山东省日照市莒县2015届九年级上学期期末数学试卷【解析版】

山东省日照市莒县2015届九年级上学期期末数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题给 ( http: / / www.21cnjy.com )出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，第1-8小题选对每小题得3分，第9-12小题选对每小题得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分）
1．下面生活中的实例，不是旋转的是( )
A．传送带传送货物 B．螺旋桨的运动
C．风车风轮的运动 D．自行车车轮的运动
2．数学考试中的选择题一般都是单项选择，即 ( http: / / www.21cnjy.com )在A、B、C、D四个备选答案中只有一个是正确的，这种选择题任意选一个答案，正确的概率是( )
A．1 B． C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．角 B．线段 C．等边三角形 D．平行四边形
4．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得( )
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A．S1＞S2 B．S1=S2
C．S1＞S2 D．大小关系不能确定
5．如图是由4个相同的小正方形搭成的一个几何体，则它的俯视图是( )
A． B． C． D．
6．太阳发出的光照在物体上是_____，车灯发出的光照在物体上是_____．( )
A．中心投影，平行投影 B．平行投影，中心投影
C．平行投影，平行投影 D．中心投影，中心投影
7．盒子里有6个除颜色外，其它完全相同的球，若摸到蓝色的球的概率为，则其中蓝色球的个数是( )
A．6 B．4 C．2 D．无法确定
8．指出当k＞0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=（k≠0）在同一坐标系中的图象( )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
9．如图所示，已知P点的坐标是（a，b），则sinα等于( )
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A． B． C． D．
10．若圆锥的侧面面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为( )
A．2πcm B．2cm C．4cm D．4πcm
11．下列命题中正确的是( )
①三边对应成比例的两个三角形相似
②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似
④一个角对应相等的两个等腰三角形相似．
A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④
12．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：
①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a ( http: / / www.21cnjy.com )+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．
其中正确的是( )
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A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．③④⑤
二、填空题：（本大题共4小题，共16分；只要求填写最后结果，每小题填对得4分．）
13．已知点A（2，a）和点B（b，﹣1）关于原点对称，则a=__________；b=__________．
14．在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，=，则=__________．
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15．设反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是__________．
16．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于点D，则阴影部分面积为__________．
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三、解答题：（本大题共6小题，共64分，解答时要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）
17．快过春节了，小芳的爸 ( http: / / www.21cnjy.com )爸出差回来给她买了一身蓝色的衣服，由于小芳特别爱学习，妈妈又给她买了一身花色的衣服，奶奶又给她买了一件红色的上衣，哥哥为了考考小芳问：“你这三件上衣和两条裤子一共可以配成多少套不同的衣服？如果任意拿出1件上衣和1条上裤，正好配成颜色一样的概率是多少？”（用树形图解答）
18．如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为？
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19．如图，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线（x＜0）分别交于点C、D，且C点的坐标为（﹣1，2）．
（1）分别求出直线AB及双曲线的解析式；
（2）求出点D的坐标；
（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y1＞y2？
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20．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DC交BE于F，且AD：AB=1：3，AE=EC，求证：
（1）△ADE∽△ABC；
（2）DF BF=EF CF．
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21．如图，已知抛物线的方程为（m＞0），与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标．
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22．2015届九年级学生小刚是一个喜 ( http: / / www.21cnjy.com )欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA PB=PC PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．
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小刚又看到一道课后习题，如图2，A ( http: / / www.21cnjy.com )B是⊙O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．
山东省日照市莒县2015届九年级上学期期末数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每 ( http: / / www.21cnjy.com )小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，第1-8小题选对每小题得3分，第9-12小题选对每小题得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分）
1．下面生活中的实例，不是旋转的是( )
A．传送带传送货物 B．螺旋桨的运动
C．风车风轮的运动 D．自行车车轮的运动
考点：生活中的旋转现象．
专题：几何变换．
分析：根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．
解答： 解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．
故选：A．
点评：本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．
2．数学考试中的选择题一般都是单项选择，即在 ( http: / / www.21cnjy.com )A、B、C、D四个备选答案中只有一个是正确的，这种选择题任意选一个答案，正确的概率是( )
A．1 B． C． D．
考点：概率公式．
分析：由数学考试中的选择题一般都是单项选择，即在A、B、C、D四个备选答案中只有一个是正确的，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：∵数学考试中的选择题一般都是单项选择，即在A、B、C、D四个备选答案中只有一个是正确的，
∴这种选择题任意选一个答案，正确的概率是：．
故选D．
点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．角 B．线段 C．等边三角形 D．平行四边形
考点：中心对称图形；轴对称图形．
专题：几何图形问题；压轴题．
分析：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．绕一个点旋转180度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形．依此作答．
解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误．
故选B．
点评：考查了中心对称图形与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图形重合．
4．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得( )
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A．S1＞S2 B．S1=S2
C．S1＞S2 D．大小关系不能确定
考点：反比例函数系数k的几何意义．
分析：根据反比例函数的几何意义，直接求出S1、S2的值即可进行比较．
解答： 解：由于A、B均在反比例函数y=的图象上，
且AC⊥x轴，BD⊥x轴，
则S1=；
S2=．
故S1=S2．
故选：B．
点评：此题考查了反比例函数k的几何意义，找到相关三角形，求出k的一半即为三角形的面积．
5．如图是由4个相同的小正方形搭成的一个几何体，则它的俯视图是( )
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
专题：几何图形问题．
分析：根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
解答： 解：从上面可看到从左往右有三个正方形，
故选：A．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6．太阳发出的光照在物体上是_____，车灯发出的光照在物体上是_____．( )
A．中心投影，平行投影 B．平行投影，中心投影
C．平行投影，平行投影 D．中心投影，中心投影
考点：平行投影；中心投影．
分析：根据太阳发出的光线是平行光线，灯发出的光线是不平行光线．
解答： 解：∵太阳发出的光是平行光线，灯发出的光线是不平行的光线，
∴太阳发出的光照在物体上是平行投影，车灯发出的光照在物体上是中心投影．
故选B．
点评：本题考查了平行投影与中心投影，解题的关键是了解太阳发出的光线是平行光线，灯发出的光线是不平行光线．
7．盒子里有6个除颜色外，其它完全相同的球，若摸到蓝色的球的概率为，则其中蓝色球的个数是( )
A．6 B．4 C．2 D．无法确定
考点：概率公式．
分析：由盒子里有6个除颜色外，其它完全相同的球，若摸到蓝色的球的概率为，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：∵盒子里有6个除颜色外，其它完全相同的球，摸到蓝色的球的概率为，
∴其中蓝色球的个数是：6÷=4．
故选B．
点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．指出当k＞0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=（k≠0）在同一坐标系中的图象( )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
考点：反比例函数的图象；正比例函数的图象．
分析：根据题意，结合正比例函数、反比例函数的图象与系数的关系，分析选项可得答案．
解答： 解：根据题意，
当k＞0时，函数y=kx经过一三象限，而y=（k≠0）的图象在一、三象限，
分析选项可得，只有B符合，
故选B．
点评：本题考查正比例函数与反比例函数的图象的性质，要求学生牢记解析式的系数与图象的关系．
9．如图所示，已知P点的坐标是（a，b），则sinα等于( )
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A． B． C． D．
考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．
分析：首先根据P点坐标利用勾股定理计算出OP的长，再根据正弦定义计算sinα即可．
解答： 解：∵P点的坐标是（a，b），
∴OP=，
∴sinα=，
故选：D．
点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
10．若圆锥的侧面面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为( )
A．2πcm B．2cm C．4cm D．4πcm
考点：圆锥的计算．
分析：根据圆锥侧面积公式S=πrl代入数据求出圆锥的母线长即可．
解答： 解：根据圆锥侧面积公式：S=πrl，圆锥的底面半径为3cm，侧面展开图的面积为12πcm2，
故12π=π×3×l，
解得：l=4（cm）．
故选C．
点评：此题主要考查了圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键．
11．下列命题中正确的是( )
①三边对应成比例的两个三角形相似
②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似
④一个角对应相等的两个等腰三角形相似．
A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④
考点：命题与定理；相似三角形的判定．
分析：根据相似三角形的判定方法分别对命题进行判断．
解答： 解：三边对应成比例的两个三角形相似，所以①正确；
二边对应成比例且它们的夹角对应相等的两个三角形相似，所以②错误；21世纪教育网
一个锐角对应相等的两个直角三角形相似，所以③正确；
顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似，所以④错误．
故选A．
点评：本题考查了菱形的性质：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
12．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：
①abc＞0；②4a﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．
其中正确的是( )
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A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．③④⑤
考点：二次函数图象与系数的关系．
专题：推理填空题．
分析：①先根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号，再根据有理数乘法法则即可判断；
②把x=﹣2代入函数关系式，结合图象即可判断；
③根据对称轴求出b=﹣4a，即可判断；
④根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可判断；
⑤先求出点（﹣3，y1）关于直线x=2的对称点的坐标，根据抛物线的增减性即可判断y1和y2的大小．
解答： 解：①∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是直线x=2，
∴﹣=2，
∴b=﹣4a＜0，
∴abc＞0．
故①正确；
②把x=﹣2代入y=ax2+bx+c
得：y=4a﹣2b+c，
由图象可知，当x=﹣2时，y＞0，
即4a﹣2b+c＞0．
故②错误；
③∵b=﹣4a，
∴4a+b=0．
故③正确；
④∵抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）．
故④正确；
⑤∵（﹣3，y1）关于直线x=2的对称点的坐标是（7，y1），
又∵当x＞2时，y随x的增大而增大，7＞6，
∴y1＞y2．
故⑤错误；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．
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点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线的开口方向决定；b的符号由对称轴的位置与a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴有交点时，两交点关于对称轴对称，此外还要根据图象判断x=﹣2时对应函数值的正负及二次函数的增减性．
二、填空题：（本大题共4小题，共16分；只要求填写最后结果，每小题填对得4分．）
13．已知点A（2，a）和点B（b，﹣1）关于原点对称，则a=1；b=﹣2．
考点：关于原点对称的点的坐标．
分析：本题比较容易，考查平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．根据点A和点B关于原点对称就可以求出a，b的值．
解答： 解：∵点A（2，a）与B（b，﹣1）关于原点对称，
∴a=1，b=﹣2．
点评：解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，=，则=．
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考点：平行线分线段成比例．
分析：根据平行线分线段成比例定理得到==，根据比例的性质得到答案．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴==，
∴=．
故答案为：．
点评：本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．
15．设反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是m＜3．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
专题：探究型．
分析：先根据x1＜0＜x2时，有y1＜y2，判断出各点所在的象限，进而可判断出反比例函数中3﹣m的取值范围．
解答： 解：∵反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），x1＜0＜x2时，有y1＜y2，
∴A（x1，y1）点在第三象限，B（x2，y2）点在第一象限，
∴3﹣m＞0，
∴m＜3．
故答案为：m＜3．
点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
16．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于点D，则阴影部分面积为﹣1．21世纪教育网
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考点：扇形面积的计算．
分析：图中S阴影=S半圆﹣S△ABD．根据等腰直角△ABC、圆周角定理可以推知S△ABD=S△ABC=1．则所以易求图中的半圆的面积．
解答： 解：如图，∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴BC=AC=2，S△ABC=AC×AB=×2×2=2．
又∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∴AD是斜边BC上的中线，
∴S△ABD=S△ABC=1．
∴S阴影=S半圆﹣S△ABD=π×12﹣1=﹣1．
故答案是：﹣1．
点评：本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．
三、解答题：（本大题共6小题，共64分，解答时要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）
17．快过春节了，小芳的爸爸出差回来给 ( http: / / www.21cnjy.com )她买了一身蓝色的衣服，由于小芳特别爱学习，妈妈又给她买了一身花色的衣服，奶奶又给她买了一件红色的上衣，哥哥为了考考小芳问：“你这三件上衣和两条裤子一共可以配成多少套不同的衣服？如果任意拿出1件上衣和1条上裤，正好配成颜色一样的概率是多少？”（用树形图解答）
考点：列表法与树状图法．
分析：列树状图将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
解答： 解：列树形图得：
（1）三件上衣和两条裤子一共可以配成6套不同的衣服；21世纪教育网
（2）由树形图可知，有蓝色和花色两种颜色一样的情况，设颜色一致的事件是A，
所以P（A）==．
点评：本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是能够通过列表或树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
18．如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为？
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考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：作DE⊥AB于点E，分别在直角△ADE和直角△ABC中，利用三角函数即可表示出AB于AE的长，根据DC=BE=AB﹣AE即可求解．
解答： 解：作DE⊥AB于点E．
在直角△AED中，ED=BC=a，∠ADE=α，
∵tan∠ADE=，
∴AE=DE tan∠ADE=a tanα．
同理AB=a tanβ．
∴DC=BE=AB﹣AE=a tanβ﹣a tanα=a（tanβ﹣tanα）米．
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点评：本题考查了利用三角函数解决有关仰角、俯角的计算问题，关键是作出辅助线，把实际问题转化成解直角三角形问题．
19．如图，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线（x＜0）分别交于点C、D，且C点的坐标为（﹣1，2）．
（1）分别求出直线AB及双曲线的解析式；
（2）求出点D的坐标；
（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y1＞y2？
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考点：反比例函数综合题．
专题：综合题．
分析：（1）因为两个函数的图象都过C点，将C点坐标代入求得m、k的值，所以易求它们的解析式；
（2）解由两个函数的解析式组成的方程组，得交点坐标D；
（3）看在哪些区间y1的图象在上方．
解答： 解：（1）∵y1=x+m与过点C（﹣1，2），
∴m=3，k=﹣2，21世纪教育网
∴y1=x+3，；
（2）由题意，解得：，或，
∴D点坐标为（﹣2，1）；
（3）由图象可知：当﹣2＜x＜﹣1时，y1＞y2．
点评：（1）求交点坐标就是解由它们组成的方程组；
（2）根据图象解不等式需从交点看起，图象在上方的对应函数值大．
20．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DC交BE于F，且AD：AB=1：3，AE=EC，求证：21世纪教育网
（1）△ADE∽△ABC；
（2）DF BF=EF CF．
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考点：相似三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）利用“两边及夹角”法进行证明；
（2）根据（1）可得DE∥BC，由“平行线分线段成比例”进行证明即可．
解答： 证明：（1）∵AE=EC，
∴AE=AC．
又∵AD：AB=1：3，
∴==．
又∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）由（1）知，=，
∴DE∥BC，
∴=，
∴DF BF=EF CF．
点评：本题考查了相似三角形的判定与 ( http: / / www.21cnjy.com )性质．在证明第（2）题时，也可以利用“平行线法“推知△DEF∽△CBF，由该相似三角形的对应边成比例证得结论．
21．如图，已知抛物线的方程为（m＞0），与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标．
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[来源:21世纪教育网]
考点：二次函数综合题．
分析：（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值；
（2）求出B、C、E点的坐标，进而求得△BCE的面积；
（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点，如答图所示．
解答： 解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：
2=﹣（2+2）（2﹣m），
解得m=4．
（2）令y=0，即﹣（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，
∴B（﹣2，0），C（4，0）．
则BC=6．
令x=0，得y=2，
∴E（0，2），则OE=2．
∴S△BCE=BC OE=6．
（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，
又∵点B、C关于x=1对称．
如图，连接EC，交x=1于H点，此时BH+CH最小（最小值为线段CE的长度）．
设直线EC：y=kx+b（k≠0），将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=﹣x+2，
当x=1时，y=，
∴H（1，）．
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点评：本题考查了二次函数的图象与性质、待 ( http: / / www.21cnjy.com )定系数法求一次函数、二次函数解析式以及轴对称﹣最小路径问题等重要知识点，难度较大．注意，在设一次函数解析式y=kx+b时，一定要说明k≠0．
22．2015届九年级学生小刚是一个 ( http: / / www.21cnjy.com )喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA PB=PC PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．
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小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．
考点：相交弦定理；相似三角形的判定与性质．
专题：阅读型．
分析：（1）连结AC，BD，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据圆周角定理得到∠C=∠B，∠A=∠D，再根据三角形相似的判定定理得到△AEC∽△DEB，利用相似三角形的性质得AE：DE=CE：BE，变形有AE BE=CE DE；由此得到相交弦定理；
（2）由AB=10，PA=4，OP=5，易得PB=10﹣4=6，PC=OC﹣OP=R﹣5，PD=OD+OP=R+5，根据相交弦定理得到PA PB=PC PD，即4×6=（R﹣5）×（R+5），解方程即可得到R的值．
解答： 解：（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知，如图1，⊙O的两弦AB、CD相交于E，
求证：AP BP=CP DP．
证明如下：
连结AC，BD，如图1，
∵∠C=∠B，∠A=∠D，
∴△APC∽△DPB，
∴AP：DP=CP：BP，
∴AP BP=CP DP；
所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．21世纪教育网
（2）过P作直径CD，如图2，
∵AB=10，PA=4，OP=5，
∴PB=10﹣4=6，PC=OC﹣OP=R﹣5，PD=OD+OP=R+5，
由（1）中结论得，PA PB=PC PD，
∴4×6=（R﹣5）×（R+5），
解得R=7（R=﹣7舍去）．
所以⊙O的半径R=7．
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点评：本题考查了相交弦定理：圆的两条弦相交，那么这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．也考查了圆周角定理以及三角形相似的判定与性质．