原式＝1＋×－0.1＝.
(2)原式＝lg(500××)＋50＝2＋50＝52.
12.已知函数f(x)＝a|x|，g(x)＝a－|x|，其中a>0，且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若不等式f(x)≥g(x)对x∈R都成立，求a的取值范围.
解析： (1)因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝a|－x|＝a|x|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数.
(2)由题意可得a|x|≥a－|x|，即a2|x|≥1对 x∈R恒成立，
所以a>1.
13.已知函数f(x)＝(c为常数).
(1)若1为函数f(x)的零点， 求c的值；
(2)已知函数g(x)＝f(ex)－， 求函数g(x)的零点.
解析：(1)因为1为f(x)的一个零点，所以f(1)＝0，即＝0，解得c＝1.
(2)令g(x)＝f(ex)－＝－＝0，所以ex＝2，即x＝ln 2.
14.已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)·x－2m－1在(0，＋∞)上单调递增，又函数g(x)＝2x＋.
(1)求实数m的值，并说明函数g(x)的单调性；
(2)若不等式g(1－3t)＋g(1＋t)≥0恒成立，求实数t的取值范围.
解析： (1)因为f(x)是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.
又因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以－2m－1>0，即m<－.
所以m＝－1，则g(x)＝2x－.
因为函数y＝2x与y＝－均在R上单调递增，所以g(x)在R上单调递增.
(2)因为g(－x)＝2－x－＝－(2x－)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数，
所以不等式g(1－3t)＋g(1＋t)≥0可化为g(1－3t)≥－g(1＋t)＝g(－1－t)，
由(1)知g(x)在R上单调递增，所以1－3t≥－1－t，解得t≤1.
故实数t的取值范围是(－∞，1].
第6讲 三角函数（一）
一、选择题
1. 下列说法中正确的是( )
A.第一象限角是锐角 B.锐角是第一象限角
C.小于90°的角是锐角 D.[0°，90°)的角是第一象限角
答案：B
2.已知sin θ＝－，且θ为第三象限角，则tan θ＝( )
A. B.－ C. D.－
答案：C
3.设α的终边上有一点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值是( )
A.－ B. C.－或 D.1
答案：A
4.下列函数中，为偶函数的是( )
A.f(x)＝sin x B.f(x)＝tan x C.f(x)＝1＋sin x D.f(x)＝cos x
答案：D
5.周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为( )
A. 9 B. C. D.
答案：D
解析：设扇形的半径为r，弧长为l，由题意可知所以所以S＝lr＝.
6.在[0，2π]上满足sin x≥的x的取值范围是( )
A.[0，] B.[，] C.[，] D.[，π]
答案：B
7.计算sin(－)cos tan(－)的值为( )
A. B.－ C. D.－
答案：B
解析：sin(－)costan(－)＝sin(－2π－)cos(6π＋)tan(－π－)
＝costan＝(－)×＝－.
二、填空题
8.比较大小：sin 25°________sin 23°(填“＞”或“＜”).
答案：>
9.已知函数f(x)＝cosωx，x∈R(其中ω>0)的最小正周期为π，则ω＝__________.
答案：2
10.已知tanα＝2，则＝__________.
解析：将中的分子分母同时除以cos α可得＝＝4.
答案：4
三、解答题
11.若sin α cos α＜0，sin α tan α＜0，且 ＋＝2，求tanα.
解析： 因为sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，所以α是第二象限角，
所以 ＋＝＋＝＝＝2，
所以cos α＝－，则sin α＝，tan α＝－1.
12.已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若tan(α－)＝－2，且α为第一象限角，求f(α)的值.
解析：(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)若tan(α－)＝＝－＝－2，所以＝2.
由sin2α＋cos2α＝1，且α为第一象限角，得cos α＝，所以f(α)＝－cos α＝－.
13.已知函数y＝sin(x－)，x∈R.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的最大值及取最大值时x的值.
解析： (1)令－＋2kπ≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得－＋2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调递增区间为[－＋2kπ，2kπ＋](k∈Z).
(2)当x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，最大值为1.
14.已知函数f(x)＝sin(2x－)＋.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围.
解析： (1)T＝π.
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得 －＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(3)由x∈[0，]得2x－∈[－，]，所以sin(2x－)∈[－，1]，
所以f(x)∈[0，].
第7讲 三角函数（二）
一、选择题
1.化简：(sin α＋cos α)2＝( )
A.1＋sin 2α B.1－sin α C.1－sin 2α D.1＋sin α
答案：A
2.cos2－sin2＝( )
A.1 B. C. D.
答案：C
3.已知角α的终边经过点(－3，4)，则sin(α＋)的值为( )
A. B.－ C. D.－
答案：C
解析： 因为角α的终边经过点(－3，4)，则sin α＝，cos α＝－，所以sin(α＋)＝sin αcos＋cos αsin＝×－×＝.
4.已知sin 2α＝sin α，α∈(0，π)，则cos α＝( )
A.－ B.－ C. D.
答案：C
5.函数f(x)＝sincos的最小正周期为( )
A.1 B.2 C.π D.2π
答案：D
6.函数y＝3cos(x－)的最小正周期为( )
A.π B.2π C.3π D.4π
答案：D
解析：函数y＝3cos(x－)的最小正周期为T＝＝4π，故选D.
7.为了得到函数y＝cos(x＋)的图象只需将y＝cos x的图象向左平移( )
A.个单位长度 B.个单位长度 C.个单位长度 D.个单位长度
答案：D
二、填空题
8.已知tan α，tan β是方程2x2＋3x－7＝0的两根，则tan(α＋β)＝__________.
答案：－
9.cos215°＝__________.
解析：cos215°＝＝＝.
答案：
10.设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a，已知当x∈[0，]时，f(x)的最小值为－2，则a＝__________.
解析：f(x)＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin(2x＋)＋a＋1.
因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，].
所以sin(2x＋)∈[－，1]，
所以f(x)min＝2×(－)＋a＋1＝－2.所以a＝－2.
答案：－2
三、解答题
11.已知α是第二象限角，且sin α＝.
(1)求cos 2α的值；
(2)求sin(α＋)的值.
解析： (1)因为α是第二象限角，sin α＝，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.
(2)因为α是第二象限角，故cos α＝－＝－.
所以sin(α＋)＝×＋(－)×＝.
12.已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(，).
(1)若a＝b，求tan x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b＋2，求f(x)的值域.
解析：(1)由a＝b，得sin x＝cos x＝，
所以tan x＝＝1.
(2)f(x)＝a·b＋2＝sin x＋cos x＋2＝sin(x＋)＋2.
因为sin(x＋)∈[－1，1]，
所以f(x)的值域为[1，3].
13.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象过点P(，0)，且图象上与点P最近的一个最低点是Q(－，－2).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(α＋)＝，且α为第三象限角，求sin α＋cos α的值.
解析：(1)根据题意可知，A＝2，＝－(－)＝，
所以T＝＝π，解得ω＝2.
又f()＝0，所以sin(×2＋φ)＝0，而|φ|<，所以φ＝－.
所以f(x)＝2sin(2x－).
(2)由f(α＋)＝，可得2sin 2α＝，即sin 2α＝.
因为α为第三象限的角，所以sin α＋cos α＝－＝－＝－.
14.已知函数f(x)＝cos(x－)－2sin2＋1.
(1)求f(0)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期；
(3)求函数f(x)的最大值，并求出取到最大值时x的集合.
解析：(1)f(0)＝cos(－)－2sin20＋1＝1.
(2)f(x)＝cos(x－)－2sin2＋1＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，
所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.
(3)由(2)得f(x)＝sin(x＋)，
所以当x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z时，f(x)取最大值，
所以f(x)的最大值为，对应的x值为{x＝＋2kπ，k∈Z}.第1讲 集合与常用逻辑用语
一、选择题
1.已知集合A＝{x∈R|1A.1∈A B.2 A C.3∈A D.4 A
2.已知集合A＝{0，2，4}，B＝{－2，0，2}，则A∪B＝( )
A.{0，2} B.{－2，4} C.[0，2] D.{－2，0，2，4}
3.已知集合A＝，B＝，则A∩B＝( )
A.{1} B.{2} C.{1，2} D.{－2，0，1，2}
4.下列命题中的假命题是( )
A. x∈R，|x|＝0 B. x∈R，2x－10＝1
C. x∈R，x3>0 D. x∈R，x2＋1>0
5.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则 UA＝( )
A.{1，3，5，6} B.{2，3，7} C.{2，4，7} D.{2，5，7}
6.已知集合A＝，B＝，则A∩B＝( )
A.(－∞，2) B.(0，2) C.[0，2) D.(0，＋∞)
7.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
二、填空题
8.已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝__________.
9.若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是__________.
三、解答题
11.判断下列命题的真假.
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立.
12.已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，U＝R.求：
(1)A∪B；
(2)( UA)∩B.
13.已知命题p： x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，求实数m的取值范围.
14.设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}.
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系.
(2)若B A，求实数a组成的集合C.
第2讲 一元二次函数、方程和不等式
一、选择题
1.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为( )
A.a＋b<0 B.a＋b>0 C.a＋b≤0 D.a＋b≥0
2.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是( )
A. B. C. D.
3.已知a>b>0，则下列不等式中正确的是( )
A.|a|<|b| B.< C.－a>－b D.a24.已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则xy的最大值是( )
A.1 B. C. D.
5.已知x>0，当x＋取最小值时，x的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.16
6.若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( )
A.－n＜m＜n＜－m B.－n＜m＜－m＜n C.m＜－n＜－m＜n D.m＜－n＜n＜－m
7.下列不等式的解集是空集的是( )
A.x2－x＋1>0 B.－2x2＋x＋1>0 C.2x－x2>5 D.x2＋x>2
二、填空题
8.设A＝x2＋2，B＝2x，则A与B的大小关系是A__________(填“>”“<”或“＝”)B.
9.给出下列命题：①a>b ac2>bc2；②a>|b| a2>b2；③a>b a3>b3；④|a|>b a2>b2.其中正确命题的序号是__________.
10.若mn＝2，那么m＋n的最小值是__________.
三、解答题
11.已知集合A＝{x|(x－a)(x＋a＋1)≤0}，B＝{x|x≤3或x≥6}.
(1)当a＝4时，求A∪B；
(2)当a>0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.
12.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(013.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a m，房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用.
(1)把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域.
(2)若a≥4，当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？
14.已知函数f(x)＝x2＋3x＋m.
(1)当m＝－4时，解不等式f(x)≤0；
(2)对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数m的取值范围.
函数的概念和性质（一）
一、选择题
1.区间(0，1]等于( )
A.{0，1} B.{(0，1]} C.{x|02.下列函数中定义域为R的是( )
A.y＝ B.y＝(x－1)0 C.y＝x2＋3 D.y＝
3.下列图象中表示函数图象的是( )
4.已知四组函数：
①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
其中是同一个函数的是( )
A.没有 B.仅有② C.②④ D.②③④
5.已知函数f(x)＝，且f(t)＝6，则t＝( )
A. B.－ C. D.－
6.购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为( )
A.y＝2x B.y＝2x(x∈R)
C.y＝2x(x∈{1，2，3，…}) D.y＝2x(x∈{1，2，3，4})
7.已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是( A )
A.f(x)＝x2＋6x B.f(x)＝x2＋8x＋7
C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10
二、填空题
8.已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5，4)，则实数m的值为__________.
9.已知函数f(x)＝则f(3)＝__________.
10.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是__________.
三、解答题
11.已知函数y＝f(x)(x∈[0，6.5])的图象如图所示.根据图象写出：
(1)函数y＝f(x)的解析式；
(2)使f(x)＝125的x值.
12.若函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－1)，f[f(－1)]的值；
(2)若f(a)＝3，求a的值.
13.已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(12)的值.
14.画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)求函数f(x)的值域.
函数的概念和性质（二）
一、选择题
1.函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是( )
A.[－4，4] B.[－4，－3]∪[1，4] C.[－3，1] D.[－3，4]
2.若函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A.f(3)f(5) D.f(3)≥f(5)
3.下列函数中，在区间(0，2)上单调递增的是( )
A.y＝5－x B.y＝x2＋2 C.y＝ D.y＝－|x|
4.已知函数f(x)＝－x＋4，x∈[－5，1]，则f(x)的最小值为( )
A.－5 B.9 C.1 D.3
5.下列函数中是奇函数的为( )
A.y＝2x B.y＝－x2 C.y＝()x D.y＝log3x
6.下列函数为奇函数，且在(－∞，0)上单调递增的函数是( )
A.f(x)＝x－2 B.f(x)＝x－1 C.f(x)＝ D.f(x)＝x3
7.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，则a的取值范围是( )
A.[－3，＋∞) B.(－∞，－3] C.(－∞，5] D.[3，＋∞)
二、填空题
8.函数f(x)＝x2的单调递减区间为__________.
9.已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝__________.
10.已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是__________.
三、解答题
11.已知函数f(x)＝
(1)画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间.
12.(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象，并求出f(3)的值；
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象，并比较f(1)与f(3)的大小.
13.已知函数f(x)＝log2|x|.
(1)求f(－)的值；
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明.
14.函数f(x)＝x＋.
(1) 判断并证明函数的奇偶性；
(2) 若a＝2，证明函数在(2，＋∞)上单调递增；
(3) 对任意的x∈(1，2)，f(x)>3恒成立，求a的取值范围.
第5讲 指数函数、对数函数与幂函数
一、选择题
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y＝log2x B.y＝ln(x＋1) C.y＝logxe D.y＝logxx
2.函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是( )
A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1]
3.对数函数的图象过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为( )
A.y＝log5x B.y＝x C.y＝x D.y＝log3x
4.若函数f(x)＝2x，x∈[0，3]，则f(x)的值域是( )
A.[0，8] B.[0，6] C.[1，6] D.[1，8]
5.指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则( )
A.a<0，b<0 B.a<0，b>0 C.01 D.06.函数y＝ax－3＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点( )
A.(0，1) B.(2，1) C.(3，1) D.(3，2)
7.已知函数f(x)＝设f(0)＝a，则f(a)＝( )
A.2 B.1 C. D.0
二、填空题
8.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，则f()＝______.
9.函数y＝ax＋2－3(a>0且a≠1)的图象过定点__________.
10.已知a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系是__________.
三、解答题
11.计算与化简：
(1)()0＋2－2×()－－(0.01)0.5；
(2)lg 500＋lg－lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2.
12.已知函数f(x)＝a|x|，g(x)＝a－|x|，其中a>0，且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若不等式f(x)≥g(x)对x∈R都成立，求a的取值范围.
13.已知函数f(x)＝(c为常数).
(1)若1为函数f(x)的零点， 求c的值；
(2)已知函数g(x)＝f(ex)－， 求函数g(x)的零点.
14.已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)·x－2m－1在(0，＋∞)上单调递增，又函数g(x)＝2x＋.
(1)求实数m的值，并说明函数g(x)的单调性；
(2)若不等式g(1－3t)＋g(1＋t)≥0恒成立，求实数t的取值范围.
第6讲 三角函数（一）
一、选择题
1. 下列说法中正确的是( )
A.第一象限角是锐角 B.锐角是第一象限角
C.小于90°的角是锐角 D.[0°，90°)的角是第一象限角
2.已知sin θ＝－，且θ为第三象限角，则tan θ＝( )
A. B.－ C. D.－
3.设α的终边上有一点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值是( )
A.－ B. C.－或 D.1
4.下列函数中，为偶函数的是( )
A.f(x)＝sin x B.f(x)＝tan x C.f(x)＝1＋sin x D.f(x)＝cos x
5.周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为( )
A. 9 B. C. D.
6.在[0，2π]上满足sin x≥的x的取值范围是( )
A.[0，] B.[，] C.[，] D.[，π]
7.计算sin(－)cos tan(－)的值为( B )
A. B.－ C. D.－
二、填空题
8.比较大小：sin 25°________sin 23°(填“＞”或“＜”).
9.已知函数f(x)＝cos ωx，x∈R(其中ω>0)的最小正周期为π，则ω＝__________.
10.已知tan α＝2，则＝__________.
三、解答题
11.若sin α cos α＜0，sin α tan α＜0，且 ＋＝2，求tan α.
12.已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若tan(α－)＝－2，且α为第一象限角，求f(α)的值.
13.已知函数y＝sin(x－)，x∈R.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的最大值及取最大值时x的值.
14.已知函数f(x)＝sin(2x－)＋.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围.
第7讲 三角函数（二）
一、选择题
1.化简：(sin α＋cos α)2＝( )
A.1＋sin 2α B.1－sin α C.1－sin 2α D.1＋sin α
2.cos2－sin2＝( )
A.1 B. C. D.
3.已知角α的终边经过点(－3，4)，则sin(α＋)的值为( )
A. B.－ C. D.－
4.已知sin 2α＝sin α，α∈(0，π)，则cos α＝( )
A.－ B.－ C. D.
5.函数f(x)＝sincos的最小正周期为( )
A.1 B.2 C.π D.2π
6.函数y＝3cos(x－)的最小正周期为( )
A.π B.2π C.3π D.4π
7.为了得到函数y＝cos(x＋)的图象只需将y＝cos x的图象向左平移( )
A.个单位长度 B.个单位长度 C.个单位长度 D.个单位长度
二、填空题
8.已知tan α，tan β是方程2x2＋3x－7＝0的两根，则tan(α＋β)＝__________.
9.cos215°＝__________.
10.设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a，已知当x∈[0，]时，f(x)的最小值为－2，则a＝__________.
三、解答题
11.已知α是第二象限角，且sin α＝.
(1)求cos 2α的值；
(2)求sin(α＋)的值.
12.已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(，).
(1)若a＝b，求tan x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b＋2，求f(x)的值域.
13.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象过点P(，0)，且图象上与点P最近的一个最低点是Q(－，－2).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(α＋)＝，且α为第三象限角，求sin α＋cos α的值.
14.已知函数f(x)＝cos(x－)－2sin2＋1.
(1)求f(0)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期；
(3)求函数f(x)的最大值，并求出取到最大值时x的集合.