2023-2024学年数学九年级下册苏科版第7章 锐角三角函数过关练习（含解析）

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2023-2024学年数学九年级下册苏科版第7章锐角三角函数过关练习
一、单选题
1．的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，那么的正弦值是（ ）
A． B．7 C． D．
3．如图，中，，于点D，则下列比值：其中可以表示的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，在矩形中，于点，交于点，平分交于点．若是的中点，则的值是（ ）
A．4 B．3 C． D．
5．在中，已知，，，则（　　）
A．5 B． C．8 D．
6．如图，在伏牛山滑雪场滑雪，需从山脚下处乘缆车上山顶处，缆车索道与水平线所成的，若山的高度米，则缆车索道的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．如图，在菱形中，，点E在边上，，动点P从点A出发以的速度沿A→B-→C-→D运动，当点P出发2秒后E也以的速度沿E→D运动，当点P到达D点时，两点同时停止运动，设p运动的时间为，的面积为，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．某校积极开展综合实践活动，一次九年级数学小组发现校园里有一棵被强台风摧折的大树，其残留的树桩的影子的一端E刚好与倒地的树梢重合，于是他们马上利用其测量旁边钟楼的高度．如图是根据测量活动场景抽象出的平面图形．活动中测得的数据如下：
①大树被摧折倒下的部分；
②；
③点E到钟楼底部的距离；
④钟楼的影长；
⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为．
（点C，E，B，F在一条直线上）
请你选择几个需要的数据，用你喜欢的方法求钟楼的高度，则（ ）m．
A． B． C． D．15
二、填空题
9．中，，是边上的高，，则 ．
10．如图，要测量河两岸的两点之间的距离，可以在河边取的垂线上的一点，若测得，则的长为 ．
11．如图，在平行四边形中，，，点E是边上一动点（足够长），将沿直线折叠得到，连接．当是以为直角边的直角三角形时，的长为 ．
12．如图，在中，，，点D为边上的点，连接，将沿翻折，点B落在平面内点E处，边交边于点F，连接，如果，那么的值为 ．
13．在Rt中，，为的中点，，，，则 ．
14．如图，已知的半径为，是的一条切线，切点为，连接并延长，交于点，过点作交于点，交于点．当时，弦的长为 ．
15．如图，在直角中，两直角边分别为，将绕点按逆时针方向旋转后得到，点的对应点恰在的延长线上，为点旋转到点的轨迹，则图中阴影部分的面积为 ．

16．如图，在直角梯形中，，点在梯形内，点在梯形外，，若，且，则 ．
三、解答题
17．计算：．
18．已知：如图，中，，D是边上一点，于E点．．求的值．
19．如图，为了测得某建筑物的高度，在C处用高为1米的测角仪，测得该建筑物顶端A的仰角为，再向建筑物方向前进80米，又测得该建筑物顶端A的仰角为．求该建筑物的高度．（结果保留根号）
20．如图，中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，，垂足为G．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
21．如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为．

(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)连接，求证：．
22．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，点在直线上，反比例函数经过点．
(1)求m，n的值；
(2)点D在反比例函数的图象上，过点D作x轴的垂线，点E为垂足，若，连接，求的值．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟知特殊角的三角函数值是解决问题的关键．根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【详解】解：，
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了求角的正弦值，熟知在直角三角形一个角的正弦值等于该角的对边比上斜边是解题的关键．首先根据勾股定理求出，然后利用正弦值的概念求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵在中，，，，
∴，
∴．
故选C．
3．B
【分析】本题主要考查了求角的余弦值，三角形内角和定理，根据余弦的定义可得在中，，在中，，利用三角形内角和定理证明，进而得到，据此可得答案．
【详解】解：在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴在中，可以表示的有，共3个，
故选；B．
4．A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，锐角三角函数的应用，如图，连接，过作于，是的中点，设，，表示，，证明，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，过作于，是的中点，
设，，
∵矩形，
∴，，，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
同理可得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故选A
5．D
【分析】本题考查正弦的有关计算，根据直角三角形中正弦等于对边除以斜边直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，，，
∴，
解得：，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用直角三角形的边角关系定理列出关系式是解题关键．
【详解】解：在中
，
故选：C
7．B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，特殊角的三角函数，解直角三角形，三角形面积，利用分类讨论思想是解题的关键．分三种情况，分别得出与的函数关系式再进行判断即可．
【详解】解：当，点在上，
，
过点作于点，如图，

在中，
∵，
∴，
∴，
∴图象是过原点，上升的一条直线的一部分；
当，点在边上，过点作于点，如图，
∴，

∴，
∴图象是一段平行于轴的线段；
当时，点在边上，
∴，
∴，
过点作，交延长线于点，如图，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴此时关于的函数图象是一条开口向下的抛物线的一部分，
综上，关于的函数图象大致是B．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数的应用，利用特殊角，添加合适的辅助线构造直角三角形是本题的解题关键．过D作于G，则，，先求出，，则，再求出，即可求解．
【详解】解：选择：①大树被摧折倒下的部分；②；③点E到钟楼底部的距离；⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为．理由如下：
过D作于G，如图所示：
则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故选：B．
9．或
【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，分当点D在上时，当点D在延长线上时，两种情况先利用勾股定理求出，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长，即可根据求出答案．
【详解】解：如图1所示，当点D在边上时，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图2所示，当点D在延长线上时，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：或．
10．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，利用正切的定义可得出，代入数据后即可求出的长度，此题得解．
【详解】解：在中，，，
，
（米）．
故答案为：．
11．或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，解直角三角形等知识，分当点F在的上方时和当点F在的下方时两种情况，画出图形求解即可．
【详解】分两种情况讨论：
①当点F在的上方时，此时，如图，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，，，
∵沿直线折叠得到，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴；
②当点F在的下方时，此时，设的延长线与交于点H，
如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵沿直线折叠得到，
∴，．
∴，
∴．
在中，设，则，
∴，即，
∴，
∴．
综上可知的长为或．
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查了翻折的性质，掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．先过A作于M，过E作于N，再根据相似三角形的性质及解直角三角形求解．
【详解】解：如图所示：过A作于M，过E作于N，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵将沿翻折，点B落在平面内点E处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查的是解直角三角形，相似三角形的判定与性质，难度适中，需要熟练掌握直角三角形中的相关性质与定理．
根据题意证出，进而设出和的值，再结合勾股定理求出的值，再根据斜中定理求出和的值，结合和的值求出和的值，相减即可得出答案．
【详解】，
，
，
，
，
设，则，
，则，
是Rt斜边上的中点，
，即，
则，，
．
14．
【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，解直角三角形，由切线的性质，得出三角形是直角三角形，再根据垂径定理得出，，在直角三角形中，求出，进而求出即可．
【详解】解：与相切于点，
，
，
又，
，，
，
在中，，，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】此题考查了旋转的性质、扇形面积公式、解直角三角形等知识，先求出直角三角形的面积和，再求出扇形面积，利用直角三角形面积减去扇形扇形面积即可得到答案．
【详解】在直角中，两直角边分别为，
∴，，
∴，
∵将绕点按逆时针方向旋转后得到，
∴，
∴扇形的面积为
∴阴影部分的面积为．
故答案为：
16．
【分析】如图所示，过点A作于H，则四边形是矩形，可得，则，解得到，证明，得到，进而证明，则，可得，设，则，，利用勾股定理求出，则．
【详解】解：如图所示，过点A作于H，则四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
设，则，
∴，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形，从而证明是解题的关键．
17．
【分析】本题考查实数的混合运算，先化简负整数指数幂，零指数幂，绝对值，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
【详解】解：
．
18．的值为
【分析】此题考查解直角三角形，勾股定理，熟记角的三角函数值的计算公式及掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．设，则，，根据勾股定理求出，证明，根据正弦函数的定义求出结果即可．
【详解】解：设，则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．该建筑物的高度为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；
设，则，根据等腰直角三角形的判定和性质求出，再在中，根据列式求出x，进而可得答案．
【详解】解：设，则，
，，
，
，
在中，，
解得：，
∴米，
答：该建筑物的高度为米．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，设，，根据已知条件以及直径所对的圆周角相等，证明，进而求得，即可证明是的切线；
（2）根据已知条件结合（1）的结论可得四边形是正方形，进而求得的长，根据，，即可求解．
【详解】（1）如图，连接，
，
则，
设，，
，
，
为的直径，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（2）如图，连接，
是的切线，则，又，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在中，，，
，
，
由（1）可得，
，
，
，
解得 ．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，正弦的定义，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
21．(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】（）由四边形是矩形，得到，，从而有，根据得，即可求证；
（）设，在中，，即，则，由，得出，求出的值即可求解；
（）延长，交于点，证明，得，则．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）设，在中，，
∴，
∴，
∵，点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，解得，
∴；
（3）证明：如图，延长，交于点，

∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查一次函数的性质、反比例函数的性质和求正切值，
将点C代入一次函数即可求得m，再将点C代入反比例函数可求得n；
根据题意可得，结合反比例函数求得点D，根据一次函数求得点A，即可求得和，利用正切定义求解即可．
【详解】（1）解：∵在上，
，
，
在上，
，解得，
，．
（2），
，
设，则，
，
，
令，则，，
，
，
，
．
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