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集合与简单逻辑用语
[知识必备]
1.元素与集合
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果①__________________，就说a属于集合A ②______ “a属于A”
不属于 如果③__________________，就说a不属于集合A ④______ “a不属于A”
2.集合间的基本关系及集合的基本运算
关系或运算 自然语言 符号语言 图形语言
子集 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 ⑤__________________
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B且x A，就称集合A是集合B的真子集 AB或BA
交集：A∩B 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 ⑥__________________
并集：A∪B 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 ⑦__________________
补集： UA 已知全集U，集合A U，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集 ⑧__________________
3.充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p⑨__q p q
条件关系 p是q的⑩____条件 q是p的 ____条件 p不是q的 ____条件 q不是p的 ____条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
4.全称量词和存在量词
全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有 ______的命题是全称量词命题 含有 ______的命题是存在量词命题
命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“ ________” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“ ________”
5.含量词的命题的否定
p ﹁p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) ______________ 全称量词命题的否定是 ________
存在量词命题 x∈M，p(x) ______________ 存在量词命题的否定是________
参考答案：①a是集合A的元素；②a∈A；③a不是集合A中的元素；④a A；⑤A B(或B A)；⑥A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；⑦A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；⑧ UA＝{x|x∈U，且x A}；⑨ ；⑩充分； 必要； 充分； 必要； 全称量词； 存在量词； x∈M，p(x)； x∈M，p(x)； x∈M，﹁p(x)； 存在量词命题； x∈M，﹁p(x)；全称量词命题
集合的概念与表示
【例1】 已知集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若2∈A，则实数a＝__________.
解析： 因为2∈A，所以22－3×2＋a＝0，解得a＝2.
答案： 2
【变式题】 (1)已知集合A＝{1，2，3，a}，4∈A，则a＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)设集合A＝{－1，0，2}，集合B＝{x|x∈A且2－x∈A}，求集合B.
解析：(1)因为集合A中无数字4，而4∈A，所以a＝4.故选D.
当x＝－1时，2－(－1)＝3 A；当x＝0时，2－0＝2∈A；当x＝2时，2－2＝0∈A.
所以B＝{0，2}.
集合间的基本关系
【例2】 (2020·湖南省学考)已知集合A＝{x|x＝1}，B＝{x|x2＝a}，若A B，则a＝__________.
解析：由题意，集合A＝{x|x＝1}，B＝{x|x2＝a}，因为A B，所以1∈B，即1是方程x2＝a的根，
解得a＝1.当a＝1，可得集合B＝{－1，1}，此时满足A B，所以a＝1.
答案： 1
【变式题】 集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A B，则a＝__________.
解析： 因为A B，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝A.若a2－a＋1＝3，则a＝2或－1；若a2－a＋1＝a，则a＝1，不满足集合元素的互异性，舍去.故a＝2或－1.
答案： 2或－1
集合间的基本运算
【例3】已知集合P＝{x|x是等腰三角形}, Q＝{x|x是直角三角形}，则P∩Q＝( )
A.{x|x是等腰直角三角形} B.{x|x是三角形} C.P D.Q
(2)已知集合A＝{1，2}，B＝{－1，x}.若A∩B＝{2}，则x＝__________.
解析： (1)因为集合P＝{x|x是等腰三角形}, Q＝{x|x是直角三角形}，所以P∩Q为既是等腰三角形又是直角三角形的图形，所以是等腰直角三角形，故选A.
(2)因为A∩B＝{2}，所以2∈A，且2∈B，所以x＝2.
答案： (1)A (2)2
【变式题】(1)已知集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，则A∪B中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}.若A∩B＝{1}，则B＝( )
A.{1，－3} B.{1，0} C.{1，3} D.{1，5}
解析： (1)因为A＝{0，1}，B＝{1，2}，所以A∪B＝{0，1，2}，故选C.
(2)集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}.
因为A∩B＝{1}，所以1∈A，且1∈B，所以1－4＋m＝0，解得m＝3，
即有B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}.故选C.
答案： (1)C (2)C
充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例4】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).
(1)p：x＝1，q：x－1＝；
(2)p：－3≤x≤5，q：|x－1|≤4；
(3)p：|x|>2，q：x>2；
(4)p：a是自然数；q：a是正数.
解析：(1)当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2.所以p是q的充分不必要条件.
(2)因为|x－1|≤4 －3≤x≤5，所以p是q的充要条件.
(3)因为当|x|>2时，x>2或x<－2，所以q p，p /q，所以p是q的必要不充分条件.
(4)0是自然数，但0不是正数，故p /q；又是正数，但不是自然数，故q /p.故p是q的既不充分又不必要条件.
【变式题】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：x(4)p：A∩B＝A，q： UB UA.
解析：(1)p：x2>0，则x>0或x<0，所以p / q，q p，故p是q的必要不充分条件.
(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，所以p q，q p，故p是q的充分不必要条件.
(3)因为ln x(4)因为A∩B＝A A B UB UA，所以p是q的充要条件.
全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
【例5】判断下列命题的真假.
(1) x∈Z，x3<1；(2) x∈N，x2>0.
解析：(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“ x∈Z，x3<1”是真命题.
(2)因为0∈N，02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题.
【变式题】试判断下列命题的真假.
(1) x∈R，x2＋1≥2；(2)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6.
解析：(1)取x＝0，则x2＋1＝1<2，所以“ x∈R，x2＋1≥2”是假命题.
(2)取x＝3，y＝0，则2x＋4y＝6，故为真命题.
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集合与简单逻辑用语
[知识必备]
1.元素与集合
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果①__________________，就说a属于集合A ②______ “a属于A”
不属于 如果③__________________，就说a不属于集合A ④______ “a不属于A”
2.集合间的基本关系及集合的基本运算
关系或运算 自然语言 符号语言 图形语言
子集 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 ⑤__________________
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B且x A，就称集合A是集合B的真子集 AB或BA
交集：A∩B 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 ⑥__________________
并集：A∪B 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 ⑦__________________
补集： UA 已知全集U，集合A U，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集 ⑧__________________
3.充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p⑨__q p q
条件关系 p是q的⑩____条件 q是p的 ____条件 p不是q的 ____条件 q不是p的 ____条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
4.全称量词和存在量词
全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有 ______的命题是全称量词命题 含有 ______的命题是存在量词命题
命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“ ________” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“ ________”
5.含量词的命题的否定
p ﹁p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) ______________ 全称量词命题的否定是 ________
存在量词命题 x∈M，p(x) ______________ 存在量词命题的否定是________
集合的概念与表示
【例1】 已知集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若2∈A，则实数a＝__________.
【变式题】 (1)已知集合A＝{1，2，3，a}，4∈A，则a＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)设集合A＝{－1，0，2}，集合B＝{x|x∈A且2－x∈A}，求集合B.
集合间的基本关系
【例2】 (2020·湖南省学考)已知集合A＝{x|x＝1}，B＝{x|x2＝a}，若A B，则a＝__________.
【变式题】 集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A B，则a＝__________.
集合间的基本运算
【例3】已知集合P＝{x|x是等腰三角形}, Q＝{x|x是直角三角形}，则P∩Q＝( )
A.{x|x是等腰直角三角形} B.{x|x是三角形} C.P D.Q
(2)已知集合A＝{1，2}，B＝{－1，x}.若A∩B＝{2}，则x＝__________.
【变式题】(1)已知集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，则A∪B中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}.若A∩B＝{1}，则B＝( )
A.{1，－3} B.{1，0} C.{1，3} D.{1，5}
充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例4】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).
(1)p：x＝1，q：x－1＝；
(2)p：－3≤x≤5，q：|x－1|≤4；
(3)p：|x|>2，q：x>2；
(4)p：a是自然数；q：a是正数.
【变式题】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：x(4)p：A∩B＝A，q： UB UA.
全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
【例5】判断下列命题的真假.
(1) x∈Z，x3<1；(2) x∈N，x2>0.
【变式题】试判断下列命题的真假.
(1) x∈R，x2＋1≥2；(2)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6.
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普通高中
学业水平考试
复习指南
数学
第1讲 集合与常用
逻辑用语
必修第一册
a是集合A的元素
a∈A
a不是集合A中的元素
a A
A B(或B A)
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
UA＝{x|x∈U，且x A}
充分
必要
充分
必要
全称量词
存在量词
x∈M，p(x)
x∈M，p(x)
x∈M，﹁p(x)
存在量词命题
x∈M，﹁p(x)
全称量词命题
探究点一：集合的概念与表示
探究点二：集合间的基本关系
探究点三：集合间的基本运算
探究点四：充分条件、必要条件、
充要条件的判断
探究点五：全称量词命题与存在量词命题的
真假的判断
探究点一： 集合的概念与表示
【变式题】
【变式题】
探究点二：集合间的基本关系
【变式题】
探究点三：集合间的基本运算
【变式题】
【变式题】
探究点四：充分条件、必要条件、充要条件的判断
【变式题】
【变式题】
探究点五：全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
【变式题】
谢谢！
