第8讲 平面向量
一、选择题
1.已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，1)，则3a＋b＝( )
A.(2，7) B.(－2，7) C.(－2，－5) D.(2，－5)
答案：B
2.给出下列命题：
①向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一直线上；
②两个单位向量是相等向量；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④若|a|＝|b|，则a＝b.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：A
3.在平行四边形ABCD中，＋－＝( )
A. B. C. D.
答案：B
解析： 在平行四边形ABCD中，＋－＝＋＋＝＝.
故选B.
4.已知非零向量，不共线，且＝，则向量＝( )
A.＋ B.＋ C.－ D.－
答案：A
解析：＝ －＝(－) ＝＋. 故选A.
5.已知向量a＝(x，1)，b＝(4，2)，c＝(6，3)，若c＝a＋b，则x＝( )
A.－10 B.10 C.－2 D.2
答案：D
6.已知向量a与b的夹角为，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝( )
A.6 B.6 C.4 D.6
答案：D
解析： 因为向量a与b的夹角为，且|a|＝3，|b|＝4，
所以a·b＝|a||b|cos＝3×4×＝6.
7.已知两个单位向量a，b满足a·b＝，则＝( )
A. B. C. D.
答案：A
二、填空题
8.已知向量a＝(1，2)，b＝(x，3)，且a⊥b，则实数x＝__________.
答案：－6
9.已知|a|＝3，|b|＝4，(a＋b)·(a＋2b)＝23，那么a与b的夹角为__________.
答案：120°
10.已知向量a，b不共线，实数x，y满足xa＋(9－y)b＝(y＋7)a＋xb，则x＝__________，
y＝__________.
解析： 由题意可得解得
答案：8 1
三、解答题
11.已知向量＝(2，1)，＝(－1，k)，＝(3，4).
(1)若＝(4，6)，求k的值；
(2)若A，C，D三点共线，求k的值.
解析： (1)因为＝(2，1)，＝(－1，k)，＝(3，4)，
所以＝＋＋＝(4，k＋5)＝(4，6)，
所以k＋5＝6，所以k＝1.
(2)因为＝＋＝(1，k＋1)，＝(3，4)，且A，C，D三点共线，
所以∥，所以4－3(k＋1)＝0，所以k＝.
12.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，＝2，＝2.
(1)试用和表示；
(2)求·的值.
解析： (1)因为＝2，＝2，
所以＝＋＝＋＝＋－＝(＋).
(2)因为AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，所以·＝2×3×＝3，
＝＋＝＋(＋)＝＋，
所以·＝(＋)·(＋)＝2＋2＋·＝×9＋×4＋×3＝.
13.已知向量a＝(x，2)，b＝(2，4).
(1)若a∥b，求实数x的值；
(2)若|a＋b|＝6，求实数x的值.
解析：(1)根据题意，向量a＝(x，2)，b＝(2，4).
若a∥b，则有4x＝4，解得x＝1.
(2)根据题意，向量a＝(x，2)，b＝(2，4)，则a＋b＝(x＋2，6)，
则|a＋b|＝＝6，解得x＝－2.
14.已知向量a＝(2sin x，1)，b＝(2cos x，1)，x∈R.
(1)当x＝时，求向量a＋b的坐标；
(2)设函数f(x)＝a·b，将函数f(x)图象上的所有点向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，当
x∈[0，]时，求函数g(x)的最小值.
解析： (1)当x＝时，2sin x＝2cos x＝，
所以a＝(，1)，b＝(，1)，所以a＋b＝(2，2).
(2)因为f(x)＝4sin x cos x＋1＝2sin 2x＋1，
所以g(x)＝2sin[2(x＋)]＋1＝2sin(2x＋)＋1＝2cos 2x＋1，
当0≤x≤时，0≤2x≤π，所以g(x)的最小值为－1.
第9讲 平面向量的应用及复数
一、选择题
1.设i为虚数单位，则复数3－i的虚部是( )
A.－1 B.i C.1 D.i
答案：A
2.复数z＝3＋4i所对应的点位于复平面的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案：A
3.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为( )
A.7 B.10 C.14 D.70
答案：D
解析：F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70.
4.在△ABC中，已知b2＋c2－a2＝bc，则角A为( )
A. B. C. D.或
答案：B
5.已知点A(－2，－3)，B(19，4)，C(－1，－6)，则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案：C
解析：＝(19，4)－(－2，－3)＝(21，7)，＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，
·＝21－21＝0，所以⊥，则∠A＝90°，
又||≠||，所以△ABC为直角三角形.
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b＝2a·cos C，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
答案：A
解析：由正弦定理得sin B＝2sin Acos C，而B＝π－(A＋C)，
所以sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝2sin Acos C，即sin(A－C)＝0，
又0
7.设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A.1 B. C. D.2
答案：B
解析：因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝.
二、填空题
8.已知i为虚数单位，复数z满足z(2－i)＝i，则z＝__________.
答案：－＋i
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，b＝3，sin C＝1，则△ABC的面积为__________.
答案：6
10.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为__________m.
解析：由题意知，A＝B＝30°，
所以C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理，得＝，
即AB＝＝＝4(m).
答案：4
三、解答题
11.已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值.
解析：(1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
12.在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且a＝2csin A.
(1)求角C的大小；
(2)若a＝2，且△ABC的面积为，求c的值.
解析： (1)由正弦定理得sin A＝2sin Csin A.
因为A，C是锐角，所以sin C＝，故C＝60°.
(2)因为S△ABC＝absin C＝，所以b＝3.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝7.
所以c＝.
13.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2.
(1)求内角B的大小；
(2)设函数f(x)＝2sin(x＋B)，求f(x)的最大值，并指出此时x的值.
解析： (1)因为AB＝AC＝2，BC＝2，所以cos B＝＝，
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由(1)知f(x)＝2sin(x＋)，
当x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)的最大值为2.
14.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且2asin B＝B.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，求△ABC周长l的最大值.
解析：(1)由题及正弦定理得2sin Asin B＝sin B，
因为sin B≠0，所以sin A＝，又A∈(0，)，所以A＝.
(2)由a＝3，A＝，得＝＝＝＝2，
所以b＝2sin B，c＝2sin C，
所以l＝a＋b＋c＝2sin B＋2sin C＋3＝2sin B＋2sin(－B)＋3
＝3sin B＋3cos B＋3＝6sin(B＋)＋3，
当B＝时，l取最大值9.
所以△ABC的周长l的最大值为9.
第10讲 立体几何初步（一）
一、选择题
1.如图所示的几何体是( )
A.圆锥 B.棱锥 C.圆台 D.棱柱
答案：D
2.直径为1的球的体积是( )
A.1 B. C. D.π
答案：B
解析：V＝πR3＝×π×＝.
3.如图，水平放置的平面图形ABCD的直观图A′B′C′D′，则其表示的图形ABCD是( )
A.任意梯形 B.直角梯形 C.任意四边形 D.平行四边形
答案：B
4.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，BD1＝2，则AA1＝( )
A.1 B. C.2 D.
答案：B
解析： AA1＝DD1＝＝＝.
5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A.16π B.20π C.24π D.32π
答案：C
6.已知圆锥的底面直径与高都是4，则该圆锥的侧面积为( )
A.4π B.4π C.4π D.8
答案：C
解析： 如图所示，圆锥的底面直径2r＝4，r＝2，高h＝4，
则母线长为l＝＝2，所以该圆锥的侧面积为πrl＝π×2×2＝4π.故选C.
二、填空题
7.底面半径为1，高为3的圆柱的体积等于__________.
答案： 3π
8.已知圆柱OO1及其侧面展开图如图所示，则该圆柱的体积为______.
答案：4π
9.如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为______.
答案：4∶9
10.设长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在同一个球面上，则该球的半径为________.
解析： 由长方体的体对角线等于其外接球的直径2R，可得(2R)2＝32＋22＋12，解得R＝.
答案：
三、解答题
11.如图，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.
解析：设圆台的母线长为l cm.
由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.
过轴SO作截面，如图所示.
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm，
所以＝，即＝＝.
解得l＝9，即圆台的母线长为9 cm.
12.圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的内接于球O，求球O的表面积和体积.
解析： 过圆柱上、下底面的圆心作球O的截面，则R＝＝，
所以S＝4πR2＝12π，V＝πR3＝4π.
13.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC.
(1)求证：AB⊥平面ACC1A1；
(2)已知AB＝3，AC＝4，且异面直线BB1与A1C所成的角为45°，求三棱柱ABC A1B1C1的体积.
解析： (1)证明：因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥AB，
又AB⊥AC，AC∩AA1＝A，所以AB⊥平面ACC1A1.
(2)因为B1B∥A1A，所以∠AA1C为异面直线BB1与A1C所成的角，所以∠AA1C＝45°，
又AA1⊥AC，所以AA1＝AC＝4，
所以VABC A1B1C1＝S△ABC·AA1＝×3×4×4＝24.
14.已知四棱锥S ABCD的棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形.
(1)求它的表面积；
(2)求它的体积.
解析： (1)因为四棱锥S ABCD的各棱长均为5，
底面为正方形，各侧面均为正三角形，
如图，设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB，SE＝，
所以S侧＝4S△SAB＝4××5×＝25，S底＝5×5＝25，
它的表面积S＝S底＋S侧＝25＋25.
(2)连接AC，BD，AC，BD交于点O，连接SO，EO，
则SO为四棱锥S ABCD的高，
所以OE＝，则SO＝，
故四棱锥的体积V＝×25×＝.
第11讲 立体几何初步（二）
一、选择题
1.在正方体ABCD A1B1C1D1中，如果E是A1C1的中点，那么直线CE垂直于( )
A.AC B.BD C.A1D D.A1D1
答案：B
2.下列说法不正确的是( )
A.空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B.同一平面的两条垂线一定共面
C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
答案：D
解析： 一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A不符合题意；由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B不符合题意；由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C不符合题意；由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则有无数个平面满足题意，故D符合题意.故选D.
3.如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AC，AD的中点，则直线CD与平面BEF的位置关系为( )
A.平行 B.在平面内 C.相交但不垂直 D.相交且垂直
答案：A
4.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( D )
A.直线AA1 B.直线A1B1 C.直线A1D1 D.直线B1C1
答案：D
解析:只有B1C1与EF在同一平面内，是相交的，而A，B，C中的直线与EF都是异面直线，故选D.
5.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线A1C1与BC所成的角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案：B
6.已知直线l，m，n及平面α，下列命题中不正确的是( )
A.若l∥m，m∥n，则l∥n B.若l⊥α，n∥α，则l⊥n
C.若l∥α，n∥α，则l∥n D.若l⊥m，m∥n，则l⊥n
答案：C
7.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A B C D
答案：A
二、填空题
8.以下有四个命题：
①m⊥α，n⊥α m∥n； ②m∥n，m∥α n∥α；
③m⊥α，n α m⊥n； ④m⊥a，m⊥b，a，b α m⊥α.
其中真命题是______.
答案：①③
9.以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为__________.
解析： 翻折后，原三角形的三个顶点构成等边三角形.
答案：60°
10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中把“底面为直角三角形的直棱柱”称为堑堵.今有一堑堵，其高为2，底面直角三角形的斜边长为4，则该堑堵的外接球的表面积为__________.
解析： 因为堑堵的高为2，底面直角三角形的斜边长为4，
所以该堑堵的外接球半径R＝＝，
所以该堑堵的外接球的表面积S＝4πR2＝4π×5＝20π.
答案：20π
三、解答题
11.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.
(1)求证：直线BD1∥平面PAC；
(2)求证：直线AC⊥直线BD1.
证明：(1)如图，连接BD，设BD∩AC＝O，连接OP.
因为在△BDD1中，O，P分别为BD，DD1的中点，所以OP∥BD1.
又因为OP 平面PAC且BD1 平面PAC，
所以BD1∥平面PAC.
(2)因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD.
又因为DD1⊥平面ABCD且AC 平面ABCD，所以AC⊥DD1，DD1∩BD＝D，
所以AC⊥平面BDD1.
又因为BD1 平面BDD1，所以AC⊥BD1.
12.如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB＝1，D1D＝.
(1)求直线D1B与平面ABCD所成角的大小；
(2)求证：AC⊥平面BB1D1D.
解析： (1)因为D1D⊥平面ABCD，
所以∠D1BD为直线D1B与平面ABCD所成的角.
因为tan∠D1BD＝＝＝1，
所以∠D1BD＝45°.
(2)证明：因为D1D⊥平面ABCD，所以DD1⊥AC.
又底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD.
又因为DD1∩BD＝D，
所以AC⊥平面BB1D1D.
13.如图，已知四棱锥P ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，
AB∥CD，CD＝2AB，BC为直角腰.
(1)求证：BC⊥PA；
(2)若BC＝2，AD＝2，PB＝2，求四棱锥P ABCD的体积.
解析：(1)证明：因为PB⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PB⊥BC.
又BC为直角梯形的直角腰，
所以AB⊥BC，且PB∩AB＝B，
所以BC⊥平面PBA.
又因为PA 平面PBA，
所以BC⊥PA.
(2)取CD的中点E，连接AE.
因为四边形ABCD为直角梯形，CD＝2AB，
所以BC//=AE，
又AD＝2，BC＝2，
所以DE＝2，CD＝4，
所以S梯形ABCD＝(2＋4)×2＝6，
V四棱锥P ABCD＝×SABCD×PB＝×6×2＝4.
14.如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥平面α，C为圆周上不同于A，B的任意一点，M，N，Q分别是PA，PC，PB的中点.
(1)求证：MN∥平面α；
(2)求证：平面MNQ∥平面α.
证明：(1)因为M，N分别是PA，PC的中点，
所以MN∥AC.
又因为MN α，AC α，
所以MN∥平面α.
(2)由(1)知MN∥平面α，
同理可证NQ∥平面α.
因为MN 平面MNQ，NQ 平面MNQ，且MN∩NQ＝N，
所以平面MNQ∥平面α.
第12讲 统计
一、选择题
1.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件、80件、60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )
A.13 B.9 C.12 D.10
答案：A
2.某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是( )
A.在公园调查了1000名老年人的健康状况
B.在医院调查了1000名老年人的健康状况
C.调查了10名老年邻居的健康状况
D.利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况
答案：D
解析： 由抽样的特征，抽取样本就是要考虑样本具有广泛性与代表性，而公园、医院、10名老年邻居地理位置比较特殊，不具备广泛性与代表性，故A，B，C错误，利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况具有广泛性与代表性，故D正确.
3.为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是( )
A.总体 B.个体
C.总体的一个样本 D.样本容量
答案：C
解析： 为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个过程中，200个零件的长度是总体的一个样本，一个零件的长度是个体，200是样本容量，所有零件的长度是总体.
4.在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差
答案：D
5.一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：[25，25.3)，6；[25.3，25.6)，4；[25.6，25.9)，10；[25.9，26.2)，8；[26.2，26.5)，8；[26.5，26.8]，4.则样本在[25，25.9)上的频率为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析： [25，25.9)包括[25，25.3)，6；[25.3，25.6)，4；[25.6，25.9)，10，频数之和为20，
则频率为＝.
6.下列关于50%分位数的说法正确的是( )
A.50%分位数不是中位数
B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C.它是四分位数
D.它只适用于总体是离散型的数据
答案：C
解析：由百分位数的意义可知选项A，B，D错误.
7.生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域PM2.5主要来自工业和民用污染，其中冬季民用污染占比超过50%，最主要的源头是散煤燃烧.因此，推进煤改清洁能源成为三地协同治理大气污染的重要举措.2018年是北京市压减燃煤收官年，450个平原村完成了煤改清洁能源，全市集中供热清洁化比例达到99%以上，平原地区基本实现“无煤化”，为了解“煤改气”后居民在采暖季里每月用气量的情况，现从某村随机抽取100户居民进行调查，发现每户的用气量都在150立方米到450立方米之间，得到如图所示的频率分布直方图.在这些用户中，用气量在区间[300，350)的户数为( )
A.5 B.15 C.20 D.25
答案：D
解析： 依题意，由频率分布直方图可知，用气量在[300，350)的频率为0.005×50＝0.25，
所以100户居民中用气量在区间[300，350)的户数为100×0.25＝25.
二、填空题
8.样本数据1，5，2，3，0的中位数是__________.
答案：2
9.昆明市某公司有高层管理人员、中层管理人员、一般员工共1000名，现用分层随机抽样的方法从公司的员工中抽取100人进行收入状况调查.若该公司有中层管理人员80名，则从中层管理人员中应抽取的人数为__8__.
解析： 由题意可得＝，所以中层管理员人数为×80＝8.
答案：8
10.如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10)，[10，15)，[15，20].估计样本数据的第60百分位数是________.
解析： 第1组[5，10)的频率为0.04×(10－5)＝0.20；第2组[10，15)的频率为0.10×5＝0.50，所以第60百分位数是10＋5×＝14.
答案：14
三、解答题
11.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图
(如图).已知上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].
(1)求直方图中x的值；
(2)如果上学所需时间在[60，100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿.
解析： (1)由直方图可得到20x＋0.025×20＋0.0065×20＋0.003×2×20＝1，所以x＝0.0125.
(2)由直方图可知，新生上学所需时间在[60，100]的频率为0.003×2×20＝0.12，
所以估计全校新生上学所需时间在[60，100]的概率为0.12.
因为800×0.12＝96，
所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿.
12.某学校为了解学生对食堂用餐的满意度，从全校在食堂用餐的3000名学生中，随机抽取100名学生对食堂用餐的满意度进行评分.根据学生对食堂用餐满意度的评分，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)规定：学生对食堂用餐满意度的评分不低于80分为“满意”，试估计该校在食堂用餐的3000名学生中“满意”的人数.
解析： (1)由频率分布直方图的矩形面积和为1可知：(0.040＋0.030＋0.015＋a＋0.005)×10＝1，
所以a＝0.010.
(2)样本中不低于80分的频率为(0.040＋0.030)×10＝0.7，
由样本估计总体可得3000名学生中不低于80分的频率约为0.7，
所以满意的人数为0.7×3000＝2100.
故该校在食堂用餐的3000名学生中“满意”的人数约为2100人.
13.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：
[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率.
解析：(1)由题意，(0.004＋a＋0.022＋0.028＋0.022＋0.018)×10＝1，解得a＝0.006.
(2)由(1)知：50名职工中[40，50)，[50，60)分别有2人、3人，
若[40，50)为职工A，B，[50，60)为职工1，2，3，
所以随机抽取2人的可能组合{A，B}，{A，1}，{A，2}，{A，3}，{B，1}，{B，2}，{B，3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共10种，其中2人的评分都在[40，50)有{A，B}，即1种，
所以2人的评分都在[40，50)的概率为.
14.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图所示的频率分布直方图.观察图中的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
(2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
解析：(1)众数是频率分布直方图中最高小矩形中点的横坐标，所以众数为m＝75.
前3个小矩形面积为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4<0.5，
前4个小矩形的面积为0.4＋0.03×10＝0.7>0.5，
所以中位数n＝70＋≈73.3.
(2)依题意，60及60以上的分数在第三、四、五、六组，频率为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
所以估计这次考试的物理成绩的及格率是75%.
利用组中值估算抽样学生的平均分45×f1＋55×f2＋65×f3＋75×f4＋85×f5＋95×f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
估计这次考试物理成绩的平均分是71分.
第13讲 概率
一、选择题
1.试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为( )
A.{10，11，…，99} B.{1，2，…，18} C.{0，1，…，18} D.{1，2，…，10}
答案：B
解析：由题意可知，该试验的样本空间为{1，2，…，18}.
2.盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到红球的概率是( )
A. B. C. D.1
答案：C
解析：由题意可知盒子里装有大小相同的红球和白球共3 个，其中2个红球，所以从中随机取出1个球，取到红球的概率是.
3.“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A.买1000张彩票就一定能中奖 B.买1000张彩票中一次奖
C.买1000张彩票一次奖也不中 D.购买彩票中奖的可能性是
答案：D
4.若质检人员从编号为1，2，3，4，5的不同产品中抽取一种进行质量检测，则取到的产品编号大于2的概率是( )
A. B. C. D.
答案：B
5.下列各组事件中，不是互斥事件的是( )
A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班级期中考试数学成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分
C.播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒
D.检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%
答案：B
6.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则乙获胜的概率是( )
A. B. C. D.
答案：A
7.从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )
A.A与C互斥 B.B与C互斥 C.任何两个均互斥 D.任何两个均不互斥
答案：B
二、填空题
8.在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为__________.
解析：＝0.52.
答案：0.52
9.已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了__________次试验.
解析：设进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验.
答案：500
10.从2，3，8，9中任取两个不同数字，分别记为a，b，用(a，b)表示该试验的样本点，则事件“logab为整数”可表示为__________.
解析：只有log28＝3，log39＝2为整数.
答案：{(2，8)，(3，9)}
三、解答题
11.小宁某天乘火车从长沙到上海去办事，若当天从长沙到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
解析：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
三列火车至少有一列正点到达的概率为:
P2＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
12.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.
解析：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，
故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，A5B1，A5B2，A5B3}，共含15个样本点.
根据题意这些样本点出现的可能性相等.
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的样本点有A1B2，A1B3，共2个.
所以其概率为P＝.
13.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.
解析： 记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；
记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品的一种”.
(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)易知D＝(A)∪(B)，
则P(D)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
(3)易知＝，则P(E)＝P()＝P()P()＝0.5×0.4＝0.2.
故P(E)＝1－P()＝0.8.
14.为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；
(2)从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的2人来自同一组的概率.
解析： (1)由频率分布直方图知成绩在[70，80)的人数最多，估计众数为75.
(2)不低于80分的学生人数为(0.015＋0.010)×10×20＝5，
其中在[80，90)的人数为3，[90，100]的人数为2.
记[80，90)的3人为a，b，c，[90，100]的2人为d，e，任取2人有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，其中2人来自同一组的有ab，ac，bc，de，共4种，故所求概率为P＝＝.第8讲 平面向量
一、选择题
1.已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，1)，则3a＋b＝( )
A.(2，7) B.(－2，7) C.(－2，－5) D.(2，－5)
2.给出下列命题：
①向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一直线上；
②两个单位向量是相等向量；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④若|a|＝|b|，则a＝b.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.在平行四边形ABCD中，＋－＝( )
A. B. C. D.
4.已知非零向量，不共线，且＝，则向量＝( )
A.＋ B.＋ C.－ D.－
5.已知向量a＝(x，1)，b＝(4，2)，c＝(6，3)，若c＝a＋b，则x＝( )
A.－10 B.10 C.－2 D.2
6.已知向量a与b的夹角为，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝( )
A.6 B.6 C.4 D.6
7.已知两个单位向量a，b满足a·b＝，则＝( )
A. B. C. D.
二、填空题
8.已知向量a＝(1，2)，b＝(x，3)，且a⊥b，则实数x＝__________.
9.已知|a|＝3，|b|＝4，(a＋b)·(a＋2b)＝23，那么a与b的夹角为__________.
10.已知向量a，b不共线，实数x，y满足xa＋(9－y)b＝(y＋7)a＋xb，则x＝__________，y＝__________.
三、解答题
11.已知向量＝(2，1)，＝(－1，k)，＝(3，4).
(1)若＝(4，6)，求k的值；
(2)若A，C，D三点共线，求k的值.
12.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，＝2，＝2.
(1)试用和表示；
(2)求·的值.
13.已知向量a＝(x，2)，b＝(2，4).
(1)若a∥b，求实数x的值；
(2)若|a＋b|＝6，求实数x的值.
14.已知向量a＝(2sin x，1)，b＝(2cos x，1)，x∈R.
(1)当x＝时，求向量a＋b的坐标；
(2)设函数f(x)＝a·b，将函数f(x)图象上的所有点向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，当
x∈[0，]时，求函数g(x)的最小值.
第9讲 平面向量的应用及复数
一、选择题
1.设i为虚数单位，则复数3－i的虚部是( )
A.－1 B.i C.1 D.i
2.复数z＝3＋4i所对应的点位于复平面的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为( )
A.7 B.10 C.14 D.70
4.在△ABC中，已知b2＋c2－a2＝bc，则角A为( )
A. B. C. D.或
5.已知点A(－2，－3)，B(19，4)，C(－1，－6)，则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b＝2a·cos C，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
7.设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A.1 B. C. D.2
二、填空题
8.已知i为虚数单位，复数z满足z(2－i)＝i，则z＝__________.
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，b＝3，sin C＝1，则△ABC的面积为__________.
10.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为__________m.
三、解答题
11.已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值.
12.在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且a＝2csin A.
(1)求角C的大小；
(2)若a＝2，且△ABC的面积为，求c的值.
13.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2.
(1)求内角B的大小；
(2)设函数f(x)＝2sin(x＋B)，求f(x)的最大值，并指出此时x的值.
14.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且2asin B＝B.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，求△ABC周长l的最大值.
第10讲 立体几何初步（一）
一、选择题
1.如图所示的几何体是( )
A.圆锥 B.棱锥 C.圆台 D.棱柱
2.直径为1的球的体积是( )
A.1 B. C. D.π
3.如图，水平放置的平面图形ABCD的直观图A′B′C′D′，则其表示的图形ABCD是( )
A.任意梯形 B.直角梯形 C.任意四边形 D.平行四边形
4.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，BD1＝2，则AA1＝( )
A.1 B. C.2 D.
5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A.16π B.20π C.24π D.32π
6.已知圆锥的底面直径与高都是4，则该圆锥的侧面积为( )
A.4π B.4π C.4π D.8
二、填空题
7.底面半径为1，高为3的圆柱的体积等于__________.
8.已知圆柱OO1及其侧面展开图如图所示，则该圆柱的体积为______.
9.如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为______.
10.设长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在同一个球面上，则该球的半径为________.
三、解答题
11.如图，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.
12.圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的内接于球O，求球O的表面积和体积.
13.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC.
(1)求证：AB⊥平面ACC1A1；
(2)已知AB＝3，AC＝4，且异面直线BB1与A1C所成的角为45°，求三棱柱ABC A1B1C1的体积.
14.已知四棱锥S ABCD的棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形.
(1)求它的表面积；
(2)求它的体积.
第11讲 立体几何初步（二）
一、选择题
1.在正方体ABCD A1B1C1D1中，如果E是A1C1的中点，那么直线CE垂直于( )
A.AC B.BD C.A1D D.A1D1
2.下列说法不正确的是( )
A.空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B.同一平面的两条垂线一定共面
C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
3.如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AC，AD的中点，则直线CD与平面BEF的位置关系为( )
A.平行 B.在平面内 C.相交但不垂直 D.相交且垂直
4.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( )
A.直线AA1 B.直线A1B1 C.直线A1D1 D.直线B1C1
5.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线A1C1与BC所成的角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.已知直线l，m，n及平面α，下列命题中不正确的是( )
A.若l∥m，m∥n，则l∥n B.若l⊥α，n∥α，则l⊥n
C.若l∥α，n∥α，则l∥n D.若l⊥m，m∥n，则l⊥n
7.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A B C D
二、填空题
8.以下有四个命题：
①m⊥α，n⊥α m∥n；②m∥n，m∥α n∥α；
③m⊥α，n α m⊥n；④m⊥a，m⊥b，a，b α m⊥α.
其中真命题是______.
9.以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为__________.
10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中把“底面为直角三角形的直棱柱”称为堑堵.今有一堑堵，其高为2，底面直角三角形的斜边长为4，则该堑堵的外接球的表面积为__________.
三、解答题
11.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.
(1)求证：直线BD1∥平面PAC；
(2)求证：直线AC⊥直线BD1.
12.如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB＝1，
D1D＝.
(1)求直线D1B与平面ABCD所成角的大小；
(2)求证：AC⊥平面BB1D1D.
13.如图，已知四棱锥P ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，
AB∥CD，CD＝2AB，BC为直角腰.
(1)求证：BC⊥PA；
(2)若BC＝2，AD＝2，PB＝2，求四棱锥P ABCD的体积.
14.如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥平面α，C为圆周上不同于A，B的任意一点，M，N，Q分别是PA，PC，PB的中点.
(1)求证：MN∥平面α；
(2)求证：平面MNQ∥平面α.
第12讲 统计
一、选择题
1.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件、80件、60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )
A.13 B.9 C.12 D.10
2.某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是( )
A.在公园调查了1000名老年人的健康状况
B.在医院调查了1000名老年人的健康状况
C.调查了10名老年邻居的健康状况
D.利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况
3.为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是( )
A.总体 B.个体 C.总体的一个样本 D.样本容量
4.在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差
5.一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：[25，25.3)，6；[25.3，25.6)，4；[25.6，25.9)，10；[25.9，26.2)，8；[26.2，26.5)，8；[26.5，26.8]，4.则样本在[25，25.9)上的频率为( )
A. B. C. D.
6.下列关于50%分位数的说法正确的是( )
A.50%分位数不是中位数 B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C.它是四分位数 D.它只适用于总体是离散型的数据
7.生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域PM2.5主要来自工业和民用污染，其中冬季民用污染占比超过50%，最主要的源头是散煤燃烧.因此，推进煤改清洁能源成为三地协同治理大气污染的重要举措.2018年是北京市压减燃煤收官年，450个平原村完成了煤改清洁能源，全市集中供热清洁化比例达到99%以上，平原地区基本实现“无煤化”，为了解“煤改气”后居民在采暖季里每月用气量的情况，现从某村随机抽取100户居民进行调查，发现每户的用气量都在150立方米到450立方米之间，得到如图所示的频率分布直方图.在这些用户中，用气量在区间[300，350)的户数为( )
A.5 B.15 C.20 D.25
二、填空题
8.样本数据1，5，2，3，0的中位数是__________.
9.昆明市某公司有高层管理人员、中层管理人员、一般员工共1000名，现用分层随机抽样的方法从公司的员工中抽取100人进行收入状况调查.若该公司有中层管理人员80名，则从中层管理人员中应抽取的人数为____.
10.如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10)，[10，15)，[15，20].估计样本数据的第60百分位数是________.
三、解答题
11.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图).已知上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].
(1)求直方图中x的值；
(2)如果上学所需时间在[60，100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿.
12.某学校为了解学生对食堂用餐的满意度，从全校在食堂用餐的3000名学生中，随机抽取100名学生对食堂用餐的满意度进行评分.根据学生对食堂用餐满意度的评分，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)规定：学生对食堂用餐满意度的评分不低于80分为“满意”，试估计该校在食堂用餐的3000名学生中“满意”的人数.
13.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：
[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率.
14.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图所示的频率分布直方图.观察图中的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
(2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
第13讲 概率
一、选择题
1.试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为( )
A.{10，11，…，99} B.{1，2，…，18} C.{0，1，…，18} D.{1，2，…，10}
2.盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到红球的概率是( )
A. B. C. D.1
3.“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A.买1000张彩票就一定能中奖 B.买1000张彩票中一次奖
C.买1000张彩票一次奖也不中 D.购买彩票中奖的可能性是
4.若质检人员从编号为1，2，3，4，5的不同产品中抽取一种进行质量检测，则取到的产品编号大于2的概率是( )
A. B. C. D.
5.下列各组事件中，不是互斥事件的是( )
A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班级期中考试数学成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分
C.播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒
D.检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%
6.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则乙获胜的概率是( )
A. B. C. D.
7.从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )
A.A与C互斥 B.B与C互斥 C.任何两个均互斥 D.任何两个均不互斥
二、填空题
8.在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为__________.
9.已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了__________次试验.
10.从2，3，8，9中任取两个不同数字，分别记为a，b，用(a，b)表示该试验的样本点，则事件“logab为整数”可表示为__________.
三、解答题
11.小宁某天乘火车从长沙到上海去办事，若当天从长沙到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
12.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.
13.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.
14.为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；
(2)从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的2人来自同一组的概率.