2023-2024学年数学九年级下册苏科版第6章 图形的相似过关练习（含解析）

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2023-2024学年数学九年级下册苏科版第6章图形的相似过关练习
一、单选题
1．如图，在中，，，，，则（ ）
A． B．10 C．12 D．16
2．如图，是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为，桌面距离地面，若灯泡O距离地面，则地面上阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，等腰直角三角形的顶点D，E分别在边上，且于点D，连接并延长交于点G．已知，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是等腰直角三角形，为边上一点，连结，过点作，交的延长线于点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高m，此刻他在地面上的影长为m，经测量小丽在地面上的影长是m，则小丽的身高为（ ）
A．m B．m C．m D．m
6．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，于点M，N，再分别以点M，大于的长为半径画弧，射线交于点D，则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在边长为3的正方形中，点E是边上的点，且，过点E作的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边于点M，则的长为（ ）

A． B． C． D．1
二、填空题
9．找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立，以下结论：①；②；③；④，则正确的结论有 ．
10．如图，，若，，，则的长是 ．
11．如图是一个自制的小孔成像装置，其中纸筒的长度是，一只长为的蜡烛放在距离纸筒的位置，则蜡烛在屏幕上成的像是 ．
12．如图，与是位似图形，点O为位似中心，位似比为，若，则的长为
13．如图，在中，，已知与的面积分别为和，则 ．
14．已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是 ．
15．如图，在正方形中．E、F分别为边、的中点，连接、，，连接，则的长度为 ．

16．如图，在矩形中，为对角线上的一点（不与点重合），连接，过点作交边于点，连接．若，则的长为 ．
三、解答题
17．如图，的顶点均为网格中的格点．
(1)选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个，使（相似比不为1）．
(2)在图2中画一个，使其与相似，且面积为4．
18．如图，是半圆的直径，为半圆上的点(不与，重合)，连接，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．
(1)求证：是半圆的切线；
(2)若，，求半圆的半径及的长．
19．如图所示，在和中，，．
(1)求证∶；
(2)若，，求的长．
20．如图，在四边形中，点，分别在，上，连接并延长交的延长线于点，，．
(1)证明：；
(2)若，，，求的长度．
21．如图，在矩形中，，，是上一点，．是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为．
(1)若，，则的值是______．
(2)若时，求的最大值．
(3)在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，求此时的值．
22．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，过点C，作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结、，若，求点P的坐标；
(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连结交于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，根据题意证明，再利用相似三角形性质求解，即可解题．
【详解】解：，
，
，
，，，
，
，解得，
故选：D．
2．C
【分析】此题考查了相似三角形判定和性质，证明，得到，进一步求出，根据圆面积即可求出答案．
【详解】解：如图，设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即地面上阴影部分的面积为．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，求出的值，证明，得到，进而求出的长，再证明，求出的长即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设交于点，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选A．
4．D
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题．
设，则再证明三角形相似，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：
设，则
，
故选：D
5．B
【分析】本题考查相似三角形在测量高度时的应用，设小芳的身高为，再根据同一时刻物高与影长成正比即可求出的值即可，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．
【详解】设小芳的身高为米，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴，
解得，
故选：．
6．D
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．
根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴和的周长之比为，
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，由作图方法可知，是的角平分线，，进而推出，，则，，设，则，再证明∽△CAB得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
由作图方法可知，是的角平分线，
∴，
∴，，
∴，，
设，则，
又∵，
∴∽，
∴，，
∴，
解得或 (舍去)，
经检验，是原方程的解，
∴线段的长度是，
故选C．
8．B
【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键．作交于点，作交于点，根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得和的长，然后根据，即可求得的长．
【详解】解：作交于点，作交于点，

∵平分，，
∴四边形是正方形，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴∽，
∴
∵正方形边长为3，，
∴，，
设，则,
∴，解得，即，
∵，,
∴，
又∵，
∴∽
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，解得，即,
，，
∴∽
∴
∴
∴．
故选：B．
9．①②③④
【分析】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参，把题目中的几个量用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，故①②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
设，
∴，
∴，，
∴，故④正确．
故答案为：①②③④．
10．
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据得到即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：．
11．5
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算即可．
【详解】解：如图：
，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
则蜡烛在屏幕上成的像是．
故答案为：5．
12．4.5
【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4.5．
13．25
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是清楚相似三角形的面积之比等于相似比的平方．由可得，由得 ，再由，得的面积．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：25．
14．
【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质．设半圆与、的切点为、，取的中点，连接、，根据已知条件证明，得，当且仅当、、三点共线时，取得最小值，进而求解．
【详解】解：设半圆与、的切点为、，
连接、、、，则，，，
所以平分，
，，
，
，
，
取的中点，连接、，
则，
，，
在和中，，，
，
，
，
，
当且仅当、、三点共线时，
取得最小值, 最小值为．
故答案为：．
15．1
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，连接，设，的交点为M，根据正方形的性质，相似的知识解答即可．
【详解】连接，设，的交点为M，

∵正方形中．E、F分别为边、的中点，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴重合，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点
∴
∴，
∴，
故答案为：1．
16．
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关判定及性质，适当添加辅助线解决问题是解题的关键．
过点作于，延长交于，则，根据矩形的性质，可证，从而得出，，，，再根据可得，进而可得．
【详解】解：过点作于，延长交于，则，如图：
四边形为矩形，
，，，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：，
解得：，
，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．
（1）根据要求，画出一个，利用勾股定理求出各边长，利用三组对应边对应成比例，即可得；
（2）根据题意可知，进而可知的相似比为，求出边长即可作图．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求，理由如下：
设小正方形的边长为：1，由图可知：，
由勾股定理，得：，，，，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，且，
则，
∴的相似比为，
则，，，
如图所示，即为所求．
18．(1)见解析
(2)半径为，
【分析】本题考查了切线的判定，等弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定：
（1）根据点为弧的中点，得出，然后得出，根据平行线的性质得出，进而即可求解；
（2）连接，设与相交于点，证明，得出，证明得出，进而证明，根据相似三角形的性质列出比例式，进而即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图，
点为弧的中点，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
是半圆的切线．
（2）解：连接，如图，
是半圆的直径，
，
，
又，
，
，即，
，
半圆的半径为．
设与相交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
即，
．
19．(1)证明见详解
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质．
（1）由两角相等的两个三角形相似可判断；
（2）由相似三角形的性质可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）∵，
∴
∴,
∵，
∴．
20．(1)见解析；
(2)．
【分析】（）根据三角形内角和定理及平角的定义推出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
（）根据相似三角形的判定与性质求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
又，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
21．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，二次函数的最值．
（1）先证明，由相似三角形的性质得到，再与的值代入得到关于的方程，求解即可；
（2）由（1）知：，当时，可得到，再利用二次函数的最值求解即可；
（3）根据题意可得的最大值是，再由（1）知：，根据二次函数的最值可得，当时，的最大值是，从而得到关于的方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，设的长为，的长为，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
故答案为：；
（2）由（1）知：，
当时，，
∵，
∴当时，有最大值，的最大值是．
∴的最大值是；
（3）∵在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，
∴的最大值是，
由（1）知：，
当时，即，有最大值，
当时，的最大值是，
∴，
∴．
∴此时的值为．
22．(1)
(2)，或，
(3)，
【分析】（1）在中求出的长，从而确定点坐标，将二次函数设为交点式，将点坐标代入，进一步求得结果；
（2）可分为点在第三象限和第一象限两种情形．当点在第三象限时，设点，可表示出的面积，当点在第三象限时，先求出直线，从而得出点坐标，从而表示出的面积，根据，列出方程，进一步求得结果，当在第一象限，同样的方法求得结果；
（3）作于，交于，根据，，表示出的长，得出，从而得出，从而得出的函数表达式，再根据进一步求得结果．
【详解】（1），
，
，
，
点，
设二次函数的解析式为：，
，
，
；
（2）如图2，
当点在直线的上方时，
过点作轴，交的延长线于点，
设点，则点，
，
，
，
，
，
，或，，
当点在的下方时，
同理得出，
，
，
此时点和点重合，故舍去，
，或，；
（3）如图3，
作于，交于，
，，
，
，
，
，
当时，．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
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