常州市联盟学校2023-2024学年度第二学期阶段调研
高二年级数学试卷
2024.3
出卷： 审卷：
考试时间120分钟 满分150分
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设函数在处存在导数为2，则（ ）
A．2 B．1 C． D．4
2．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为（ ）
A． B．－ C． D．－
3．若定义在 上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
4. 若函数在处有极小值，则（ ）
A． B． C．或 D．
5. 在四面体中，M点在线段上，且，G是的重心，已知，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
，若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（ ）
A． B． C． D．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是( )
A．(＋＋)2＝32
B．
C．
D．正方体的体积为
10. 下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．设函数，若，则
D．设函数的导函数为，且，则
11．已知直线与函数，的图象分别相交于A，B两点.设为曲线在点A处切线的斜率，为曲线在点处切线的斜率，则的可能取值为（ ）
A． B． C．e D．
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为________.
13．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是 ．
14.如图，正方形与正方形的中心重合，边长分别为3和1，，，，分别为，，，的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿，，，折起，使，，，重合于P点，则四棱锥的高为 ，若直四棱柱内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面内，则该直四棱柱体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，，.
（1）当时，若向量与垂直，求实数和的值；
（2）若向量与向量，共面，求实数的值.
16．（15分）已知函数.
（1）求曲线过点处的切线；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
17.（15分）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.
（1）求证：共面；
（2）当为何值时，；
（3）若，且，求的长.
18．（17分）已知函数．
(1)若是函数的极值点，求a的值，并求函数的极值；
(2)若函数在处取得极大值，求a的取值范围.
19．（17分）已知函数，其中．
(1)当时，求的单调区间；
(2)求当时，函数在区间上的最小值；
(3)若函数有两个不同的零点.
①求实数a的取值范围；
②证明：.常州市联盟学校2023-2024学年度第二学期阶段调研
高二年级数学答案
2024.3
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D 2．A 3．B 4. A 5. C 6. A 7. C 8．C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．(如果选项有2个，则每个选项3分，即选对一个得3分，全部选对得6分；如果选项有3个，则每个选项2分，即选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分.)
9．ABC 10. BCD 11．AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14. ,
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）（1）因为,所以 .…….…….…….……3分
且.
因为向量与垂直,所以.即.所以= …….……7分
（2）因为向量与向量，共面,所以设（） ……….……8分
因为, …….…………….………10分
所以 所以实数的值为 .…….………13分
16.（15分）（1）由导数公式得，
设切点坐标为，设切线方程为：
由题意可得：， ….…….…….……4分
所以或 ….…….…….……6分
从而切线方程为或 ….…….…….……8分
（2）由（1）可得：曲线在点处的切线方程为
由，可得曲线在处的切线斜率为，
由题意可得， 从而，
此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，
即，故符合题意，所以. …….…….………….…….…….……15分
17.（15分）
（1）在平行六面体中，连接，
因为，所以，
，所以，即且，
所以四边形为平行四边形，即共面；…….……5分
（2）当时，，理由如下， .…….….…….……7分
设，且与、与、与的夹角均为，
因为底面为菱形，所以，
， ，
若，则，即，
即，
解得或舍去，即时， .…….….…….……10分
….…….……14分
所以 ,所以的长为 .…….….…….……15分
18.（17分）(1)定义域为R，，.…….……2分
因为是函数的极值点，所以f′(1)＝0.故有，所以.
当时，所以 .…….……4分
若则或
1
－ 0 － 0 ＋
递增 极大值 递减 极小值 递增
所以函数的极大值为，极小值为..…….…….……8分
(2)定义域为R，，
①当时，，令得，所以：单调递增区间为；
令得，所以单调递减区间为；
所以在取极大值，符合题意． …….……10分
②当时，由，得：，
0
－ 0 + 0 －
减 极小值 增 极大值 减
所以：在处取得极大值，所以：符合题意．…….……12分
③当时，由，得：，，
（i）当即时，，变化情况如下表：
0
+ 0 － 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以：在处取得极小值，不合题意．
（ⅱ）当即时，在R上恒成立，所以：在R上单调递增，无极值点．
（iii）当，即时，，变化情况如下表：
0
+ 0 － 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以：在处取得极大值，所以：合题意．
综上可得：的取值范围是． .…….……17分
19.（17分）
(1)当时，，
的定义域为，若，则；若，则；
所以的增区间为，减区间为 ….….…….……4分
(2)函数的定义域是，
．
当时，令则或(舍)．
当，即时，，在上单调递减，
在上的最小值是，
当，即时，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在上的最小值是，
当，即时，，，在上单调递增，
在上的最小值是．
综上，． ….….…….……9分
（3）①有两个不同的零点即有两个不同实根，
得，令，，令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
时，取得最大值，且，当时，
得的大致图象如右：
，所以实数a的取值范围．…….……13分
②当时，有两个不同的零点．
两根满足，，
两式相加得：，两式相减得：，
上述两式相除得，不妨设，要证：，
只需证：，即证，
设，令，则，
函数在上单调递增，且．
，即，．…….……17分2023-2024学年第二学期3月阶段调研 高二数学 答题卡 学校 班级 姓名 缺考标记 1．答题前，请认真阅读试卷上的注意事项，并保持卡面整洁，不要折叠、损坏。 2、选择题，请特别注意本卡题号排列方向，并按题号用2B铅笔将对应选项的方框涂黑涂满。修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。 3、主观题，请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写。如需作图，请用2B铅笔描黑。 4、填涂示例 正确填涂
考 场：_________________ 座 位：_________________ 考试号：_________________ 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 12._______________________ 13._______________________ 14. ______________________
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效! 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效! 15.（13分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效! 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效! 16.（15分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效!
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 17.（15分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 18.（17分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 19.（17分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
