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复习指南
数学
第3讲 函数的概念和性质（一）
必修第一册
实数集
任意一个数x
唯一
x
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
相同
相同
解析法
列表法
图象法
对应关系
并集
空集
探究点一：函数的概念
探究点二：求函数的定义域
探究点三：求函数的值
探究点四：同一个函数的判断
探究点五：分段函数的实际应用
探究点一： 函数的概念
探究点一： 函数的概念
【变式题】
探究点二：求函数的定义域
【变式题】
探究点三：求函数的值
【变式题】
探究点四：同一个函数的判断
【变式题】
探究点五：分段函数的实际应用
【变式题】
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第3讲 函数的概念与性质
1.函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的①______，如果对于集合A中的②________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有③____确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 ④__的取值范围
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2.区间的表示
设a，b∈R，且a
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ⑤______
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞)
3.同一个函数
前提条件：(1)定义域⑨____；(2)对应关系⑩____.
结论：这两个函数为同一个函数.
4.常见函数的值域
一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域为R.
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域为R，当a>0时，值域为[，＋∞)，
当a<0时，值域为(－∞，].
5.函数的表示法
函数表示的三种形式： ______、 ______、 ______.
6.分段函数
一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 ______的函数.
分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ____；各段函数的定义域的交集是 ____.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.
参考答案：①实数集；②任意一个数x；③唯一；④x；⑤[a，b]；⑥(a，b)；⑦[a，b)；⑧(a，b]；⑨相同；⑩相同； 解析法； 列表法； 图象法； 对应关系； 并集； 空集
函数的概念
【例1】(1)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )
A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D.A＝R，B＝{x|x>0}，f：A中的数取绝对值
(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：(1)按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0取绝对值，在集合B中没有元素与之对应；选项A符合函数的定义.
(2)①中，因为在集合M中当1②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②符合题意；
③中，x＝2对应元素y＝3 N，所以③不符合题意；
④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不符合题意.
因此只有②符合题意.
答案：(1)A (2)B
【变式题】已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：
①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|.
其中能构成从M到N的函数的是( )
A.① B.② C.③ D.④
解析：只有y＝|x|是符合题意的对应关系.
答案：D
求函数的定义域
【例2】函数f(x)＝lg(x－3)的定义域为 __________.
解析：本题只需真数x－3>0即可，可得x>3.
答案：(3，＋∞)
【变式题】 函数y＝的定义域是( )
A.(－∞，1] B.(－∞，0] C.[0，＋∞) D.[1，＋∞)
解析：由x－1≥0，可得x≥1.
答案：D
求函数的值
【例3】 已知函数f(x)＝则f[f()]＝( )
A.9 B. C.－ D.－
解析： f()＝log2＝－2，所以f[f()]＝f(－2)＝＝9.故选A.
答案： A
【变式题】 (2020·湖南省学考)已知函数f(x)＝若f(0)＝a，则f(a)＝( )
A.4 B.2 C. D.0
解析： 由f(0)＝a，知a＝f(0)＝2，所以f(a)＝f(2)＝.
答案： C
同一个函数的判断
【例4】下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝·，g(x)＝；
④f(x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).
其中表示同一个函数的是__________(填上所有正确的序号).
解析：①不是同一个函数，定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R.
②不是同一个函数，对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝.
③是同一个函数，定义域、对应关系都相同.
④不是同一个函数，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.
⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同.
答案：③⑤
【变式题】下列各组函数中是同一个函数的是( )
A.y＝x＋1与y＝ B.y＝x2＋1与s＝t2＋1
C.y＝2x与y＝2x(x≥0) D.y＝(x＋1)2与y＝x2
解析：A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故选B.
答案：B
分段函数的实际应用
【例5】如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象.
解析：如图，过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2cm，
所以BG＝AG＝CH＝DH＝AB·cos 45°＝2×＝2 cm.
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0，2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2，5]时，y＝×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5，7]时，
y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝×(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y＝
图象如右图所示.
【变式题】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.
解析：(1)阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.
阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km.
(2)根据图象，有s＝
相应的图象如图所示：
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第3讲 函数的概念与性质
1.函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的①______，如果对于集合A中的②________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有③____确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 ④__的取值范围
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2.区间的表示
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ⑤______
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞)
3.同一个函数
前提条件：(1)定义域⑨____；(2)对应关系⑩____.
结论：这两个函数为同一个函数.
4.常见函数的值域
一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域为R.
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域为R，当a>0时，值域为[，＋∞)，
当a<0时，值域为(－∞，].
5.函数的表示法
函数表示的三种形式： ______、 ______、 ______.
6.分段函数
一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 ______的函数.
分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ____；各段函数的定义域的交集是 ____.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.
函数的概念
【例1】(1)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )
A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D.A＝R，B＝{x|x>0}，f：A中的数取绝对值
(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【变式题】已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：
①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|.
其中能构成从M到N的函数的是( )
A.① B.② C.③ D.④
求函数的定义域
【例2】函数f(x)＝lg(x－3)的定义域为 __________.
【变式题】 函数y＝的定义域是( )
A.(－∞，1] B.(－∞，0] C.[0，＋∞) D.[1，＋∞)
求函数的值
【例3】 已知函数f(x)＝则f[f()]＝( )
A.9 B. C.－ D.－
【变式题】 (2020·湖南省学考)已知函数f(x)＝若f(0)＝a，则f(a)＝( )
A.4 B.2 C. D.0
同一个函数的判断
【例4】下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝·，g(x)＝；
④f(x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).
其中表示同一个函数的是__________(填上所有正确的序号).
【变式题】下列各组函数中是同一个函数的是( )
A.y＝x＋1与y＝ B.y＝x2＋1与s＝t2＋1
C.y＝2x与y＝2x(x≥0) D.y＝(x＋1)2与y＝x2
分段函数的实际应用
【例5】如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象.
【变式题】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.
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