贵州省安顺市2023-2024学年高三上学期期末质量监测数学试题（含答案）

安顺市2023-2024学年高三上学期期末质量监测
数学
注意事项：
1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
2答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知平面向量，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4.安顺市第三届运动会于2023年11月8日至11月10日在安顺奥体中心举行。某中学安排4位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ）
A.18种 B.24种 C.36种 D.72种
5.西秀山白塔位于安顺城南西秀山上，为仿阁楼式六棱九重实心石塔，白塔始建于元泰定三年（公元1326年），初仅为佛用砖塔。清咸丰元年（1851年），这座元代的砖塔倾斜严重，前安顺知府胡林翼倡捐廉银三十两，时值清中叶，我国华南地区开始以“制器尚象”的设计思维尊崇毛笔形状兴建了大批风水塔，以寓当地文风昌盛。位于西秀山的这座古塔正是在这样的潮流下，被设计成了一个套筒式的毛笔状白塔，咸丰二年普定知县邵鸿儒撰《重修安郡文峰碑》记录了这一大盛事，如图，某学习小组为了测量“西秀山白塔”BC的高度，在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为，塔底C点的仰角为.已知山岭高CD为h，则塔高BC为（ ）
A. B. C. D.
6.已知椭圆，、分别为该椭圆的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆C在第一象限交于点P，则点P的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.1
7.函数的定义域为，若与都是奇函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A.是偶函数 B.是奇函数
C. D.是奇函数
8.一个铀截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某同学高三上学期5次月考数学成绩分别为90，100，95，110，105，则（ ）
A.5次月考成绩的极差为15 B.5次月考成绩的平均数为100
C.5次月考成绩的方差为50 D.5次月考成绩的40%分位数为95
10.函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.的最小正周期为
B.的图象关于中心对称
C.在上单调递减
D.把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象
11.如图，在棱长为2的正方体中，点E、F、G、H分别为棱、、、的中点，点M为棱上动点，则（ ）
A.点E、F、G、H共面 B.的最小值为
C.点B到平面的距离为 D.
12.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则（ ）
A.
B.数列为等比数列
C.
D.第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列为等比数列，，，则______.
14.若互不相等实数a，b，c满足，，则a，b，c的大小关系为______.
15.在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程______.
16.已知函数有正零点，则正实数a的取值范围为______.
四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知函数
（1）求的单调增区间；
（2）方程在有解，求实数m的范围.
18.（本小题满分12分）
在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
（1）求A的大小：
（2）设的面积为，点D在边上，且，求的最小值.
19.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，.
（1）求证：.
（2）若，，点E是线段上一动点，当直线与平面所成角正弦值为时，求点E的位置.
20.（本小题满分12分）
记为数列的前n项和，已知，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，的前n项和，求的最小值.
21.（本小题满分12分）
某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分，已知小明同学能答对10道题中的6道题.
（1）求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望；
（2）规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，闯关成功多少次的概率最大？
22.（本小题满分12分）
已知双曲线，A，B为左右顶点，双曲线的右焦点F到其渐近线的距离为1，点P为双曲线上异于A，B一点，且.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线l与相切，与其渐近线分别相交于M、N两点，求证：的面积为定值.
安顺市2023-2024学年高三上学期期末质量监测
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 C D B C A B D A BC AD ACD ABD
题号 13 14 15 16
选项 9 或
简答题：
17.解：（1）∵，∴，
∴时，；时，；
故在，上单调递增，在上单调递减；……5分
（2）由（1）知，函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，
∵，，，，∴，，
故函数在区间上的最大值为4，最小值为1，∴，∴.……10分
18.解：（1），由正弦定理得，
即，∴，∵，∴……6分
（2）由，∴，又，∴
∴……10分
当且仅当，即，时取等号，∴.……12分
19.解：（1）证明：如图连接，∵直三棱柱中，，∴四边形为正方形，
∴；又，
∴；……6分
（2）由题意知、、两两互相垂直，如图所示以B为原点，、、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系；
则，，，，，设，，，，
设平面法向量为，则取……9分
则，∴或（舍去），∴E为中点……12分
20.解：（1）∵，，∴，
∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列：，
即，，……3分
两式作差得，
即，∴，
即，，∵，∴；……6分
（2），
所以，.
∵，……10分
∴数列为递增数列，∴……12分
21.解：（1）由题知：X可取0，1，2，3，则：
，，，，……3分
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则X的期望为：.……6分
（2）参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为Y，则，故，（，1，…，5）……9分
∴假设当时，对应概率取值最大，则
解得，而
故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.……12分
22.解：（1）由题意知，∵双曲线渐近线方程为，∴F到渐近线距离，
设点，，，∴，∴，
所以双曲线的标准方程为.……4分
（2）当直线l斜率存在时，设直线l与相切的切点坐标为，斜率为k，则，
则直线l的方程为：，与联立整理得：
，……6分
双曲线渐近线为，故，
∴，化简得，
又，∴，∴，∴；
故直线的方程为：，∴l与x轴交于点，
不妨设M为l与，则为l与，则
∴；
当直线l斜率不存在时，，，∴；
综上可得的面积为定值2.……12分